授课教师：朝阳区牌坊小学   窦长颖

指导教师：朝阳区教育研究中心  李文会

教学目标：

1.通过探究“正方体涂色”的问题，进一步理解和巩固正方体的特征，发展空间想象能力。

2.通过观察、列表、想象等活动经历“找规律”的全过程，获得“化繁为简”的解决问题的基本策略，体会分类、数形结合、归纳推理、模型等数学思想，积累数学思维的活动经验。

3.在相互交流的过程中，学会倾听他人意见，及时自我修正、自我反思，增强学好数学的信心。

教学重点：

在尝试解决问题的过程中，体会化繁为简，数形结合等思想方法，积累数学思维的活动经验。

教学难点：

在尝试解决问题的过程中，体会化繁为简，数形结合等思想方法，逐步提升空间观念。

教学准备：

每小组小正方体个、二阶、三阶、四阶魔方各一个、图纸和记录单一份、课件。

教学过程：

一、在观察中，引发要探究的问题

1.谈话引入。

（1）教师：同学们，这段时间我们一直在研究长、正方体的相关知识，请大家

看屏幕，这是一个棱长是1cm的小正方体，拼成这样一个棱长是19cm的大正方体，你觉得需要多少个小正方体？说说你是怎么想的？

预设：19×19×19（课件演示）

（2）教师：如果把这个大正方体的表面都涂上红色，小正方体表面的颜色有变

化吗？是不是小正方体的每个表面都涂上了红色？

预设：不全都是

2.分类。

（1）教师：会有几种情况呢？你们可以商量一下。

预设：分为四类，三面涂色的，两面涂色的，一面涂色的和没有涂色的

（2）教师：有没有4个面涂色的？说说你的想法。5个面？6个面呢？

3.创设认知冲突，感受数学思想。

（1）教师： 正像大家所想的那样，如果把这个大的正方体的表面涂上颜色，那么组成这个大正方体的小正方体就会出现三面涂色的，两面涂色的，一面涂色的和没有涂色的这四种情况，那么每种情况的小正方体会各有多少个呢？如果请你来数一数，你有什么感觉？

（2）教师：这个图形太复杂了，数起来不方便。我们可以把复杂的、多的问题转化成简单的、少的问题去研究，发现其中的规律之后，再利用规律去解决复杂的问题。这就是大家熟悉的“化繁为简”的想法。

二、在尝试中，探索规律

1．提出探究问题及要求。

（1）教师：大家觉得我们从棱长是几的正方体开始研究便于我们找到答案，发现规律呢？

（2）预设：棱长是2cm、3cm、4cm的大正方体，如果分别把它们的表面涂色，四种涂色情况的小正方体各有多少个呢？是不是存在什么规律呢？

（3）提出要求：请大家以小组为单位一起研究一下。如果在研究的过程中感觉到困难，我给大家准备了图纸、魔方、小正方体，大家可以选择你需要的学具帮你来研究！然后把你们研究的结果填写在表格中相应的位置。看哪组的记录能让大家一眼就看出你们的想法，开始吧！

2.小组合作探究。

（1）你们选的什么学具进行研究的？

（2）具体说说你们的研究成果？

预设：

①a=2cm

※三面涂色的块数是8块，两面涂色、一面涂色、没有涂色的块数分别是0块。

追问：对他说的你们有疑问吗？

能帮我指一下，你们所说的3个面涂色的小正方体有8个，分别在哪儿呢吗？

后面再说的时候，希望大家把你们的发现指给我们看看！让我们都看清楚！

②a=3cm

※通过观察我们发现了三面涂色的小正方体在大正方体顶点的位置，我们知道方体有8个顶点，那么，三面涂色的小正方体就有8个。

※棱上的这一个小正方体是两面涂色的，我们知道正方体有12条棱，那么，两面涂色的小正方体就有12个。

※一面涂色的小正方体在大正方体的面上，正方体有6个面，那么一面涂色的小正方体就是有6个。

※没有涂色的小正方体是上面、下面、前面、后面、左面、右面各去掉涂色的那一层，也就是中间最里面的这一个，没有涂色的小正方体有1个。

③a=4cm

※三面涂色的小正方体在大正方体顶点的位置，正方体有8个顶点，因此，三面涂色的小正方体就有8个。

※两面涂色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上顶点位置的小正方体是三面涂色的，不符合条件，因此要用4-2=2，每条棱上符合条件的是2个，我们知道正方体有12条棱，用2×12=24个。

※一面涂色的小正方体在大正方体的面上，符合条件的每个面上是4个，正方体有6个面，用4×6=24个。

※去掉上面、下面、前面、后面、左面、右面各一层涂色的，也就是中间这两层，没有涂色的小正方体有8个。

（3）追问：

①没有涂色的小正方体还可以怎样算？

预设：总块数—三面涂色的块数—二面涂色的块数—一面涂色的块数

②每类小正方体的位置有什么特点吗？

预设： 

※在正方体顶点的位置是三面涂色的。

※在正方体棱上中间的这些小正方体是两面涂颜色的。

※在正方体面上除去周围一圈的这些小正方体是一面涂色。

※去掉三面涂色的，去掉两面涂色的，去掉一面涂色的，也就是中间的这些小正方体是没有涂色的。

③观察表格中的数据，提问：

a=3cm：

每条棱上明明有3个小正方体，为什么两面涂色的个数是12不是3×12呢？

每个面上明明有9个小正方体，为什么一面涂色的个数是6不是9×6呢？

a=4cm：

明明每条棱上有4个小正方体，为什么两面涂色的个数用2×12不用4×12呢？

明明每个面上有16个小正方体，为什么一面涂色的个数用4×6不用16×6呢？

4.验证猜想，发现数据特点。

教师：按这样的规律摆下去，你能猜想一下棱长是5cm和6cm的正方体的涂色情况吗？

棱长是5cm：三面涂色8个；

两面涂色3×12=36（个）；

一面涂色32×6=54（个）；

没有涂色33=27（个）。

追问：

①每条棱上明明有5个小正方体，两面涂色的块数怎么用3×12而不用5×12呢？3是怎么得到的？

预设：通过观察，我们发现每条棱上顶点位置的2个小正方体是三面涂色的，不符合条件，因此要用5-2=3，再用3×12=36个，因此两面涂色的小正方体是36个。

②明明每个面上是25个小正方体，一面涂色的块数为什么用9×6呢？9是怎么得到的？

预设：通过观察，我们发现每条棱上的小正方体是不符合条件的，因此，用5-2=3，3×3=9，每个面上符合条件的有9个，再用9×6=54个。因此，一面涂色的小正方体就是54个了。

棱长是6cm：三面涂色8个；

两面涂色4×12=48（个）；

一面涂色42×6=96（个）；

没有涂色43=（个）。

追问：

①每条棱上明明有6个小正方体，两面涂色的块数怎么用4×12而不用6×12呢？4是怎么得到的？

预设：通过观察，我们发现每条棱上顶点位置的2个小正方体是三面涂色的，不符合条件，因此要用6-2=4，再用4×12=48个，因此两面涂色的小正方体是48个。

②明明每个面上是36个小正方体，一面涂色的块数为什么用16×6呢？16是怎么得到的？

预设：通过观察，我们发现每条棱上的小正方体是不符合条件的，因此，用6-2=4，4×4=16，每个面上符合条件的有16个，再用16×6=96个。因此，一面涂色的小正方体就是96个。（课件演示）

5.总结提升。

教师：研究到这儿，同学们能不能发现正方体涂色问题有怎样的规律？

（1）监控：

①三面涂色的在正方体顶点的位置，因为正方体有8个顶点，所以都有8个；

②两面涂色的在正方体棱上除去两端的位置，因为正方体有12条棱，所以有（棱长―2）×12个；

追问：（棱长-2）表示的是什么呢？ 

③一面涂色的在正方体每个面除去周边一圈的位置，因为正方体有6个面，所以有（棱长—2）2×6个；

④没有涂色的在正方体里面除去表面一层的位置，所以有（棱长―2）3个，或者，用总块数—三面涂色的块数—二面涂色的块数—一面涂色的块数。

（3）设疑：如果继续研究下去，你觉得怎么样？

监控：麻烦。

追问：那你想怎么办？

小结：如果用字母n表示棱长，你能用字母表示刚才的规律吗？

6.应用规律。

回馈课始的研究内容 

三、课堂总结

小结：同学们，我们一起回顾刚才的研究过程，当我们遇到比较复杂的问题，解决起来有困难时，可以尝试先从简单的情况开始，看能否发现规律，再应用规律去解决复杂的问题，这是一种解决问题常用的思想方法。另外，我们还一起经历了观察、动手操作、想象等活动，探索出了图形涂色问题中的所蕴含的规律。

板书设计：                    

探索图形         化繁为简

       三面涂色（顶点） 两面涂色（棱） 一面涂色（面）  没有涂色（中心）

a=2cm    8                 0                 0               0

a=3cm    8                12                 6               1

a=4cm    8               2×12=24        2×2×6=24        2×2×2=8

a=5cm    8               3×12=36        3×3×6=54        3×3×3=27

a=6cm    8               4×12=48        4×4×6=96        4×4×4=

                      （棱长-2）×12   （棱长-2）2×6      （棱长-2）3

                         12（n-2）        6（n-2）2         （n-2）3下载本文