注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。 1．设1i
2i 1i
z -=
++，则||z =
A ．0
B ．
1
2
C ．1
D
2．已知集合{}
2
20A x x x =-->，则
A =R
A ．{}12x x -<<
B ．{}12x x -≤≤
C ．}
{}{|1|2x x x x <->
D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比
例
则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少
B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-
B ．10-
C ．10
D ．12
5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-
B ．y x =-
C ．2y x =
D ．y x =
6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =
A ．31
44
AB AC - B ．
13
44
AB AC - C ．
31
44
AB AC + D ．13
44
AB AC +
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
A ．172
B ．52
C ．3
D ．2
8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为
2
3
的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7
D ．8
9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩
，
，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）
B ．[0，+∞）
C ．[–1，+∞）
D ．[1，+∞）
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，
三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则
A ．p 1=p 2
B ．p 1=p 3
C ．p 2=p 3
D ．p 1=p 2+p 3
11．已知双曲线C ：2
213
x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与
C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN
|=
A ．32
B ．3 C
． D ．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此
正方体所得截面面积的最大值为 A
．
B
C
D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则32z x y =+的最大值为_____________．
14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则
不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
16．已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分）
在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；
（2
）若DC =，求BC . 18．（12分）
如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把
DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥.
（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.
19．（12分）
设椭圆
2
2
:1
2
x
C y
+=的右焦点为F，过F的直线l与C交于,A B两点，点M
的坐标为(2,0).
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：OMA OMB
∠=∠.
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，
设每件产品为不合格品的概率都为)1
0(<
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为) (p f,求) (p f的最大值点 p．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定 的 p作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．学.科网 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21．（12分） 已知函数 1 ()ln f x x a x x =-+． （1）讨论() f x的单调性； （2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明： ()() 1212 2f x f x a x x -<--． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程. 23．[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知()|1||1|f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 参： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A B D A B D C A B A 13.6 14.63- 15.16 16.2 - 17.（12分） 解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB = ∠∠. 由题设知， 52 sin 45sin ADB = ︒∠，所以sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠== （2）由题设及（1）知，cos sin 5 BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠ 258255 =+-⨯⨯ 25=. 所以5BC =. 18.（12分） 解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD . 以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz . 由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，所以PE 又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF . 可得322 PH EH = =. 则33(0,0,0),(1,,0),(1,22H P D DP -- =HP =为平面ABFD 的法向量. 设DP 与平面ABFD 所成角为θ ，则3 4sin ||||||3 HP DP HP DP θ⋅===⋅. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为4 . 19. （12分） 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1. 由已知可得，点A 的坐标为(1, 2 或(1,2 -. 所以AM 的方程为2y x =- +2 y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 1221(,),(,)A y x y x B ， 则12x x < k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2) MA MB x x x x k k x x k k k -+++= --. 将(1)y k x =-代入2 212 x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以，21221222422 ,2121 x x x k k k x k -+==++. 则31313222 44128423()4021 k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠. 20.（12分） 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为2218 20()C (1)f p p p =-.因此 2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--. 令()0f p '=，得0.1p =.当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时， ()0f p '<. 所以()f p 的最大值点为00.1p =. （2）由（1）知，0.1p =. （i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B ， 20225X Y =⨯+，即4025X Y =+. 所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=. （ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于400EX >，故应该对余下的产品作检验. 21.（12分） 解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222 11 ()1a x ax f x x x x -+'=--+=-. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在 (0,)+∞单调递减. （ii ）若2a >，令()0f x '= 得，x = 或x =. 当2()2 a a x +∈ +∞时，()0f x '<； 当 (22 a a x -+∈ 时，()0f x '>.所以()f x 在 (0,),(,)2 2a a -++∞单调递减，在(22 a a -+单调 递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >. 由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于 121212212121212 22 ()()ln ln ln ln 2ln 1 1221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以 1212()()2f x f x a x x -<--等价于222 1 2ln 0x x x -+<. 设函数1 ()2ln g x x x x = -+， 由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <. 所以 2221 2ln 0x x x -+<，即1212 ()()2f x f x a x x -<--. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆． 由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．学#科网 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2， 2=， 故43 k =-或0k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4 3 k =-时，1l 与2C 只有一个公 共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2， 2=， 故0k =或4 3 k = ． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4 3 k = 时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为 4 ||23 y x =-+． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪ =-<<⎨⎪≥⎩ 故不等式()1f x >的解集为1 {|}2 x x >． （2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以2 1a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1, ()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪ =-<<⎨⎪≥⎩ 故不等式()1f x >的解集为 1 {|}2 x x >． （2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以2 1a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．下载本文
