1．理解函数的奇偶性及其几何意义；

2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3．掌握判断函数奇偶性的方法与步骤．

学法指导：

通过自己动手计算，地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．通过函数奇偶性概念的形成过程，培养观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想，培养从特殊到一般的概括归纳问题的能力.

教学重点难点：

重点：函数的奇偶性定义的理解及应用

难点：函数的奇偶性判断方法及应用

教学过程：

一、问题情境：美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体，中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称的美．这种“对称美”在数学中也有大量的反映．今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习．

探究点一　偶函数、奇函数的概念

问题1　观察函数y＝x2   与y＝x3 的图象，你能通过函数的图象，归纳出二个函数的共同特征吗？

二、函数奇偶性的概念:

偶函数定义:     如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有 f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.

奇函数定义:  如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) , 那么函数f(x)就叫奇函数.

思考：偶函数与奇函数的图像有什么特点?

如果函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，我们就说这个函数是偶函数，那么如何从代数的角度定义偶函数？

关于函数奇偶性的说明：

1  函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说明函数f(x)具有奇偶性.

2  判断函数奇偶性 的前提条件：定义域是否关于原点对称。

3  偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。

例1　判断下列函数哪些是偶函数．

（1）f(x)＝x2＋1；（2）f(x)＝x2，x∈[－1,3]；（3）f(x)＝0.  （4）f(x)=x3+2x                     

小结　利用定义法判断函数的奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量．

训练1　判断下列函数的奇偶性．

（1）f(x)＝x4；   （2）f(x)＝x5；   （3）f(x)＝x＋；

（4）f(x)＝；   （5）f(x)＝；  （6）f(x)＝＋.

（7）f(x)＝(x＋1)(x－1)；   （8）f(x)＝.

小结　（1）对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数．（2）用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，看是否关于原点对称；②再判断f(－x)＝－f(x)

或f(－x)＝f(x)是否恒成立．

训练2　判断下列各函数的奇偶性：

（1）f(x)＝(x－2)；（2）f(x)＝

训练3：若函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，定义域为[a-1,2a]，则a=(    ),b=(   ) 

三、　函数奇偶性的应用

例3　如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．

小结　本题有两种解法，一种是通过图象观察，f(－3)>f(－1)，选用偶函数定义，得f(3)>f(1)；另一种方法是利用偶函数图象的对称性．

训练4　如图，给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－4)＝________.

四、探究　利用奇偶性求函数解析式

例2　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．

小结　求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．

训练5　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．

【当堂检测】

1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)

A．y＝x3      B．y＝|x|＋1     C．y＝－x2＋1      D．y＝－

2．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 (　　)

A．f(x)＋|g(x)|是偶函数                B．f(x)－|g(x)|是奇函数

C．|f(x)|＋g(x)是偶函数                D．|f(x)|－g(x)是奇函数

3．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是    (　　)

A．0                  B．1                  C．2                  D．4

4．偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝_______

【课堂小结】

1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．

2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．

3．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称.

【课后作业】

一、基础过关

1． 下列说法正确的是                                                    (　　)

A．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数

B．如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称

C．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数

D．如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为奇函数

2． f(x)是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是                        (　　)

A．f(－x)＋f(x)＝0   B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)    C．f(x)·f(－x)≤0    D．＝－1

3． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是                    (　　)

A．y＝－x2＋5(x)   B．y＝－x    C．y＝x3(x)    D．y＝－(x，x≠0)

4． 已知y＝f(x)，x(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是                    (　　)

A．奇函数    B．偶函数    C．既是奇函数又是偶函数   D．非奇非偶函数

5.  设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不

等式f(x)<0的解集是______．

6． 若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________.

7． 判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)＝3，x；             （2）f(x)＝5x4－4x2＋7，x[－3,3]；

（3）f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；        （4）f(x)＝

8． 已知函数f(x)＝(a，b，c)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＜3，求a，b，c的值．

二、能力提升

9． 给出函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是 (　　)

A．(a，－f(a))          B．(a，f(－a))    C．(－a，－f(a))      D．(－a，－f(－a))

10．已知定义在上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a－a2)，则实数a的取值范围是________．

11．已知函数f(x)＝1－.

（1）若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；

（2）试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．

12．已知奇函数f(x)＝.

（1）求实数m的值，并画出y＝f(x)的图象；

（2）若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．

三、解答题

13．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．

（1）判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

（2）若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．