一．选择题（共10小题）
1．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
| A． | BC=EC，∠B=∠E | B． | BC=EC，AC=DC | C． | BC=DC，∠A=∠D | D． | ∠B=∠E，∠A=∠D |
2．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
| A． | 11 | B． | 5.5 | C． | 7 | D． | 3.5 |
3．（2013•贺州）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（ ）
| A． | 4cm | B． | 6cm | C． | 8cm | D． | 9cm |
4．（2010•海南）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
5．（2013•珠海）点（3，2）关于x轴的对称点为（ ）
| A． | （3，﹣2） | B． | （﹣3，2） | C． | （﹣3，﹣2） | D． | （2，﹣3） |
6．（2013•十堰）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ ）
| A． | 7cm | B． | 10cm | C． | 12cm | D． | 22cm |
7．（2013•）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
| A． | 12 | B． | 15 | C． | 12或15 | D． | 18 |
8．（2013•烟台）下列各运算中，正确的是（ ）
| A． | 3a+2a=5a2 | B． | （﹣3a3）2=9a6 | C． | a4÷a2=a3 | D． | （a+2）2=a2+4 |
9．（2012•西宁）下列分解因式正确的是（ ）
| A． | 3x2﹣6x=x（3x﹣6） | B． | ﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a） | |
| C． | 4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y） | D． | 4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2 |
10．（2013•恩施州）把x2y﹣2y2x+y3分解因式正确的是（ ）
| A． | y（x2﹣2xy+y2） | B． | x2y﹣y2（2x﹣y） | C． | y（x﹣y）2 | D． | y（x+y）2 |
二．填空题（共10小题）
11．（2013•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是 _________ ．
12．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= _________ 度．
13．（2013•枣庄）若，则a+b的值为 _________ ．
14．（2013•内江）若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n= _________ ．
15．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2= _________ ．
16．（2013•盐城）使分式的值为零的条件是x= _________ ．
17．（2013•南京）使式子1+有意义的x的取值范围是 _________ ．
18．（2012•茂名）若分式的值为0，则a的值是 _________ ．
19．在下列几个均不为零的式子，x2﹣4，x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简： _________ ．
20．不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是
_________ ．
三．解答题（共8小题）
21．（2013•遵义）已知实数a满足a2+2a﹣15=0，求﹣÷的值．
22．（2013•重庆）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足．
23．（2007•资阳）设a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．
（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）．
24．在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：
①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD=180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只写出结论，不证明）
25．（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
26．（2005•江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．
（1）求证：AB⊥ED；
（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．
27．（2013•沙河口区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点M在AB边上以1单位长度/秒的速度从点A向点B运动，运动到点B时停止．连接CM，将△ACM沿着CM对折，点A的对称点为点A′．
（1）当CM与AB垂直时，求点M运动的时间；
（2）当点A′落在△ABC的一边上时，求点M运动的时间．
28．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= _________ ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB= _________ ；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB= _________ ；
（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= _________ （用含α的式子表示）；
（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
2013-2014学年八年级[上]数学期末考试试卷
参与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
| A． | BC=EC，∠B=∠E | B． | BC=EC，AC=DC | C． | BC=DC，∠A=∠D | D． | ∠B=∠E，∠A=∠D |
| 考点： | 全等三角形的判定．4387773 |
| 分析： | 根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可． |
| 解答： | 解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意； D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； 故选：C． |
| 点评： | 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． |
2．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
| A． | 11 | B． | 5.5 | C． | 7 | D． | 3.5 |
| 考点： | 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．4387773 |
| 专题： | 计算题；压轴题． |
| 分析： | 作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求． |
| 解答： | 解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC， ∵DE=DG，DM=DE， ∴DM=DG， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DN， 在Rt△DEF和Rt△DMN中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL）， ∵△ADG和△AED的面积分别为50和39， ∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11， S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5 故选B． |
| 点评： | 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求． |
3．（2013•贺州）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（ ）
| A． | 4cm | B． | 6cm | C． | 8cm | D． | 9cm |
| 考点： | 全等三角形的判定与性质．4387773 |
| 分析： | 求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，证△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可． |
| 解答： | 解：∵F是高AD和BE的交点， ∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°， ∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°， ∵∠AFE=∠BFD， ∴∠CAD=∠FBD， ∵∠ADB=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAD=45°=∠ABD， ∴AD=BD， 在△DBF和△DAC中 ∴△DBF≌△DAC（ASA）， ∴BF=AC=8cm， 故选C． |
| 点评： | 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△DBF≌△DAC． |
4．（2010•海南）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 全等三角形的判定．4387773 |
| 分析： | 根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角． |
| 解答： | 解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等； B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等； C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等； D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等． 故选B． |
| 点评： | 本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． |
5．（2013•珠海）点（3，2）关于x轴的对称点为（ ）
| A． | （3，﹣2） | B． | （﹣3，2） | C． | （﹣3，﹣2） | D． | （2，﹣3） |
| 考点： | 关于x轴、y轴对称的点的坐标．4387773 |
| 分析： | 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案． |
| 解答： | 解：点（3，2）关于x轴的对称点为（3，﹣2）， 故选：A． |
| 点评： | 此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． |
6．（2013•十堰）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ ）
| A． | 7cm | B． | 10cm | C． | 12cm | D． | 22cm |
| 考点： | 翻折变换（折叠问题）．4387773 |
| 分析： | 首先根据折叠可得AD=BD，再由△ADC的周长为17cm可以得到AD+DC的长，利用等量代换可得BC的长． |
| 解答： | 解：根据折叠可得：AD=BD， ∵△ADC的周长为17cm，AC=5cm， ∴AD+DC=17﹣5=12（cm）， ∵AD=BD， ∴BD+CD=12cm． 故选：C． |
| 点评： | 此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． |
7．（2013•）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
| A． | 12 | B． | 15 | C． | 12或15 | D． | 18 |
| 考点： | 等腰三角形的性质；三角形三边关系． |
| 分析： | 因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． |
| 解答： | 解：①当3为底时，其它两边都为6， 3、6、6可以构成三角形， 周长为15； ②当3为腰时， 其它两边为3和6， ∵3+3=6=6， ∴不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有15． 故选B． |
| 点评： | 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． |
8．（2013•烟台）下列各运算中，正确的是（ ）
| A． | 3a+2a=5a2 | B． | （﹣3a3）2=9a6 | C． | a4÷a2=a3 | D． | （a+2）2=a2+4 |
| 考点： | 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．4387773 |
| 分析： | 根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则，分别进行各选项的判断即可． |
| 解答： | 解：A、3a+2a=5a，原式计算错误，故本选项错误； B、（﹣3a3）2=9a6，原式计算正确，故本选项正确； C、a4÷a2=a2，原式计算错误，故本选项错误； D、（a+2）2=a2+4a+4，原式计算错误，故本选项错误； 故选B． |
| 点评： | 本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则． |
9．（2012•西宁）下列分解因式正确的是（ ）
| A． | 3x2﹣6x=x（3x﹣6） | B． | ﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a） | |
| C． | 4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y） | D． | 4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2 |
| 考点： | 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．4387773 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解． |
| 解答： | 解：A、3x2﹣6x=3x（x﹣2），故本选项错误； B、﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a），故本选项正确； C、4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y），故本选项错误； D、4x2﹣2xy+y2不能分解因式，故本选项错误． 故选B． |
| 点评： | 本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键． |
10．（2013•恩施州）把x2y﹣2y2x+y3分解因式正确的是（ ）
| A． | y（x2﹣2xy+y2） | B． | x2y﹣y2（2x﹣y） | C． | y（x﹣y）2 | D． | y（x+y）2 |
| 考点： | 提公因式法与公式法的综合运用．4387773 |
| 分析： | 首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解即可． |
| 解答： | 解：x2y﹣2y2x+y3 =y（x2﹣2yx+y2） =y（x﹣y）2． 故选：C． |
| 点评： | 本题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． |
二．填空题（共10小题）
11．（2013•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是 1+ ．
| 考点： | 轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．4387773 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可． |
| 解答： | 解：连接CE，交AD于M， ∵沿AD折叠C和E重合， ∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD， ∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1， ∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE， ∵∠DEA=90°， ∴∠DEB=90°， ∵∠B=60°，DE=1， ∴BE=，BD=， 即BC=1+， ∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+， 故答案为：1+． |
| 点评： | 本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中． |
12．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15 度．
| 考点： | 等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．4387773 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数． |
| 解答： | 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，∠ACD=120°， ∵CG=CD， ∴∠CDG=30°，∠FDE=150°， ∵DF=DE， ∴∠E=15°． 故答案为：15． |
| 点评： | 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中． |
13．（2013•枣庄）若，则a+b的值为 ．
| 考点： | 平方差公式．4387773 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a﹣b的值代入即可求出a+b的值． |
| 解答： | 解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a﹣b=， ∴a+b=． 故答案为：． |
| 点评： | 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． |
14．（2013•内江）若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n= 3 ．
| 考点： | 因式分解-运用公式法．4387773 |
| 分析： | 将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n的值． |
| 解答： | 解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6， 故m+n=3． 故答案为：3． |
| 点评： | 本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2． |
15．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2= 3（a﹣2b）2 ．
| 考点： | 提公因式法与公式法的综合运用．4387773 |
| 分析： | 先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案． |
| 解答： | 解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2． 故答案为：3（a﹣2b）2． |
| 点评： | 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底． |
16．（2013•盐城）使分式的值为零的条件是x= ﹣1 ．
| 考点： | 分式的值为零的条件．4387773 |
| 分析： | 分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． |
| 解答： | 解：由题意，得 x+1=0， 解得，x=﹣1． 经检验，x=﹣1时，=0． 故答案是：﹣1． |
| 点评： | 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． |
17．（2013•南京）使式子1+有意义的x的取值范围是 x≠1 ．
| 考点： | 分式有意义的条件．4387773 |
| 分析： | 分式有意义，分母不等于零． |
| 解答： | 解：由题意知，分母x﹣1≠0，即x≠1时，式子1+有意义． 故填：x≠1． |
| 点评： | 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． |
18．（2012•茂名）若分式的值为0，则a的值是 3 ．
| 考点： | 分式的值为零的条件．4387773 |
| 专题： | 探究型． |
| 分析： | 根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可． |
| 解答： | 解：∵分式的值为0， ∴， 解得a=3． 故答案为：3． |
| 点评： | 本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． |
19．在下列几个均不为零的式子，x2﹣4，x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简： ．
| 考点： | 最简分式．4387773 |
| 专题： | 开放型． |
| 分析： | 在这几个式子中任意选一个作分母，任意另选一个作分子，就可以组成分式．因而可以写出的分式有很多个，把分式的分子分母分别分解因式，然后进行约分即可． |
| 解答： | 解：==， 故填：． |
| 点评： | 本题主要考查分式的定义，分母中含有字母的有理式就是分式．并且考查了分式的化简，首先要把分子、分母分解因式，然后进行约分． |
20．不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是
．
| 考点： | 最简分式．4387773 |
| 分析： | 首先将分子、分母均乘以100，若不是最简分式，则一定要约分成最简分式．本题特别注意分子、分母的每一项都要乘以100．w W w . |
| 解答： | 解：分子、分母都乘以100得，， 约分得，． |
| 点评： | 解题的关键是正确运用分式的基本性质． |
三．解答题（共8小题）
21．（2013•遵义）已知实数a满足a2+2a﹣15=0，求﹣÷的值．
| 考点： | 分式的化简求值．4387773 |
| 分析： | 先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a2+2a﹣15=0进行配方，得到一个a+1的值，再把它整体代入即可求出答案． |
| 解答： | 解：﹣÷=﹣•=﹣=， ∵a2+2a﹣15=0， ∴（a+1）2=16， ∴原式==． |
| 点评： | 此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值． |
22．（2013•重庆）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足．
| 考点： | 分式的化简求值；解二元一次方程组．4387773 |
| 专题： | 探究型． |
| 分析： | 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a、b的值代入进行计算即可． |
| 解答： | 解：原式=÷﹣ =×﹣ =﹣ =﹣， ∵， ∴， ∴原式=﹣=﹣． |
| 点评： | 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． |
23．（2007•资阳）设a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．
（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）．
| 考点： | 因式分解-运用公式法．4387773 |
| 专题： | 规律型． |
| 分析： | （1）利用平方差公式，将（2n+1）2﹣（2n﹣1）2化简，可得结论； （2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律． |
| 解答： | 解：（1）∵an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1=8n，（3分） 又n为非零的自然数， ∴an是8的倍数．（4分） 这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（5分） 说明：第一步用完全平方公式展开各（1），正确化简（1分）． （2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，，144，256．（7分） n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数（8分） 说明：找完全平方数时，错一个扣（1），错2个及以上扣（2分）． |
| 点评： | 本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的探究发现的能力． |
24．在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：
①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD=180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只写出结论，不证明）
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．4387773 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | （1）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DM=DN，再根据∠AED+∠AFD=180°，平角的定义得∠AFD+∠DFN=180°，可以推出∠DFN=∠AED，然后利用角角边定理证明△DME与△DNF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明； （2）不一定成立，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段上或垂线段与点A的两侧，则成立，若是同侧则不成立． |
| 解答： | 解：（1）DE=DF． 理由如下： 过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM=DN， ∵∠AED+∠AFD=180°，∠AFD+∠DFN=180°， ∴∠DFN=∠AED， ∴△DME≌△DNF（AAS）， ∴DE=DF； （2）不一定成立． 如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立， 经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立， 所以不一定成立． |
| 点评： | 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，从题目提供信息找出求证的思路是解题的关键，读懂题目信息比较重要． |
25．（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
| 考点： | 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．4387773 |
| 专题： | 压轴题；动点型． |
| 分析： | （1））由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可； （2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ， 再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． |
| 解答： | 解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵∠BQD=30°， ∴∠QPC=90°， 设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x， ∴QC=QB+BC=6+x， ∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°， ∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2， ∴AP=2； （2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下： 作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF， 又∵PE⊥AB于E， ∴∠DFQ=∠AEP=90°， ∵点P、Q速度相同， ∴AP=BQ， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°， 在△APE和△BQF中， ∵∠AEP=∠BFQ=90°， ∴∠APE=∠BQF， ∴在△APE和△BQF中， ∴△APE≌△BQF（AAS）， ∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF， ∴四边形PEQF是平行四边形， ∴DE=EF， ∵EB+AE=BE+BF=AB， ∴DE=AB， 又∵等边△ABC的边长为6， ∴DE=3， ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． |
| 点评： | 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键． |
26．（2005•江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．
（1）求证：AB⊥ED；
（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．
| 考点： | 翻折变换（折叠问题）；直角三角形全等的判定．4387773 |
| 专题： | 几何综合题；压轴题． |
| 分析： | 做此题要理解翻折变换后相等的条件，同时利用常用的全等三角形的判定方法来判定其全等． |
| 解答： | 证明：（1）由题意得，∠A+∠B=90°，∠A=∠D， ∴∠D+∠B=90°， ∴AB⊥DE．（3分） （2）∵AB⊥DE，AC⊥BD ∴∠BPD=∠ACB=90°， ∴在△ABC和△DBP， ， ∴△ABC≌△DBP（AAS）．（8分） 说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对： △APN≌△DCN、△DEF≌△DBP、△EPM≌△BFM． |
| 点评： | 此题考查了翻折变换及全等三角形的判定方法等知识点，常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、HL等． |
27．（2013•沙河口区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点M在AB边上以1单位长度/秒的速度从点A向点B运动，运动到点B时停止．连接CM，将△ACM沿着CM对折，点A的对称点为点A′．
（1）当CM与AB垂直时，求点M运动的时间；
（2）当点A′落在△ABC的一边上时，求点M运动的时间．
| 考点： | 翻折变换（折叠问题）．4387773 |
| 分析： | （1）由Rt△ABC中，∠C=90°，CM与AB垂直，易证得△ACM∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AM的长，即可得点M运动的时间； （2）分别从当点A′落在AB上时与当点A′落在BC上时去分析求解即可求得答案． |
| 解答： | 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB， ∴∠A=∠A，∠AMC=∠ACB=90°， ∴△ACM∽△ABC， ∴， ∵AC=3，BC=4， ∴AB==5， ∴AM==， ∴点M运动的时间为：； （2）①如图1，当点A′落在AB上时， 此时CM⊥AB， 则点M运动的时间为：； ②如图2，当点A′落到BC上时，CM是∠ACB平分线， 过点M作ME⊥BC于点E，作MF⊥AC于点F， ∴ME=MF， ∵S△ABC=S△ACM+S△BCM， ∴AC•BC=AC•MF+BC•ME， ∴×3×4=×3×MF+×4×MF， 解得：MF=， ∵∠C=90°， ∴MF∥BC， ∴△AMF∽△ABC， ∴， 即， 解得：AM=， 综上可得：当点A′落在△ABC的一边上时，点M运动的时间为：或． |
| 点评： | 此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． |
28．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= 120° ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB= 90° ；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB= 60° ；
（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= 180°﹣α （用含α的式子表示）；
（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
| 考点： | 等边三角形的判定与性质．4387773 |
| 专题： | 证明题；探究型． |
| 分析： | （1）如图1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数． 如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°． 如图3，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°． （2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°﹣α． （3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°﹣α． |
| 解答： | 解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°， 所以△ACD是等边三角形． ∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°， 所以△ECB是等边三角形． ∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE， 又∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACE=∠BCD． ∵AC=DC，CE=BC， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC． ∠AFB是△ADF的外角． ∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°． 如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠AEC=∠DBC， 又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°， ∴∠EFD=90°． ∴∠AFB=90°． 如图3，∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． 又∵CA=CD，CE=CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC． ∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°， ∴∠FAB+∠FBA=120°． ∴∠AFB=60°． 故填120°，90°，60°． （2）∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． ∴∠CAE=∠CDB． ∴∠DFA=∠ACD． ∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α． （3）∠AFB=180°﹣α； 证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB． 在△ACE和△DCB中， 则△ACE≌△DCB（SAS）． 则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α． ∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α． |
| 点评： | 本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识． |
