一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直接利用并集运算得到答案.
【详解】
，，则
故选：
【点睛】
本题考查了并集运算，属于简单题.
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．，则
D．若，则
【答案】B
【解析】依次判断每个选项：当时不成立，错误；正确；也成立，错误；当不成立，错误；得到答案.
【详解】
A. 若，则，当时不成立，错误；
B. 若，则，正确；
C. ，则，也成立，错误；
D. 若，则，当不成立，错误；
故选：
【点睛】
本题考查了对数指数和幂运算，意在考查学生对于基本函数运算的理解.
3．值域为的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依次计算值域：A值域为；B值域为；C值域为；D值域为；得到答案.
【详解】
A. ，值域为，满足；B. 值域为；
C. 值域为；D. 值域为；
故选：
【点睛】
本题考查了函数的值域，意在考查学生的计算能力.
4．下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】化简得到，利用函数的单调性得到答案.
【详解】
，在锐角范围内单调递增，故
故选：
【点睛】
本题考查了三角函数值的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用.
5．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】计算得到，根据得到答案.
【详解】
，，则，
故选：
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系，意在考查学生的计算能力.
6．若，则（ ）
A．22 B．
C．30 D．
【答案】A
【解析】取，则，代入计算得到答案.
【详解】
，
取，则，
故选：
【点睛】
本题考查了函数值的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.
7．函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】确定函数为偶函数，排除，当时，，排除，得到答案.
【详解】
，，偶函数，排除；
当时，，排除；
故选：
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，取特殊值排除可以快速得到答案，是解题的关键.
8．存在函数满足：对任意的都有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取特殊值得到矛盾排除，存在，验证满足条件得到答案.
【详解】
A. ，取和得到，，矛盾；
B. ，取和得到，，矛盾；
C. 存在函数，则对任意的，；
D. ，取和得到，，矛盾；
故选：
【点睛】
本题考查了函数的存在性问题，取特殊值排除可以快速得到答案，是解题的关键.
9．如图，正方形的边长为2，为边中点，射线绕着点按逆时针方向从射线旋转至射线，在旋转的过程中，记为，射线扫过的正方形内部的区域（阴影部分）的面积为，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．在上为增函数
C．
D．图象的对称轴是
【答案】D
【解析】计算得到，正确；根据单调性得到正确，错误；根据对称性得到正确；得到答案.
【详解】
当时，，即，正确；
根据图像知：时，单调递增，故正确，错误；
正方形的面积为，根据对称性得到，正确；
故选：
【点睛】
本题考查了函数的应用，函数的单调性，对称性，意在考查学生对于函数性质的应用能力.
10．设，若函数与函数的图像有且只有3个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】讨论三种情况，画出图像根据的解的情况，得到方程的解的情况，计算得到答案.
【详解】
当时，易知和有三个交点，满足；
当时，有一个解，如图所示；
故，即在上有两个解.
满足：解得，故；
当时，有两个解，如图所示；
故，即在上有一个解.
恒成立.
故，故 ，或，验证不成立，舍去，故
综上所述：
故选：
【点睛】
本题考查了根据函数零点求参数范围，分类讨论是常有的方法，需要熟练掌握.
二、填空题
11．若，则______.
【答案】
【解析】利用对数指数运算法则计算得到答案.
【详解】
，则
故答案为：
【点睛】
本题考查了数值的计算，意在考查学生的计算能力.
12．已知，，则______.
【答案】
【解析】计算得到，化简得到得到答案.
【详解】
，，则，
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角函数化简，意在考查学生的计算能力.
13．已知扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积是______.
【答案】
【解析】直接利用扇形的面积公式得到答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查了扇形的面积，意在考查学生的计算能力.
14．已知，且，函数，若，则______.
【答案】
【解析】直接代入数据计算得到答案.
【详解】
，，故
故答案为：
【点睛】
本题考查了分段函数的计算，意在考查学生的计算能力.
15．设函数，，若关于的方程恰好有三个根，则______.
【答案】
【解析】根据，得到，如图所示，根据对称性得到 ，，代入计算得到答案.
【详解】
，则，如图所示：则，
即；
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数零点问题，三角形函数对称性，意在考查学生的综合应用能力.
16．设关于的三个方程，，的实根分别为，，，，，若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】画出函数，和的图像，计算交点， ，，根据图像得到答案.
【详解】
，则；，则；，则.
画出函数，和的图像，如图所示：
当时，即，故
计算知：， ，
根据图像知：要满足，则
故答案为：
【点睛】
本题考查了方程解的大小关系求参数，画出函数图像是解题的关键.
三、解答题
17．已知集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）化简得到和，代入计算得到答案.
（2）根据题意得到，计算得到或，再验证互异性得到答案.
【详解】
（1）因为，，所以.
（2）因为，所以中有两个元素，即，所以，
解得或，由元素的互异性排除可得.
【点睛】
本题考查了根据元素与集合的关系，集合的运算结果求参数，意在考查学生对于集合性质的综合应用.
18．已知函数的图象经过点.
（1）求的值以及函数的单调递增区间；
（2）若，求的值.
【答案】（1）, （2）
【解析】（1）代入计算得到，再计算单调性得到答案.
（2），化简得到得到答案.
【详解】
（1）函数的图象过点，所以.
又因为，，所以，即，
所以.
由，，整理得，，
所以的单调递增区间为.
（2）因为，
所以.
【点睛】
本题考查了三角函数的解析式，单调性和三角恒等变换，意在考查学生对于三角函数知识 的综合应用.
19．已知集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）计算得到，，讨论，和三种情况计算得到答案.
（2）根据（1）中讨论计算得到答案.
【详解】
（1），.
① ；② ；③ .
∵ ，∴ .
（2）根据（1）中讨论知：∵ ，∴ .
【点睛】
本题考查了根据集合的包含关系和运行结果求参数，意在考查学生对于集合性质的综合应用.
20．已知函数.
（1）求的单调减区间；
（2）设，函数，若对任意，都存在实数，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）当时，单调减区间为，.当时，单调减区间为 ，.（2）
【解析】（1）讨论和两种情况，分别计算得到答案.
（2）计算得到，根据的值域是的值域的子集计算得到答案.
【详解】
（1），
当时，的单调减区间，.
当时，是对勾函数，单调减区间，.
（2），，
故，
是对勾函数，值域.
，对任意，都存在实数，使得成立.
所以的值域是的值域的子集，所以.
【点睛】
本题考查了函数的单调性和根据函数值域求参数，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
21．已知函数.
（1）若，在上有意义且不单调，求的取值范围；
（2）若集合，，且，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据题意得到二次函数的对称轴在之间，且在上恒为正，
，计算得到答案.
（2）设为方程的两个根，计算，得到，计算得到答案.
【详解】
（1）当时，，
二次函数的对称轴在之间，且在上恒为正，
∴ ，解得；
（2）因为，设为方程的两个根，
∴ ，
由，得且，由得，
所以，
因为，∴，解得或，
又为方程的两个根，所以，
∴，解得
综上所述.
【点睛】
本题考查了函数的定义域和值域，单调性，根据集合相等求参数，意在考查学生的综合应用能力.下载本文
