（1）证明：AC=AB1；

（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值．

解：（1）∵面BB1C1C为菱形

∴BC1⊥B1C，O为B1C和BC1的中点

∵AB⊥B1C

∴B1C⊥面ABC1

令BC1与B1C交于点O，连接AO

∵AO⊂面ABC1

∴B1C⊥AO

∵B1O=CO

∴AO是B1C的中垂线

∴AC=AB1

（2）因为AO、BC1、B1C两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

令|OB|=1，由AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC易得：

A（0，0，），B（1，0，0），B1（0，，0），C（0，-，0）

∴=（0，，），=（-1，0，），=（-1，-，0）

设向量(x，y，z)是平面AA1B1的一个法向量，则：

由此，可取(1，，)

同理可得，平面A1B1C1的一个法向量为：

(1，，)

∴

∴二面角A-A1B1-C1的余弦值为

【全国卷·新课标II·第18题】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（1）证明：PB∥平面AEC；

（2）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积．

解：（1）连接BD交AC于O，连接OE

∵底面ABCD为矩形

∴O为BD的中点

∵E为PD的中点

∴PB∥OE

∵OE⊂面AEC，PB面AEC

∴PB∥平面AEC

（2）∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥AB，PA⊥AD

又AB⊥AD，即PA、AB、AD两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

∵平面ADE与平面yOz重合

∴可取平面ADE的一个法向量为(1，0，0)

设CD=a，由AD=，则C（a，，0）

∴=（a，，0）

由AP=1，易得E（0，，）

∴=（0，，）

设向量(x，y，z)是平面ACE的一个法向量，

则

由此，可取(，，3)

∵二面角D-AE-C为60°

∴

解得：，即CD=

∴S△ACD=AD·CD=

过点E作EF⊥AD于F

则EF=AP=，EF∥AP

∵PA⊥平面ABCD，即PA⊥平面ACD

∴EF⊥平面ACD

∴EF是三棱锥E-ACD的高

∴VE-ACD=·S△ACD·EF=××=

【全国卷·大纲版·第19题】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．

（1）证明：AC1⊥A1B；

（2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1-AB-C的大小

解：（1）∵点A1在平面ABC内的射影D在AC上

∴A1D⊥平面ABC

∵A1D平面ACC1A1

∴平面ACC1A1⊥平面ABC

∵∠ACB=90°，即BC⊥AC

∴BC⊥平面ACC1A1

∵AC1平面ACC1A1

∴AC1⊥BC

连接A1C，由AC=CC1知，侧面ACC1A1为菱形

∴AC1⊥A1C

∵BC、A1C平面A1BC

∴AC1⊥平面A1BC

∵A1B平面A1BC

∴AC1⊥A1B

（2）过点D作DF⊥AB于F，连接A1F

∵A1D⊥平面ABC，AB平面ABC

∴AB⊥A1D

∴AB⊥平面A1DF

∴A1F⊥AB

∴∠A1FD是二面角A1-AB-C的平面角

过点A1作A1E⊥CC1于E

则A1E⊥平面BCC1B1

∵AA1∥平面BCC1B1

∴A1E为直线AA1到平面BCC1B1的距离

∴A1E=

∵AC=CC1=2，A1D⊥AC

∴由菱形ACC1A1的面积得，A1D=A1E=

在Rt△A1DA中，A1A= CC1=2

∴AD=

易得△AFD∽△ACB，则

∵AB=

∴DF=

∴tan∠A1FD=

∴二面角A1-AB-C的大小为

【北京市·第17题】如图，正方形AMDE的边长为2，B、C分别为AM、MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H．

（1）求证：AB∥FG；

（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长

解：（1）∵AB∥DE，DE平面PDE

且AB平面PDE

∴AB∥平面PDE

∵平面AFGB∩平面PDE=FG

AB平面AFGB，FG平面PDE

∴AB∥FG

（2）由题知，AP、AM、AE两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

由AM=AE=PA=2，易得：

B（1，0，0），F（0，1，1），C（2，1，0），P（0，0，2）

∴=（1，1，0），=（1，0，0），=（0，1，1），=（2，1，-2）

设向量(x，y，z)是平面ABF的一个法向量

则

由此，可取(0，1，-1)

设直线BC与平面ABF所成角为θ，则

∴直线BC与平面ABF所成角θ=

设H（a，b，c），点H在棱PC上，不妨=k，其中0＜k＜1

∵=（2，1，-2），=（a，b，c-2）

∴（a，b，c-2）=k（2，1，-2）

∴a=2k，b=k，c=2-2k

∴=（2k，k，2-2k）

∵(0，1，-1)为平面ABF的一个法向量

且AH平面ABF

∴

∴k-2+2k=0，得k=

∵|PC|=

∴|PH|=2

【天津市·第17题】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

（1）证明：BE⊥DC；

（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（3）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．

解：（1）由题意知，AP、AB、AD两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

易得：B（1，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），P（0，0，2）

∴=（2，0，0）

∵E是PC的中点       ∴E（1，1，1）

∴=（0，1，1）

∵·=0         ∴BE⊥CD

（2）∵=（-1，0，2），=（-1，2，0）

设向量(x，y，z)是平面PBD的一个法向量

则

由此，可取(2，1，1)

设直线BE与平面PBD所成角为θ，则

∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为

（3）点F在PC上，不妨设=k，其中0≤k≤1

设F（a，b，c），由=（2，2，-2）得：

（a，b，c-2）=k（2，2，-2）

∴a=2k，b=2k，c=2-2k

∴F（2k，2k，2-2k）

∴=（2k-1，2k，2-2k）

∵BF⊥AC，且=（2，2，0）

∴·=0

即2(2k-1)+4k=0，得

∴=（2k，2k，2-2k）=（，，）

又=（1，0，0）

设向量(x，y，z)是平面ABF的一个法向量

则

由此，可取(0，3，-1)

因为平面ABP与平面xOz重合，则可取平面ABP的一个法向量为（0，1，0）

∴二面角F-AB-P的余弦值为

【重庆市·第19题】如图，四棱锥P-ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．

（1）求PO的长；

（2）求二面角A-PM-C的正弦值

解：（1）连接BD、AC

∵底面ABCD是菱形，中心为O

且PO⊥底面ABCD

∴OP、AC、BD两两互相垂直

以O为坐标原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

由AB=2，∠BAD=，易得

A（，0，0），C（-，0，0），B（0，1，0）

∴=（-，-1，0）

∵BM=，BC=2

∴==（-，-，0）

∴M（-，，0）

设P（0，0，a），则=（-，0，a），=（，-，a）

∵AP⊥MP

∴·=-+a2=0

∴a=，即PO的长为

（2）由(1)知： =（-，0，），=（，-，）

设向量(x，y，z)是平面APM的一个法向量

则

由此，可取(1，，2)

同理可得，平面CPM的一个法向量为：

(1，，-2)

∴

∴二面角A-PM-C的正弦值为

【江苏省·第16题】如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．

求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC

解：（1）∵D、E分别是PC、AC的中点

∴PA∥DE

∵DE平面DEF，PA平面DEF

∴直线PA∥平面DEF

（2）∵D、E分别是PC、AC的中点

∴DE=PA=3

∵E、F分别是AC、AB的中点

∴EF=BC=4

∵DF=5

∴DE2+EF2=DF2

∴∠DEF=90°，即DE⊥EF

∵DE∥PA，PA⊥AC

∴DE⊥AC

∵AC∩EF=E         ∴DE⊥平面ABC

∵DE⊂平面BDE

∴平面BDE⊥平面ABC

【浙江省·第20题】如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=

（1）证明：DE⊥平面ACD；

（2）求二面角B-AD-E的大小

解：（1）在直角梯形BCDE中，易求得BC=

∵在△ABC中，AC=，AB=2

∴AB2+BC2=AB2

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC

∵平面ABC⊥平面BCDE

且AC平面ACD

∴AC⊥平面BCDE

∵DE平面BCDE

∴AC⊥DE

∵∠CDE=90°     ∴DE⊥CD

∵CD平面ACD

∴DE⊥平面ACD

（2）由题，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

易得E（1，0，0），B（1，1，0），A（0，2，）

∴= （1，0，0），=（0，2，）

= （1，1，0）

设向量(x，y，z)是平面ADE的一个法向量

则

由此，可取(0，-1，)

同理可得，平面ADB的一个法向量为：

(1，-1，)

∴

∴二面角B-AD-E的大小为

【山东省·第17题】如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．

（1）求证：C1M∥平面A1ADD1；

（2）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．

解：（1）连接AD1.

∵M是线段AB的中点，AB=2

∴AM=1

∵C1D1=CD=1    ∴C1D1=AM

∵AM∥CD，CD∥C1D1

∴C1D1∥AM

∴四边形AM C1D1是平行四边形

∴C1M∥AD1

∵C1M平面A1ADD1，AD1平面A1ADD1

∴C1M∥平面A1ADD1

（2）过点C作CE⊥AB于E，则CE⊥CD

∵CD1⊥平面ABCD

∴CD1⊥CD，CD1⊥CE

以C为坐标原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐

标系

由CD1=得，D1（0，0，）

由∠DAB=60°，AB=2CD=2，在等腰梯形ABCD中，易求得CE=，EM=

∴M（，，0）

∴=（，，-）

易得C1（-1，0，），则=（1，0，0）

设向量(x，y，z)是平面C1D1M的一个法向量

则

由此，可取(0，2，1)

因为平面ABCD与平面xOy重合，则可取平面ABCD的一个法向量为（0，0，1）

∴

∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角的余弦值为

【江西省·第20题】如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．

（1）求证：AB⊥PD；

（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．

解：（1）∵底面ABCD是矩形    ∴AB⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCD

平面PAD∩平面ABCD=AD

∴AB⊥平面PAD

∵PD平面PAD        ∴AB⊥PD

（2）∵∠BPC=90°，PB=，PC=2

∴BC=

过点P作PO⊥AD于O

∵平面PAD⊥平面ABCD   ∴PO⊥平面ABCD

∴VP-ABCD=AB·BC·PO

过点O作OE⊥AD交BC于E，连接PE

在Rt△BPC中， BC·PE=PB·PC

∴PE=

设AB=x，则OE=x

∴PO=

∴VP-ABCD=

=

∴当，即时，VP-ABCD有最大值

故，AB=时，四棱锥P-ABCD的体积最大

由前述，可建立如图所示的空间直角坐标系

∵PO=    ∴P（0，0，）

∵BE=，CE=

∴B（，，0），C（-，，0）

D（-，0，0）

∴=（，，），=（，0，0）

=（-，0，），= （0，，0）

设向量(x，y，z)是平面PBC的一个法向量

则

由此，可取(0，1，1)

同理可得，平面PDC的一个法向量为：

(-1，0，2)

∴

∴平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为

【广东省·第18题】如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．

（1）证明：CF⊥平面ADF；

（2）求二面角D-AF-E的余弦值．

解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD

∴AD⊥PD

∵四边形ABCD为正方形     ∴AD⊥CD

∵PD、CD平面PCD

∴AD⊥平面PCD

∵CF平面PCD            ∴CF⊥AD

∵AF⊥PC，即CF⊥AF

且AD、AF平面ADF

∴CF⊥平面ADF

（2）因为PD、CD、AD两两互相垂直，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

设正方形ABCD的边长为1，则AD=CD=1

∴A（0，0，1），则=（0，0，1）

由(1)知，DF⊥PC，在Rt△PDC中，由∠DPC=30°，易求得DF=；由EF∥CD，在Rt△DEF中，易求得DE=，EF=

∴E（，0，0），F（，，0）

∴=（0，，0），=（，0，-1）

=（，，0）

设向量(x，y，z)是平面AEF的一个法向量

则

由此，可取(4，0，)

同理可得，平面ADF的一个法向量为：

(，-1，0)

∴

∴二面角D-AF-E的余弦值为

【湖南省·第19题】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．

（1）证明：O1O⊥底面ABCD；

（2）若∠CBA=60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值

解：（1）∵四边形ACC1A1为矩形

∴A1A⊥AC

由题知，四边形ABCD和A1B1C1D1是菱形

∴点O是AC、BD的中点

点O1是A1C1、B1D1的中点

∴OO1∥A1A

∴OO1⊥AC

同理可证：OO1⊥BD

∵AC、BC底面ABCD

∴O1O⊥底面ABCD

（2）∵底面ABCD是菱形

∴AC⊥BD

由（1）知，AC、BD、O1O两两互相垂直

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。设四棱柱所有的棱长为2

由∠CBA=60°，可求得OC=O1C1=1，OB=OD=O1B1=O1D1=

∴C1（0，1，2），B1（，0，0）

∴=（0，1，2），=（，0，2）

设向量(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量

则

由此，可取(2，2，-)

因为平面OB1D与平面xOz重合，故可取平面OB1D的一个法向量为： (0，1，0)

∴

∴二面角C1-OB1-D的余弦值为

【辽宁省·第19题】如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．

（1）求证：EF⊥BC；

（2）求二面角E-BF-C的正弦值

解：由题条件，以B为坐标原点，在平面BCD内作BC的垂线，并以之为x轴；以BC为y轴；在平面ABC内作BC的垂线，并以之为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

由BC=2得，C（0，2，0）

∴= C（0，2，0）

由AB=BC=2，E为AC的中点，∠ABC=120°得：

∠EBC=60°，BE=1

过点E作EH⊥BC于H

则BH=，EH=

∴E（0，，）

同理可得：F（，，0）

∴=（，0，）

（1）∵·=0

∴EF⊥BC

（2）有=（0，，），=（，，0）

设向量(x，y，z)是平面BEF的一个法向量

则

由此，可取(1，-，1)

因为平面BEC与平面yOz重合，故可取平面OB1D的一个法向量为： (1，0，0)

∴

∴二面角E-BF-C的正弦值为

【湖北省·第19题】如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）

（1）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；

（2）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由

解：（1）连接AD1.

∵AD1、BC1是立方体相对侧面的对角线

∴AD1∥BC1

当λ=1时，P、Q为DD1、BB1的中点

∵F为AD的中点

∴PF∥AD1

∵AD1平面EFPQ，PF平面EFPQ

∴AD1∥平面EFPQ

∵BC1平面EFPQ

∴BC1∥平面EFPQ

（2）以D为坐标原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。

易得P（0，0，λ），Q（2，2，λ），F（1，0，0），

N（1，0，2）

∴=（2，2，0），（1，0，-λ），=（1，0，2-λ）

设向量(x，y，z)是平面EFPQ的一个法向量

则

由此，可取(1，-1，)

设向量(x，y，z)是平面PQMN的一个法向量

则

由此，可取(1，-1，)

当面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角时，有=0

∴1+1+=0

整理得： 

解得：，均满足0＜λ＜2

故，当时，面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角

【福建省·第17题】在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．

（1）求证：AB⊥CD；

（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

解：（1）∵平面ABD⊥平面BCD

平面ABD∩平面BCD=BD

AB⊂平面ABD，AB⊥BD，

∴AB⊥平面BCD

∵CD⊂平面BCD      ∴AB⊥CD

（2）以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

∵A（0，0，1），D（0，1，0）

∴=（0，1，-1）

∵M为AD的中点

∴M（0，，）

∴=（0，，）

∵CD⊥BD，CD=1

∴C（1，1，0）

∴=（1，1，0）

设向量(x，y，z)是平面MBC的一个法向量

则

由此，可取(1，-1，1)

设直线AD与平面MBC所成角为α，则

【安徽省·第20题】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．

（1）证明：Q为BB1的中点；

（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；

（3）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小

解：（1）∵AD∥BC，AD⊂平面A1D1DA

BC⊂平面QBC

∴平面QBC∥平面A1D1DA

∴平面A1CD∩面QBC=QC

平面A1CD∩平面A1D1DA=A1D

∴QC∥A1D

∵A1A∥B1B

∴∠AA1D=∠BQC

∴Rt△AA1D=Rt△BQC

∴

∵A1A=B1B

∴BQ=B1B

∴Q为BB1的中点

（2）连接QA，QD。

设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1、V2。

设BC=a，则AD=2a

∵VQ-ABCD=

VQ-A1AD=

∴V2= VQ-ABCD+ VQ-A1AD=

∵V四棱柱=

∴V1= V四棱柱-V1=

∴

故，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比为

（3）过点A作AP⊥CD于P，连接A1P

∵AP⊥CD，A1A⊥CD

∴CD⊥平面A1AP

∵A1P⊂平面A1AP

∴A1P⊥CD

∴∠A1PA是平面α与底面ABCD所成二面角的平面角

连接AC，由AD=2BC得：S△ACD=2 S△ABC

∵梯形ABCD的面积为6

即S△ACD+S△ABC =6

∴S△ACD=4

∴CD·AP=4，

∴由CD=2得，AP=4

∵AA1=4

∴tan∠A1PA=

∴∠A1PA=

∴平面α与底面ABCD所成二面角的大小为

【陕西省·第19题】如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．

（1）证明：四边形EFGH是矩形；

（2）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．

解：（1）由图2知，AD=1，BD=CD=2

AD⊥BD，AD⊥CD、BD⊥CD

∵BD、CD⊂平面BCD

∴AD⊥平面BCD

∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面ABC=EH

平面EFGH∩平面BDC=FG

∴BC∥EH，BC∥FG

∴EH∥FG

同理可证：AD∥EF，AD∥FG

∴EF∥FG

∴四边形EFGH是平行四边形

∵EF平面BCD，AD∥EF

∴EF⊥平面BCD

∵FG⊂平面BCD

∴EF⊥FG

∴四边形EFGH是矩形

（2）由(1)知，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

易得A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）

∴=（2，0，-1），=（0，0，-），=（-1，1，0）

设向量(x，y，z)是平面EFGH的一个法向量

则

由此，可取(1，1，0)

∴

∴直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值为

【四川省·第18题】三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．

（1）证明：P是线段BC的中点；

（2）求二面角A-NP-M的余弦值

解：（1）由图可知，在三棱锥A-BCD中：

平面ABD⊥平面CBD

AB=AD=BD=CD=CB=2

取BD的中点O，连接OA，OC

则OA⊥BD，OC⊥BD

∴BD⊥平面OAC

∵AC⊂平面OAC

∴BD⊥AC

∵M，N为线段AD，AB的中点

∴MN∥BD

∵MN⊥NP

∴BD⊥NP

假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线

∴BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾

∴P为线段BC的中点

（2）由(1)知，以O为坐标原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。

易得A（0，0，），M（-，0，），N（，0，），P（，，0）

∴=（，0，），=（-1，0，0），=（0，，-）

设向量(x，y，z)是平面ANP的一个法向量

则

由此，可取(-，1，1)

同理可得，平面MNP的一个法向量为：

(0，1，1)

∴

∴二面角A-NP-M的余弦值为下载本文