一、1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*)．②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
| y＝ax | a>1 | 0 |
| 图象 | ||
| 定义域 | R | |
| 值域 | (0，＋∞) | |
| 性质 | 过定点(0，1) | |
| 当x>0时，y>1；当x<0时，0 | 当x>0时，0 | |
| 在R上是增函数 | 在R上是减函数 | |
| 概念 | 如果ax＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数 | |
| 性质 | 底数的：a>0，且a≠1 对数式与指数式的互化：ax＝N⇒logaN＝x 负数和零没有对数,1的对数是零：loga1＝0 底数的对数是1：logaa＝1,对数恒等式：alogaN＝N | |
| 运 算 性质 | loga(M·N)＝logaM＋logaN | a>0，且a≠1，M>0，N>0 |
| loga＝logaM－logaN | ||
| logaMn＝nlogaM(n∈R) | ||
| 换 底公式 | 公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0) | |
| 推广：logambn＝logab；logab＝ | ||
| a>1 | 0 | |
| 图象 | ||
| 性质 | 定义域：(0，＋∞) | |
| 值域：R | ||
| 过定点(1，0) | ||
| 当x>1时，y>0 当0 | 当x>1时，y<0 当0 | |
| 在(0，＋∞)上是增函数 | 在(0，＋∞)上是减函数 | |
1.设函数，若对于任意实数x恒成立，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.函数是上的奇函数，满足，当∈（0，3）时，则当∈（，）时， =（ ）
A. B. C. D.
3.设1 < a < b < a 2，则在四个数2，log a b，log b a，log a b a 2中，最大的和最小的分别是（ ）
（A）2，log b a （B）2，log a b a 2 （C）log a b，log b a （D）log a b，log a b a 2
二、填空
4.已知a > 0，f ( x ) =，则f () + f () + … + f () =_________。
5.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是________________________.
6.先将函数f ( x ) = ln的图像作关于原点的对称变换，然后向右平移1个单位，再作关于y = x的对称变换，则此时的图像所对应的函数的解析式是 。
7.已知函数y = log[ a x 2 + 2 x + ( a – 1 ) ]的值域是[ 0，+ ∞ ])，则参数a的值是 。
三、解答题
8.已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求；
（2）判断函数的单调性（不必证明）
（3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.
9.已知函数，函数的最小值为．
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数同时满足下列两个条件：①；②当的定义域为时，值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
10.函数在区间上恒有定义，求实数的取值范围．
11.(本题满分12分) 已知函数，其中是大于0的常数
（1）设, 判断并证明在内的单调性；
（2）当时，求函数在[ 2 内的最小值；
（3）若对任意恒有，试确定的取值范围。
12.（12分）已知函数为奇函数，为常数.
（1）求的值；
（2）当时，是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由；
（3）设函数，当为何值时，不等式在有实数解？
13.（12分）函数y=f（x）满足lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x），
（1）求f（x）；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）的递减区间．
14.已知二次函数在区间[2，3]上有最大值4，最小值1.
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)设.若在时恒成立，求的取值范围.
试卷答案
1.D
2.B
3.A
4.
5.或
6.y = e x
7.1 –
8.解 （1） 因为是R上的奇函数，所以
从而有…………………..3分
（2）由（1）知
由的单调性可推知在R上为减函数…………………….3分
（3）解法一：由（1）知
由上式易知在R上为减函数，
又因是奇函数，从而不等式
等价于 …….2分
因是R上的减函数，由上式推得
即对一切从而
………………………………………….…………2分
9.解析：（1）由，知，令
．．．．．．．．．．．．1分
记，则的对称轴为，故有：
①当时，的最小值
②当时，的最小值
③当时，的最小值
综述， ．．．．．．．．．．．．7分
（2）当时，．故时，在上为减函数．
所以在上的值域为． ．．．．．．．．．．．．9分
由题，则有，两式相减得，又
所以，这与矛盾．故不存在满足题中条件的的值．
10.解析：设，则
在区间上恒有定义即在上恒成立．
当时，于上恒成立．
当时，的对称轴，在上单调增加，所以，
，
由，，所以．
当时，于上恒成立，则，
由，，得
，即；
由，得，
解得或，所以，或．
综上，．
11.解析：（I）
， …………1分
（II）证明：由（I）知：，令
（III）对于[3，4]上的每一个x的值，不等式恒成立，
即：恒成立 …………10分
由（II）知：在R上单调递增，
内单调递增，显然在[3，4]上递增，…………12分
，
…………14分
12.
（1）增函数，用定义证明.
（2）设，当，时
由（1）知在上是增函数
∴在上是增函数
∴在上的最小值为
（3） 对任意恒有，即对恒成立
∴ ，而在上是减函数
∴，∴
13.
13考点： 对数的运算性质；指数函数综合题；对数函数的图像与性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）由lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x），可得lg（lgy）=lg[3x（3﹣x）]，0＜x＜3．lgy=3x（3﹣x），即可得出．
（2）令u=3x（3﹣x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而10u是增函数，即可得出，
（3）由（2）可知：函数f（x）的递减区间为．
解答： （1）∵lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x），
∴lg（lgy）=lg[3x（3﹣x）]，0＜x＜3．
∴lgy=3x（3﹣x），
∴f（x）=y=103x（3﹣x），x∈（0，3）．
（2）令u=3x（3﹣x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而10u是增函数．
∴，
∴f（x）的值域为．
（3）由（2）可知：函数f（x）的递减区间为．
点评： 本题考查了对数的运算法则、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.解：(Ⅰ)∵
∴函数的图象的对称轴方程为
∴在区间[2，3]上递增。
依题意得
即，解得
∴
(Ⅱ)∵ ∴
∵在时恒成立，
即在时恒成立
∴在时恒成立
只需
令，由得
设
∵
当时，取得最小值0
∴
∴的取值范围为
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