材料力学笔记
一、截面对形心轴的轴惯性矩
矩形、实心圆、空心圆、薄壁圆截面的轴惯性矩分别为
| Ix=Iy=bh³/12 | |
| （B.3-4） |
| （B.3-5） |
| Ix=Iy=πR0³t | （B.3-6） |
式中，d—实心圆直径和空心圆内径，D—空心圆外径，R0—薄壁圆平均半径。t—薄壁圆壁厚。
惯性矩I量纲为长度的四次方（mm4），恒为正。
二、截面抗弯刚度EIz和抗弯截面模量Wz
上式代表距中性层为y处的任一纵向“纤维”的正应变，式中的ρ对同一横截面来说是个常数， 所以正应变ε与y成正比（上缩下伸），与z无关。式（a）即为横截面保持平面，只绕中性轴旋转的数学表达式，通常称为几何方面的关系式。
式（b）表示横截面上正应力沿梁高度的变化规律，即物理方面的关系式。由于式中ρ对同一横截面来说是个常数，均匀材料的弹性模量E也是常数，所以横截面上任一点处的正应力与y成正比（上压下拉） 。显然中性轴上的正应力为零，而距中性轴愈远，正应力愈大，最大正应力σmax发生在距中性轴最远的上下边缘（图7.2-4）。
图7.2-4 弯曲正应力分布
微内力对中性轴z之矩组成弯矩M，即 （e）
代入式（b），并将常数从积分号中提出，得 。
| 令 ，称为横截面对z轴的惯性矩，它只取决于横截面的形状和尺寸，其量纲是长度的四次方， 此值很容易通过积分求出 。于是得出 |
| 上式确定了曲率的大小。式中EIz称为截面抗弯刚度（stiffness in bending）。到此为止，式（a）中的y和ρ已经确定。联合式（b）及式（7.2-1），得出 |
上式即为对称弯曲正应力公式。当y=ymax时，得出最大正应力公式，即
式中 称为抗弯截面模量（section modulus in bending），其量纲是长度的三次方。
表7.2-I列出了简单截面的Iz和Wz计算公式。表中α=d/D，R0为薄壁圆平均半径。
三、平行轴间惯性矩的移轴公式
图B.3-3
如图B.3-3所示，设y0、z0为截面的一对形心轴，如果截面对形心轴的惯性矩为和，则截面对任一平行于它的轴y和z的惯性矩为：
上式称为惯性轴的移轴公式或称平行轴定理（Parallel axis theorem）。式中A为截面面积，a和b分别为坐标轴y0和y以及z0和z之间的垂直距离。
如为组合截面，则上式表示为
读者自行计算下图各截面对z轴的静矩和惯性矩：
四、极惯性矩
| 图B.2-1 | 任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在矢径为处取一微面积dA，定义截面对原点O的极惯性矩为 | | （B.2-1） | |
| 极惯性矩的量纲为长度的4次方（mm4），它恒为正。 |
1. 定义
2. 圆截面的极惯性矩
| 图B.2-2 | 图示圆截面，取微面积为一薄壁环，即（图B.2-2）， 读者自行证明实心圆、空心圆和薄壁圆截面（图B.2-3）的极惯性矩分别为： | | （B.2-2） | |
| 式中，d—空心圆内径，D—空心圆外径，R0—薄壁圆平均半径。 |
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