一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）

1．（3分）下列各数是有理数的是（　　）

A．π    B．    C．    D．0

2．（3分）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．（3分）如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，他恰好从C出口走出的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．（3分）我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面．经测算，地球跟火星最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为（　　）

A．4×109    B．40×107    C．4×108    D．0.4×109

5．（3分）如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（　　）

A．这一天最低温度是﹣4℃    

B．这一天12时温度最高    

C．最高温比最低温高8℃    

D．0时至8时气温呈下降趋势

6．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a5    B．（a2）3＝a5    C．a6÷a2＝a3    D．3a2﹣2a＝a2

7．（3分）平面直角坐标系内与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（﹣3，4）    B．（﹣3，﹣4）    C．（3，﹣4）    D．（4，3）

8．（3分）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，则OD的长是（　　）

A．    B．    C．2    D．3

9．（3分）函数y＝2x+1的图象不经过（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

10．（3分）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，根据题意可列方程组为（　　）

A．    B．    

C．    D．

11．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB＝，点E，F分别在AD，把纸片如图沿EF折叠，点A，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则（　　）

A．    B．    C．    D．

12．（3分）定义一种运算：a*b＝，则不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集是（　　）

A．x＞1或x＜    B．﹣1＜x＜    C．x＞1或x＜﹣1    D．x＞或x＜﹣1

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）

13．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是　    　．

14．（3分）分解因式：a2﹣4b2＝　             　．

15．（3分）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，则荷塘的宽CD为 　                　米（结果保留根号）．

16．（3分）为了庆祝中国党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，演讲能力占40%，演讲效果占10%（百分制）．小婷的三项成绩依次是84，95，她的综合成绩是 　    　．

17．（3分）如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，则圆锥的底面圆半径是 　                　．

18．（3分）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，抛物线的解析式为 　                　．

三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

19．（6分）计算：23×（﹣+1）÷（1﹣3）．

20．（6分）解分式方程：＝+1．

21．（8分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC．

（1）求证：△ABC≌△CDA；

（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；

（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，求CE的长．

22．（8分）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）

4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7

4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0

整理数据：

（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量

（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？

23．（8分）【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？

解：相等．在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．

∴∠AEF＝∠DFC＝90°，

∴AE∥DF．

∵l1∥l2，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∴AE＝DF．

又S△ABC＝BC•AE，S△DBC＝BC•DF．

∴S△ABC＝S△DBC．

【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，连接AE，求△ADE的面积．

解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．

请将余下的求解步骤补充完整．

【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，AD＝4，连接BD，DF，直接写出△BDF的面积．

24．（10分）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出2：y＝﹣x2+bx+c运动．

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时

（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．

25．（10分）如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝8，BD＝6（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，H在AC上，设DE＝x

（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；

（2）设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y＝，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（3）如图②，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，y轴正半轴交于M，N两点，并说明理由．

26．（10分）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；

（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，求的值．

答案与卡片

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）

1．参：0是有理数．

故选：D．

2．参：由该几何体的主视图可知，该几何体是．

故选：C．

3．参：小明恰好在C出口出来的概率为，

故选：B．

4．参：400000000＝4×108，

故选：C．

5．参：从图象可以看出，这一天中的最高气温是大概14时是8℃，从0时至7时及14时至24时，从4时至14时，

故A正确，B，D错误；

这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，

故C错误；

故选：A．

6．参：A．a2•a3＝a2，故此选项符合题意；

B．（a2）3＝a7，故此选项不合题意；

C．a6÷a2＝a7，故此选项不合题意；

D．3a2﹣2a，不是同类项，故此选项不合题意．

故选：A．

7．参：点P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（﹣6．

故选：B．

8．参：连接OA，

∵OC⊥AB，∠BAC＝30°，

∴∠ACO＝90°﹣30°＝60°，

∵OA＝OC，

∴△AOC为等边三角形，

∵OC⊥AB，

∴OD＝OC＝4，

故选：C．

9．参：∵k＝2＞0，图象过一三象限，图象过第二象限，

∴直线y＝2x+1经过一、二、三象限．

故选：D．

10．参：设共有y人，x辆车，

依题意得：．

故选：B．

11．参：过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O

由折叠A与A'对应易知：∠AOE＝90°，

∵∠EAO+∠AEO＝90°，

∠EAO+∠AGD＝90°，

∴∠AEO＝∠AGD，即∠FEH＝∠AGD，

又∵∠ADG＝∠FHE＝90°，

∴△ADG∽△FHE，

∴＝＝＝＝，

故选：A．

12．参：由新定义得或，

解得x＞4或x＜﹣1

故选：C．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）

13．参：当分母x﹣2≠0，即x≠6时有意义．

故答案为：x≠7．

14．参：a2﹣4b5＝（a+2b）（a﹣2b）．

故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．

15．参：由题意可得，∠ADB＝60°，AB＝30m，

在Rt△ABC中，

∵∠ACB＝45°，

∴AB＝BC，

在Rt△ABD中，

∵∠ADB＝60°，

∴BD＝AB＝10，

∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m，

故答案为：（30﹣10）．

16．参：小婷的综合成绩为84×50%+95×40%+90×10%＝（分），

故答案为：分．

17．参：连接AC、AE，

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠BAC＝∠BAD＝，AB＝AC，

∴△ABC为等边三角形，

∵圆弧与BC相切于E，

∴AE⊥BC，

∴BE＝CE＝1，

∴AE＝＝＝，

设圆锥的底面圆半径为r，

根据题意得2πr＝，解得r＝，

即圆锥的底面圆半径为．

故答案为．

18．参：过C、D作x轴平行线，过B'作B'E∥CD，连接AE交直线y＝9于C'，交直线y＝4于D'

作图可知：四边形B'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，

∴B'E∥CD，C'D'∥CD，C'D'＝CD，

∴C'D'∥B'E且C'D'＝B'E，

∴四边形B'EC'D'是平行四边形，

∴B'D'＝EC'，

∵B关于直线y＝6的对称点B'，

∴BD'＝B'D'，

∴EC'＝BD'，

∴AE＝AC'+EC'＝AC'+BD'，即此时AC'+BD'转化到一条直线上，最小值为AE的长度，

而AB、CD为定值，

∴此时四边形ABC′D′的周长最小，

∵B（3，0）关于直线y＝8的对称点B'，

∴B'（3，8），

∵四边形B'ECD是平行四边形，C（﹣3，D（2，

∴E（﹣2，13），

设直线AE解析式为y＝kx+b，则，

解得，

∴直线AE解析式为y＝﹣x+，

令y＝3得9＝﹣x+，

∴x＝﹣，

∴C'（﹣，9），

∴CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，

即将抛物线y＝x7向右移个单位后，

∴此时抛物线为y＝（x﹣）2，

故答案为：y＝（x﹣）2．

三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

19．参：原式＝8×÷（﹣2）

＝4÷（﹣8）

＝﹣2．

20．参：去分母得：3x＝x+3x+8，

解得：x＝﹣3，

检验：当x＝﹣3时，4（x+1）≠0，

∴分式方程的解为x＝﹣4．

21．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠ACD＝∠CAB，

在△ABC和△CDA中，

，

∴△ABC≌△CDA（AAS）；

（2）解：过点C作AB的垂线，垂足为E

（3）解：由（1）知：△ABC≌△CDA，

∵四边形ABCD的面积为20，

∴S△ABC＝S△CDA＝10，

∴AB•CE＝10，

∵AB＝2，

∴CE＝4．

22．参：（1）a＝20﹣2﹣1﹣3﹣3﹣1＝8，

分析数据：样本中，4.7出现的次数最多，

将数据从小到大排列，找最中间的两个数为4.7，故中位数c＝，

∴a＝6，b＝4.6；

（2）选择平均数4.7，

这2000箱荔枝共损坏了2000×（4﹣4.7）＝600（千克）；

（3）10×2000×8÷（2000×5﹣600）≈10.7（元），

答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.6元才不亏本．

23．参：【类比探究】过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，

∵DE＝CE，EF⊥CD，

∴DF＝CF＝CD＝2，

∴AD∥EF，

∴S△ADE＝S△ADF，

∴S△ADE＝×AD×DF＝；

【拓展应用】如图③，连接CF，

∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，

∴∠BDC＝45°，∠GCF＝45°，

∴∠BDC＝∠GCF，

∴BD∥CF，

∴S△BDF＝S△BCD，

∴S△BDF＝BC×BC＝8．

24．参：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，6）和（4，将其代入得：

，解得：，

∴抛物线C8的函数解析式为：y＝﹣x3+x+4；

（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米

﹣m2+m+4﹣（﹣m8+m+7）＝1，

整理得：（m﹣12）（m+4）＝5，

解得：m1＝12，m2＝﹣5（舍去），

故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；

（3）C1：y＝﹣x2+x+1＝﹣7+，

当x＝7时，运动员到达坡顶，

即﹣×72+7b+4＞3+，

解得：b＞．

25．参：（1）设EF＝m．

∵BC＝14，BD＝6，

∴CD＝BC﹣BD＝14﹣6＝3，

∵AD＝8，

∴AD＝DC＝8，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴AC＝AD＝8，

∵四边形EFGH是正方形，

∴EH＝FG＝GH＝EF＝m，∠EHG＝∠FGH＝90°，

∴∠AHE＝∠FGC＝90°，

∵∠DAC＝∠C＝45°，

∴∠AEH＝∠EAH＝45°，∠GFC＝∠C＝45°，

∴AH＝EH＝x，CG＝FG＝x，

∴8m＝8，

∴m＝，

∴EF＝．

（2）∵DE＝DF＝x，DA＝DC＝2，

∴AE＝CF＝8﹣x，

∴EH＝AE＝，EF＝x，

∴y＝＝＝，

∴y＝（0＜x＜6）．

（3）如图③中，由（2）可知点P在y＝上，

当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，），

当直线MN⊥OP时，△OMN的面积最小，

此时OM＝ON＝2，

∴△MON的面积的最小值＝×2＝6．

26．【解答】（1）证明：∵四边形OABC是平行四边形，

∴OC∥AB，

∴∠DOC＝∠OAE，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠AEF，

∴∠DOC＝∠AEF，

∵EF是⊙O的直径，

∴∠EAF＝90°，

∴∠AFE+∠AEF＝90°，

∴∠AFE+∠DOC＝90°，

∵∠AFE＝∠OCD，

∴∠OCD+∠DOC＝90°，

∴∠ODC＝90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）连接DF，如图：

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ADF+∠DAF＝90°，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠G+∠DAF＝90°，

∴∠ADF＝∠G，

又∠DAF＝∠GAD，

∴△ADF∽△AGD，

∴＝，

∵AD＝6，GF＝6，

∴＝，

解得AF＝6或AF＝﹣9（舍去），

在Rt△AEF中，AE＝＝，

∴cos∠AEF＝＝；

（3）延长CO交AF于K，连接MN，如图：

∵EF是⊙O直径，

∴∠EAF＝90°，

∵OC∥AB，

∴∠CKA＝90°，即OK⊥AF，

∵EF＝AD＝3，AF＝8，

∴FO＝6，FK＝AK＝4，

Rt△OKF中，OK＝＝，

∵∠G+∠OAF＝90°，∠OFA+∠AEF＝90°，

且∠OAF＝∠OFA，

∴∠G＝∠AEF，

∴tanG＝tan∠AEF，

即＝，

∴＝，即＝，

解得CK＝10，

∵BH平分∠ABC，OC∥AB，

∴∠CBH＝∠ABH＝∠CHB，

∴CH＝BC＝OA＝3，

∴MH＝CK﹣OK﹣OM﹣CH＝10﹣﹣7＝8，

∴KH＝OK+OM+MH＝7，

在Rt△AKH中，AH＝＝＝，

而∠MNH＝∠MFA＝∠MOA＝，

且∠MHN＝∠HAB，

∴△MNH∽△HBA，

∴＝＝＝．

考点卡片

1．有理数的混合运算

（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．

2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．

3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．

4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．

2．近似数和有效数字

（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 

（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．

（3）规律方法总结：

“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．

3．科学记数法—表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． 

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．

4．实数

（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．

（2）实数的分类：

实数： 或 实数：

5．合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．

6．同底数幂的乘法

（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

am•an＝am+n（m，n是正整数）

（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）

在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．

7．幂的乘方与积的乘方

（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．

（am）n＝amn（m，n是正整数）

注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

（ab）n＝anbn（n是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．

8．同底数幂的除法

同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．

am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）

①底数a≠0，因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；

③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

9．因式分解-运用公式法

1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．

　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；

　2、概括整合：

①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．

②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．

3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．

10．分式有意义的条件

（1）分式有意义的条件是分母不等于零．

（2）分式无意义的条件是分母等于零．

（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．

（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．

11．由实际问题抽象出二元一次方程组

（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．

（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．

（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：

①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．

12．解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．

所以解分式方程时，一定要检验．

13．解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．

注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．

14．函数的图象

函数的图象定义

对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．

注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．

15．一次函数的性质

一次函数的性质：

k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．

由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．

16．二次函数图象上点的坐标特征

二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．

①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．

②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．

③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．

17．二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

18．二次函数的最值

（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．

（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．

（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．

19．待定系数法求二次函数解析式

（1）二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；

（2）用待定系数法求二次函数的解析式．

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

20．二次函数的应用

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．

21．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

22．菱形的性质

（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

（2）菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

（3）菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式．

②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）

23．矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

24．四边形综合题

四边形综合题．

25．垂径定理

（1）垂径定理

     垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

     推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

     推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

     推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

26．圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

27．切线的性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．

（3）切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．

28．圆锥的计算

（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．

（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．

（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl

（5）圆锥的体积＝×底面积×高

注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．

②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．

29．圆的综合题

圆的综合题．

30．轴对称-最短路线问题

1、最短路线问题

在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

31．翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．

32．关于原点对称的点的坐标

关于原点对称的点的坐标特点

（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．

（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．

注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．

33．解直角三角形的应用-仰角俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

34．由三视图判断几何体

（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．

（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：

①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；

②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；

③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；

④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．

35．用样本估计总体

用样本估计总体是统计的基本思想． 

1、用样本的频率分布估计总体分布：

从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 

2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．

一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

36．加权平均数

（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．

（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．

（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．

（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．

37．中位数

（1）中位数：

将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．

如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．

（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．

38．众数

（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．

39．统计量的选择

（1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．但这并不是绝对的，有时多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值．从而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小．

（2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好．

40．概率公式

（1）随机事件A的概率P（A）＝．

（2）P（必然事件）＝1．

（3）P（不可能事件）＝0．

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