一、单选题（共29题；共58分）
1.已知双曲线 的焦距为 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
2.已知 ， 是双曲线 的两个焦点，以线段 为边作正 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3.双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4.双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
5.实轴长为 的双曲线 上恰有 个不同的点 满足 ，其中 ， 分别是双曲线 的左、右顶点.则 的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为( )
A. (－ ，0) B. (－ ，0) C. (－ ，0) D. (－ ，0)
7.已知双曲线 的离心率 ，且其右焦点 ,则双曲线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的渐近线为 ，实轴长为 ，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
9.双曲线 的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
10.已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A. B. (1,2), C. D.
11.设F1 ， F2是双曲线 的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为 时， 的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
12.已知双曲线 的左、右焦点为 、 ，在双曲线上存在点P满足 ,则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
13.设 为双曲线 的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线 的左.右支交于点 ，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
14.已知双曲线 ： 的离心率为 ，则 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
15.双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1 ， F2 ， 虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B. 或 C. D. 或
16.若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，则 的离心率为 （ ）
A. 2 B. C. D.
17.过点 ，且与双曲线 有相同渐近线的双曲线的方程是（ ）
A. B. C. D.
18.若双曲线 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
19.设 、 分别为双曲线 的左、右顶点， 、 是双曲线 上关于 轴对称的不同两点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，则双曲线 的离心率 是（ ）
A. B. C. D.
20.双曲线 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
21.双曲线 的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
22.已知双曲线 ： （ ， ）的左右顶点分别为 ， ，点 ，若三角形 为等腰直角三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
23.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
24.若双曲线 与直线 无交点，则离心率 的取值范围（ ）
A. B. C. D.
25.若双曲线 的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
26.已知点 为双曲线 上一点，则它的离心率为（ ）
A. B. C. D.
27.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
28.设点 是双曲线 上的一点， 分别是双曲线的左、右焦点，已知 ，且 ，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
29.以原点为中心，焦点在y轴上的双曲线C的一个焦点为 ，一个顶点为 ，则双曲线C的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共12题；共13分）
30.设 为曲线 上一点， ， ，若 ，则 ________．
31.已知双曲线 的离心率为2，则点 到 的渐近线的距离为________.
32.若点 在双曲线 上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点 与双曲线的左焦点的距离为________
33.双曲线 上的一点 到一个焦点的距离等于1，那么点 到另一个焦点的距离为________.
34.已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点. 设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为________．
35.双曲线 - =1的渐近线方程是________，实轴长为________．
36.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x±3y=0，焦距为2 ，则双曲线C的标准方程为________．
37.双曲线 的一个焦点是 ，一条渐近线是 ， 那么双曲线的方程是________
38.已知双曲线 （ ， ）满足 ，且双曲线的右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的方程为________.
39.设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， 分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则 的值为________．
40.双曲线 的其中一个焦点坐标为 ，则实数 ________.
41.已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点 ，若 ，则双曲线的离心率为________.
三、解答题（共5题；共55分）
42.已知双曲线的中心在原点,焦点 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 .
（1）求双曲线的方程；
（2）若点 在双曲线上，求 的面积.
43.已知双曲线与椭圆 有相同焦点，且经过点(4,6)．
（1）求双曲线方程；
（2）若双曲线的左，右焦点分别是F1 ， F2 ， 试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|.请说明理由.
44.已知双曲线 ： 的实轴长为2.
（1）若 的一条渐近线方程为 ，求 的值；
（2）设 、 是 的两个焦点， 为 上一点，且 ， 的面积为9，求 的标准方程.
45.已知双曲线的中心在原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 .
（1）求双曲线的方程；
（2）若点 在双曲线上，求证： ；
（3）求 的面积．
46.双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， 直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．
（1）若l的倾斜角为 ，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b= ，若l的斜率存在，M为AB的中点，且 =0，求l的斜率．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意可知 ，所以 ，故 ，所以 ，
故答案为：C.
【分析】根据 求得 的值，进而求得双曲线离心率.
2.【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意可知双曲线的焦点为 ， ， ，
三角形高是 ， ，
边 的中点 ， ，代入双曲线方程得： ，
整理得： ，
， ，
整理得 ，求得 ，
， .
故答案为：C.
【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点 的坐标可得，进而求得边 的中点 的坐标，代入双曲线方程求得 ， 和 的关系式化简整理求得关于 的方程求得 ．
3.【答案】 D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】令 ，整理得 ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
故答案为：D
【分析】令双曲线 的 为 ，从而得到方程 ，化简后即得渐近线方程．
4.【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的 ， ， ，
一个焦点设为 ， ，一条渐近线设为 ，
可得一个焦点到一条渐近线的距离为 .
故答案为：C.
【分析】求得双曲线的 ， ， ，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．
5.【答案】 A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意可得 ， ， ，设 ，则由 ，
得 ，整理得 .
由 ，得 ，
因为双曲线 上恰有 个不同的点 满足 ，
所以方程 有两不等实根，
所以只需 ，解得 ，
则 .
故答案为：A
【分析】先由题意，得到 ， ， ，设 ，根据 ，得 ，再与双曲线联立，消去 ，得到 ，根据双曲线上存在 个不同的点满足 ，得到只需 ，求出 ，进而可求出离心率的范围.
6.【答案】 C
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由 ，可得 ， ，由 得 ，所以左焦点坐标为(－ ，0)
故答案为：C
【分析】将双曲线化成标准式，再结合双曲线的关系式求解
7.【答案】 B
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由双曲线 的离心率 ，且其右焦点为 ，
可得 ，所以 ，
所求双曲线的方程为 ，
故答案为：B．
【分析】由已知双曲线的离心率 ，右焦点为 列式，得到 ， 即可求出双曲线 的标准方程.
8.【答案】 B
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【解答】当双曲线的焦点在 轴上时, ,又 ,即 ,
所以 ,所求双曲线的方程为: ;
当双曲线的焦点在 轴上时, ,又 ,即 ,
所以 ,所以所求双曲线的方程为: .
所以所求双曲线方程为: 或 .
故答案为： .
【分析】根据双曲线的焦点所在位置分两种情况讨论: 当双曲线的焦点在 轴上时, ; 当双曲线的焦点在 轴上时, ,结合 可解得.
9.【答案】 D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由 得 ,故 ,故焦点坐标为
故答案为：D
【分析】将 化简成标准方程再进行焦点坐标运算即可.
10.【答案】 A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】已知双曲线 的右焦点为 ，
若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，
，离心率 ，
，
故答案为： ．
【分析】若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
11.【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的两个焦点坐标为 ，
设 的坐标为 ，则
△ 的面积为 ，
，
，代入双曲线方程解得 ，不妨取 ， ，
，
故答案为： ．
【分析】求得双曲线的焦点坐标，利用△ 的面积为 ，确定 的坐标，运用两点的距离公式，即可求得结论．
12.【答案】 B
【考点】双曲线的应用
【解析】【解答】因为 为 的边 的中线，可知 ，双曲线上存在点 满足 ，则 ，由 ，可知 ，则 。
故答案为：B.
【分析】利用中线的性质结合双曲线的图形特征，再利用已知条件求出有关于a,c的大小关系式，再利用双曲线离心率公式变形求出双曲线的离心率e的取值范围。
13.【答案】 A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵|PQ|=2|QF|,∠PQF=60°,∴∠PFQ=90°，
设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q，
由对称性可知,F1PFQ为矩形,且|F1F|=2|QF|, ，
不妨设 ，则 ，
故 .
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合几何图形的对称性和矩形的性质得出， 再设 ，则 ，再利用双曲线离心率公式求出该双曲线的离心率。
14.【答案】 B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的离心率为 ，
则 ，令 ，
则 ，
则双曲线的渐近线方程为 ，
即为 ，
故答案为：B．
【分析】运用离心率公式，令 ，则 ，再由渐近线方程，即可得到结论．
15.【答案】 B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 是顶角为 的等腰三角形：则 故
当焦点在 轴上时：渐近线方程为
当焦点在 轴上时：渐近线方程为
综上所述：渐近线方程为 或
故答案为：B
【分析】根据题意得到 ，再讨论焦点在 轴， 轴两种情况得到答案.
16.【答案】 A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】取渐近线 ，化成一般式 ，
圆心 到直线的距离 ，得 ， ，
即 .
故答案为：A
【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ， b的关系，即可得到所求离心率公式．
17.【答案】 D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设与曲线 有相同渐近线的双曲线的方程为 ，又因为该双曲线过点 ，所以 ，即 ，即 ，即该双曲线的标准方程为 .
故答案为：D.
【分析】本题考查双曲线的几何性质；本题的技巧在于巧妙地设出双曲线方程，避免了讨论双曲线是哪一种标准方程，常见设法是：以 为渐近线的双曲线可设为 ，与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程可设为 .
18.【答案】 D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线的焦距为 ，根据实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，得 ，
则 ，即 ，即 ， ，则 ，
.
因此，双曲线的渐近线方程为 .
故答案为：D.
【分析】设双曲线的焦距为 ，由题意得出关于 、 、 的关系式，求出 、 的等量关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
19.【答案】 A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设点 .则 ， ， ，
则 ，又 ，即 ， ，
由 有 ， ，因此，双曲线 的离心率为 .
故答案为：A.
【分析】设点 ，则点 ，由点 在双曲线 上得出 ，然后利用斜率公式得出 ，由此可计算出双曲线 的离心率.
20.【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意知，双曲线 的焦点在 轴上，半焦距为 ，
因此，双曲线 的焦点坐标为 .
故答案为：C.
【分析】判断双曲线 的焦点位置，计算出双曲线的半焦距，即可得出双曲线 的焦点坐标.
21.【答案】 B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 ，可得 ，即 ，
所以双曲线的渐近线的方程为 .
故答案为：B.
【分析】由双曲线的方程，求得 ，进而得到双曲线的渐近线的方程，得到答案.
22.【答案】 A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，三角形 为等腰直角三角形，可得 ，即 ，
又由 ，所以 ，即 ，所以 ，
即 ，又因为 ，所以双曲线的离心率 .
故答案为：A.
【分析】由双曲线的几何性质，根据 为等腰直角三角形，求得 ，得到 ，即可求解双曲线的离心率，得到答案.
23.【答案】 D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意，双曲线的焦点在 轴上时，设它的方程为 ；
由渐近线方程为 ，得 ，故 ，即 ，
焦点在 轴上时，设它的方程为 ，
由渐近线方程为 ，得 ，故 ，即 ，
故答案为：D．
【分析】分为焦点在 轴上和焦点在 轴上两种情形，由渐近线的方程得 的值，结合 可得离心率的值.
24.【答案】 B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵双曲线 与直线 无交点，
∴双曲线的渐近线方程 ，满足
得 ，两边平方得 ，即 ，
∴ ，得 即 ，
∵双曲线的离心率 为大于1的正数，
，
故答案为：B．
【分析】根据题意，双曲线位于一、三象限的渐近线的斜率小于或等于 ，满足 ，由此结合双曲线基本量的平方关系和离心率的公式，化简整理即可得到该双曲线的离心率 的取值范围．
25.【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ， ， ，
故答案为：C
【分析】根据离心率大于2得到不等式： 计算得到虚轴长的范围.
26.【答案】 B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】将 的坐标代入双曲线方程得 ，解得 ，故 ，所以离心率为 ，
故答案为：B.
【分析】将 的坐标代入双曲线，求得 的值，进而求得 的值和离心率.
27.【答案】 A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 ， ，一条渐近线的方程为 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．
故答案为：A．
【分析】写出渐近线方程，结合点到直线的距离公式，解不等式即可求出双曲线离心率的取值范围.
28.【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据题意，三角形F1F2P是以F1F2为斜边的直角三角形，设|F2P|=m，|F1P|=2m，则由双曲线定义可得m=2a，所以 ，即 ，则 ，故一条渐近线方程是 ．
故答案为：C
【分析】根据双曲线的定义，结合勾股定理，得到a和b的关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
29.【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵双曲线C的一个焦点为 ，一个顶点为 ，∴ ，
∴ ，∴双曲线C的方程为 .
故答案为：C
【分析】根据双曲线的焦点和顶点坐标，求出a，b和c，即可得到双曲线的标准方程.
二、填空题
30.【答案】 4
【考点】双曲线的定义
【解析】【解答】由 ，得 ，即 ，故 为双曲线 右支上一点，且 分别为该双曲线的左、右焦点，则 ， .
【分析】化简曲线方程 ，得到双曲线的一支，结合双曲线定义求出结果
31.【答案】 3
【考点】双曲线的应用
【解析】【解答】由题意，双曲线 的离心率为2，
即 ，解得 ，
所以双曲线的一条渐近线的方程为 ，即 ，
所以点 到 的渐近线的距离为 .
【分析】利用双曲线的离心率求出 得关系，求得双曲线的一条渐近线的方程，利用点到直线的距离公式，即可求解.
32.【答案】 11
【考点】双曲线的定义，双曲线的标准方程
【解析】【解答】记双曲线 左右焦点分别为 ， ，
因为点 在双曲线 上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，
所以点 的横坐标为： ，因此 ，解得 ，
因此 ，由双曲线定义可得： ，
所以 或 （舍）.
故答案为：11
【分析】先记双曲线 左右焦点分别为 ， ，根据题意求出点 纵坐标，得到 ，再由双曲线定义，即可得出结果.
33.【答案】 17
【考点】双曲线的定义，双曲线的标准方程
【解析】【解答】首先将已知的双曲线方程转化为标准方程 ，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点 到两个焦点的距离之差的绝对值为 ，即可求出点 到另一个焦点的距离为17.
【分析】将双曲线方程转化为标准方程，再利用双曲线定义结合已知条件求出点 到另一个焦点的距离。
34.【答案】
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线
y ，即bx﹣ay＝0，F（c，0），
AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，
F是AB的中点，EF 3，
EF b，
所以b＝3，双曲线 1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得 ，
可得： ，解得a ．
则双曲线的方程为： 1．
故答案为：
【分析】画出图形，利用已知条件，结合梯形中位线性质得b＝3，再利用a,b,c关系列出方程组转化求解即可．
35.【答案】 x±2y=0；4
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 ，可得a=2， ，
所以双曲线的渐近线方程是： x±2y=0，
实轴长为：4．
故答案为： x±2y=0；4．
【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程与实轴长即可．
36.【答案】 - =1
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x±3y=0，焦距为2 ，
设双曲线方程为： （a＞0，b＞0），
可得 ，并且c2=13=a2+b2 ， 可得a=3，b=2，
所求双曲线的标准方程为： - =1．
故答案为： - =1．
【分析】利用双曲线的渐近线方程以及焦距列出方程组，然后求解双曲线的标准方程即可．
37.【答案】
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线的焦点是 ，所以 ，
因为渐近线是 ，所以 ，又 ，
所以 ，
所以双曲线的方程是 .
故答案为： .
【分析】由双曲线的焦点坐标得 ，再由渐近线方程得 ，结合 ，从而求得 ，进而求得双曲线的方程.
38.【答案】
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：由 ，可得 ，
∴
∵双曲线的右焦点与抛物线 的焦点重合，
∴c ，
∵c2＝a2+b2 ，
∴a＝1，b ，
∴双曲线的方程为 ．
故答案为： ．
【分析】利用行列式求出a，b的关系，利用双曲线的右焦点与抛物线 的焦点重合，求出双曲线的右焦点，从而可求双曲线的标准方程．
39.【答案】
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的渐近线方程 ，得 ，由于 ，由双曲线定义知 ，得 .
【分析】由已知双曲线的渐近线方程，得到， 再利用双曲线的定义列式，即可求出 的值 .
40.【答案】 2
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 ，可得 ，
又由 ，即 ，解得 .
故答案为： .
【分析】由双曲线方程，得到 ，根据 ，即可求解.
41.【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设过 与双曲线的一条渐近线 平行的直线交双曲线于点 ，
由双曲线的定义可得 ，
由 ，可得 ， ， ，
由 可得 ，
在三角形 中，由余弦定理可得：
，
即有 ，
化简可得， ，
则双曲线的离心率 ．
故答案为： ．
【分析】设过 与双曲线的一条渐近线 平行的直线交双曲线于点 ，运用双曲线的定义和条件可得 ， ， ，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
三、解答题
42.【答案】 （1）解：∵ ，∴可设双曲线的方程x2﹣y2＝λ
∵双曲线过点P（4， ），∴16﹣10＝λ，即λ＝6
∴双曲线的方程x2﹣y2＝6
（2）解：由（1）知，双曲线中a＝b
∴ ，∴ ，
∴|F1F2|＝4
∵点M（3，m）在双曲线上，∴9﹣m2＝6，∴|m|
∴△F1MF2的面积为S |F1F2|•|m|＝6
即△F1MF2的面积为6．
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的应用
【解析】【分析】（1）设出双曲线的方程，代入点P的坐标，即可得到双曲线的方程；（2）利用点M（3，m）在双曲线上，求出m值，进而利用S |F1F2|•|m|，即可求△F1MF2的面积．
43.【答案】 （1）解：椭圆 的焦点在x轴上，且 ，即焦点为(±4,0)，
于是可设双曲线方程为 ，
则有 解得
故双曲线方程为 .
（2）解：假设在双曲线上存在点P ， 使得|PF1|＝5|PF2|，则点P只能在右支上．由于在双曲线 中，由双曲线定义知，|PF1|-5|PF2|＝2a＝4，于是得|PF1|＝5，|PF2|＝1.
但当点P在双曲线右支上时，点P到左焦点F1的距离的最小值应为a＋c＝6，
故不可能有|PF1|＝5，即在双曲线上不存在点P ， 使得|PF1|＝5|PF2|
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的应用
【解析】【分析】（1）由题得 ，解方程组即得双曲线方程；（2）假设在双曲线上存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|，则点P只能在右支上．先求出|PF1|＝5，|PF2|＝1，分析得到此种情况不存在.
44.【答案】 （1）解：由题意，双曲线 ： 的实轴长为2，即 ，则 ，
又由双曲线一条渐近线方程为 ，所以 ，可得 .
（2）解：由双曲线定义可得 ，
又因为 ，且 的面积为9，即 ，
所以 ，且
又由 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
故双曲线 的标准方程为： .
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）由双曲线 的实轴长为2，求得 ，再由渐近线方程为 ，得到 ，即可求解；（2）由 和 的面积为9，求得 ，再结合直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，即可求解 ，得到双曲线的方程.
45.【答案】 （1）解：∵e＝ ，
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ．
又∵双曲线过(4，－ )点，
∴λ＝16－10＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6．
（2）证明：∵ ＝(－3－2 ，－m)，
＝(2 －3，－m)，
∴ · ＝(3＋2 )(3－2 )＋m2＝－3＋m2 ．
又∵M在双曲线上，∴9－m2＝6，
∴m2＝3，∴ · ＝0．
（3）解：∵在△F1MF2中，|F1F2|＝4 ，且|m|＝ ，
∴S△F1MF2＝ ·|F1F2|·|m|
＝ ×4 × ＝6．
【考点】双曲线的应用
【解析】【分析】（1）根据双曲线的离心率，采用待定系数法设出双曲线方程，结合点的坐标，即可得到双曲线的方程；
（2）根据点的坐标，表示平面向量，结合平面向量的数量积运算，即可证明相应的式子；
（3）根据三角形的面积公式，即可取出三角形的面积.
46.【答案】（1）解：双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， a=1，c2=1+b2 ，
直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，
直线l的倾斜角为 ，△F1AB是等边三角形，
可得：A（c，b2），可得： ，
∴3b4=4（a2+b2），
即3b4﹣4b2﹣4=0，
b＞0，解得b2=2．
所求双曲线方程为：x2﹣ =1，
其渐近线方程为y=± x
（2）解：b= ，双曲线x2﹣ =1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线的斜率为：k= ，
直线l的方程为：y=k（x﹣2），
由直线与双曲线联立消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，
△=36（1+k2）＞0，
可得x1+x2= ，
则y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（ ﹣4）= ．
M为AB的中点，且 =0，可得：（x1+x2+4，y1+y2）•（x1﹣x2 ， y1﹣y2）=0，
可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，
得 +4+ •k=0
可得：k2= ，
解得k=± ．
l的斜率为：±
【考点】双曲线的定义，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程．（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．下载本文
