一、定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

例：已知关于x的函数）当a,b,c满足什么条件时

   （1）是一次函数   （2）是正比例函数    （3）是二次函数

二、二次函数是常数，的性质

（1）①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

③｜｜越大，开口越小。

（2）顶点是，对称轴是直线

（3）①当时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大；

②当时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。

（4）轴与抛物线得交点为(0,) 

例：1、（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( D )

山东威海题图

A．  a>0      B． b＜0    C． c＜0     D． a＋b＋c>0

练习：1、（2011山东威海，7，3分）二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（  A   ）．

A．－1＜x＜3        B．x＜－1        C． x＞3        D．x＜－1或x＞3

2、（2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ C   ）

A. 1    B. 2     C. 3     D. 4

三、求抛物线的顶点、对称轴的方法

 （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线.

 （2）配方法：的顶点为(,)，对称轴是直线.

(3)利用交点式求对称轴及顶点：，对称轴为

例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴：

   （1）  （2）（3）

例2、2011江苏淮安，14，3分）抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是          .（1，－4）

四、抛物线的平移

方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况

方法2：将函数换成顶点式，用口决“（x）左加右减，上加下减”

例1、抛物线经过怎样平移得到

答案：向右平移3，再向下移5个单位得到；

例2、（2011四川乐山5，3分）将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（A）

   A．    B．  C．   D．

例3、（ 2011重庆江津， 18，4分）将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.（y=(x-5)2+2 或 y=x2-10x+27）

练习：

1、抛物线经过怎样平移得到

2、抛物线向左平移2个单位，再向上移3个单位得到，求b和c。

3、（2011山东滨州，7，3分）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是(  B  )

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位  

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

五、用待定系数法求二次函数的解析式

 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

 （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

  (4)一般式与顶点式的变换

例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式：

（1）已知抛物线过

（2）已知抛物线的顶点在x轴上，且过点（1，0）、（－2，4）；

（3）已知抛物线的顶点坐标为（－2，0），过点（1，4）

例2、将（）

练习：1、将

      2、（2011山东济宁，12，3分）将二次函数化为的形式，则（）

七、与一元二次方程的关系

A．两根相异，且均为正根          B．两根相异，且只有一个正根  

C．两根相同，且为正根            D．两根相同，且为负根

例2、.抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，则AB的长为   4 ，三角形ABC的面积是 6 。  

练习：1.已知二次函数的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．（，两个交点）

2.（2011湖北襄阳，12，3分）已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ B ）

A.            B.            C.且        D.且

      3、（2011广东东莞，15，6分）已知抛物线与x轴有交点．

        (1)求c的取值范围；

(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．

八、二次函数的应用

1、求是常数，最大值或最小值

①，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标；

②，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标。

2、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积＝底

3、利润问题：利润＝销量（售价－进价）－其他

4、拱桥问题

例1、（2011广东肇庆，10，3分）二次函数有（ D ）

A． 最大值    B． 最小值    C． 最大值    D． 最小值

例2 、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：m），要在这块土地上沿东西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽为x（m），余下的可耕地面积为y（）。

（1）请你写出y与x之间的解析式；

（2）根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为1m时，余下的可耕地面积为多少？

（3）若余下的耕地面积为4408，求此时水渠的宽度。

例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售价x(元)满足一次函数：m=162-3x.

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？

练习：1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题:

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克X元，月销售利润为Y元，求Y与X的函数关系式(不必写出X的取值范围）；

（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？

      2、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

　（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； 

　 （2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）．

3、. 如图6，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线形状，一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。    （答案：0.2m）

图6

附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：