一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．）在四个选项中只有一项是正确的．
1．下列说法正确的是（ ）
A．各有一个角是70°的等腰三角形相似
B．各有一个角是95°的等腰三角形相似
C．所有的矩形相似
D．所有的菱形相似
2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
4．如图，在△ABC中，已知∠AED=∠B，DE=6；AB=10，AE=5，则BC的长为（ ）
A．3 B．12 C． D．7
5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，连接BE，DC交于F点，则△DEF与△BDF的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：3
6．如图，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF的相似比为1：2；
③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；
④△ABC与△DEF的面积之比为4：1．
正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
7．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①②相似 B．①③相似 C．①④相似 D．②相似
9．在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（ ）
A．10tan50° B．10cos50° C．10sin50° D．
10．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5m B． m C． m D． m
11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（ ）
A． B． C． D．2
12．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
A．10米 B．10米 C．20米 D．米
13．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于O，∠B=55°，则∠BOC的度数为（ ）
A．45° B．35° C．70° D．80°
15．如图，⊙O的圆心O到直线m的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线m向右（垂直于m的方向）平移，使m与⊙O相切，则平移的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm
16．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所对弧的长度为（ ）
A．6π B．5π C．3π D．2π
18．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
19．边长为a的正六边形的面积为（ ）
A． a B．4a2 C． a2 D． a2
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）
A．CM=DM B． = C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）
21．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是 ．（写出一个即可）
22．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（sinA﹣）2+（tanB﹣1）2=0，则∠C= ．
23．如图，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=3，则⊙O的直径为 ．
24．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC=，则CQ的最大值为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分．）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
25．如图，在△ABC中，已知：∠A=30°，∠C=105°，AC=4，求AB和BC的长．
26．如图，等边三角形ABC的边长为5，点E为BC边上一点，且BE=2，点D为AC边上一点，若∠AED=60°，求CD的长？
27．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：CD2=AD•BD；
（2）若AC=3，BC=4，求BD的长和求sin∠BCD的值．
28．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．
29．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
2015-2016学年山东省泰安市东平县九年级（上）期中数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．）在四个选项中只有一项是正确的．
1．下列说法正确的是（ ）
A．各有一个角是70°的等腰三角形相似
B．各有一个角是95°的等腰三角形相似
C．所有的矩形相似
D．所有的菱形相似
【分析】A、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；
B、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；
C、D根据相似图形的定义进行判断．
【解答】解：A、若一个等腰三角形的顶角为70°，而另一个的顶角为40°，则此两个等腰三角形不相似，故本选项错误；
B、95°的角只能是顶角，则顶角为95°的两个等腰三角形相似，故本选项正确；
C、所有的矩形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；
D、所有的菱形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；
故选：B．
2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】先根据特殊角的三角函数值得出∠B，从而得出∠A，即可计算出结果．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sinB=，
∴∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴tanA=．
故选A．
3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．
【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点上．
故选C．
4．如图，在△ABC中，已知∠AED=∠B，DE=6；AB=10，AE=5，则BC的长为（ ）
A．3 B．12 C． D．7
【分析】由公共角和已知条件证明△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
解得：BC=12．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，连接BE，DC交于F点，则△DEF与△BDF的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：3
【分析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，得出△DEF∽△CBF，得出对应边成比例EF：BF=DE：BC=1：2，得出△DEF与△BDF的面积比=EF：BF，即可得出结果．
【解答】解：∵D、E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴EF：BF=DE：BC=1：2，
∴△DEF与△BDF的面积比=EF：BF=1：2；
故选：A．
6．如图，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF的相似比为1：2；
③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；
④△ABC与△DEF的面积之比为4：1．
正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形，进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，且相似比是： =2，
③△ABC与△DEF的周长比等于相似比，即2：1，
④根据面积比等于相似比的平方，则△ABC与△DEF的面积比为4：1．
综上所述，正确的结论是：①③④．
故选：B．
7．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，
∴，故A正确；
∴，
∴，故B正确；
∴，故C错误；
∴，
∴，故D正确．
故选C．
8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①②相似 B．①③相似 C．①④相似 D．②相似
【分析】由两边成比例和夹角相等（对顶角相等），即可得出△AOB∽△COD，即可得出结果．
【解答】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，C正确；
故选：C．
9．在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（ ）
A．10tan50° B．10cos50° C．10sin50° D．
【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【解答】解：∵cosB=，
∴BC=ABcosB=10cos50°．
故选：B．
10．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5m B． m C． m D． m
【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
【解答】解：∵AB=10米，tanA==．
∴设BC=x，AC=2x，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，
∴AC=4，BC=2米．
故选B．
11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（ ）
A． B． C． D．2
【分析】找出以∠AOB为内角的直角三角形，根据正弦函数的定义，即直角三角形中∠AOB的对边与斜边的比，就可以求出．
【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=，
∴sin∠AOB===．
故选B．
12．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
A．10米 B．10米 C．20米 D．米
【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC﹣BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
【解答】解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，
∴=tan30°
∴BD==AB
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，
∴BC==AB
∵CD=20
∴CD=BD﹣BC=AB﹣AB=20
解得：AB=10．
故选A．
13．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，由垂径定理可求得OP的取值范围为3≤OP≤5，而OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，故符合条件的点P有5个．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
∵⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，
∴BC=AB=4（cm），OB=5cm，
∴OC==3（cm），
∴3cm≤OP≤5cm，
∵OP的长是整数，
∴OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，
∴满足条件的点P有5个．
故选D．
14．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于O，∠B=55°，则∠BOC的度数为（ ）
A．45° B．35° C．70° D．80°
【分析】根据三角形的内角和得到∠A=35°，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AC⊥BO于O，∠B=55°，
∴∠A=35°，
∴∠BOC=2∠A=70°，
故选C．
15．如图，⊙O的圆心O到直线m的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线m向右（垂直于m的方向）平移，使m与⊙O相切，则平移的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm
【分析】直线m向右平移时，会与圆在左边相切，或者右边相切，有两种情况，分别讨论解答即可．
【解答】解：∵圆心O到直线m的距离为3cm，半径为1cm，
∴当直线与圆在左边相切时，平移距离为：3﹣1=2cm，
当直线与圆在右边相切时，平移距离为：3+1=4cm，
故选D．
16．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
【分析】连接OC和OB，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，知OC⊥AB，应用勾股定理可将BC的长求出，从而求出AB的长．
【解答】解：连接OC和OB，
∵弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
在Rt△OBC中，
BC===4cm，
∴AB=2BC=8cm．
故选D．
17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所对弧的长度为（ ）
A．6π B．5π C．3π D．2π
【分析】由于PA、PB是⊙O的切线，由此得到∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，然后利用四边形的内角和即可求出∠AOB然后利用已知条件和弧长公式即可求出∠AOB所对弧的长度．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
而∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∠AOB所对弧的长度==2π．
故选D．
18．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先利用扇形公式计算出半圆的面积和扇形AOB的面积，然后求出△AOB的面积，用S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB可求出阴影部分的面积．
【解答】解：在Rt△AOB中，AB==，
S半圆=π×（）2=π，
S△AOB=OB×OA=，
S扇形OBA==，
故S阴影=S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB=．
故选C．
19．边长为a的正六边形的面积为（ ）
A． a B．4a2 C． a2 D． a2
【分析】边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，据此即可求解．
【解答】解：边长为a的等边三角形的面积=a2=a2，
则边长为a的正六边形的面积等于6×a2=a2．
故选C．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）
A．CM=DM B． = C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
【分析】由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
B为的中点，即=，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，
∵，
∴△ACM≌△ADM（SAS），
∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．
故选：D
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）
21．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是 ∠D=∠B ．（写出一个即可）
【分析】先证出∠DAE=∠BAC，再由∠D=∠B，根据三角形相似的判定方法即可得出△ADE∽△ABC．
【解答】解：这个条件可能是∠D=∠B；理由如下：
∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
又∵∠D=∠B，
∴△ADE∽△ABC．
22．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（sinA﹣）2+（tanB﹣1）2=0，则∠C= 75° ．
【分析】根据偶次幂具有非负性可得sinA﹣=0，tanB﹣1=0，再根据特殊角的三角函数值可得：∠A=60°，∠B=45°，然后再利用三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：由题意得：sinA﹣=0，tanB﹣1=0，
解得：∠A=60°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣60°﹣45°=75°，
故答案为：75°．
23．如图，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=3，则⊙O的直径为 6 ．
【分析】过C作直径CD，连AD，根据圆周角定理及推论得到∠CAD=90°和∠D=∠B=30°，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得到圆的直径．
【解答】解：过C作直径CD，连AD，
∴∠D=∠B=30°，∠CAD=90°，
∴CD=2AC=6，
∴⊙O的直径为6；
故答案为：6．
24．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC=，则CQ的最大值为 ．
【分析】由AB为直径和PC⊥CQ可得出∠PCQ=90°=∠ACB，又由∠P与∠A为同弦所对的圆周角，可得出∠P=∠A，从而得出△ACB∽△PCQ，即得出CQ=•CP，由tan∠ABC=得出CQ=CP，当CP最大时，CQ也最大，而CP为圆内一弦，故CP最大为直径，由此得出CQ的最大值．
【解答】解：∵线段AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵CQ⊥PC，
∴∠PCQ=90°=∠ACB，
又∵∠P=∠A（同弦圆周角相等），
∴△ACB∽△PCQ，
∴．
在Rt△ACB中，tan∠ABC=，
∴=，
∴CQ=•CP=CP．
∵线段CP是⊙O内一弦，
∴当CP过圆心O时，CP最大，且此时CP=5．
∴CQ=×5=．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分．）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
25．如图，在△ABC中，已知：∠A=30°，∠C=105°，AC=4，求AB和BC的长．
【分析】过C作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△ACD中，由∠A=30°，AC=4，求得CD=AC•sinA=2，AD=AC，cosA=2，根据三角形的内角和得到∠B=45°，在Rt△BCD中，根据BD=CD=2，BC=2，即可得到AB=2+2．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°，
在Rt△ACD中，
∵∠A=30°，AC=4，
∴CD=AC•sinA=2，AD=AC，cosA=2，
∵∠A=30°，∠ACB=105°，
∴∠B=45°，
在Rt△BCD中，BD=CD=2，BC=2，
∴AB=2+2．
26．如图，等边三角形ABC的边长为5，点E为BC边上一点，且BE=2，点D为AC边上一点，若∠AED=60°，求CD的长？
【分析】由等边三角形的性质得出AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，证明△ABE∽△ECD，得出对应边成比例=，即可求出CD的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，
∵∠AEC=∠AED+∠DEC，
∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，
又∵∠AED=∠B=60°，
∴∠DEC=∠BAE，
∴△ABE∽△ECD，
∴=，
∵BE=2，BC=5，
∴EC=3，
∴CD===．
27．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：CD2=AD•BD；
（2）若AC=3，BC=4，求BD的长和求sin∠BCD的值．
【分析】（1）由互余两角的关系得出∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，证出△ACD∽△CBD，得出对应边成比例，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，得出BD，即可得出sin∠BCD的值．
【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠B+∠DCB=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
即 CD2=AD•BD；
（2）解：由（1）知：△ACD∽△CBD，
∴，
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
由△ABC的面积得：AB•CD=AC•BC，
∴5CD=3×4，
∴CD=，
∴，
解得：BD=，
sin∠BCD===．
28．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．
【分析】本题由已知DE是⊙O的切线，可联想到常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直”，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法．
【解答】（1）证明：连接OD，（1分）
∵DE切⊙O于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，（2分）
又∵AD=DC，AO=OB，
∴OD是中位线，
∴OD∥BC，（3分）
∴∠DEC=∠ODE=90°，
∴DE⊥BC；（4分）
（2）解：连接BD，（5分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，（6分）
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
又∵DE⊥BC，
Rt△CDB∽Rt△CED，（7分）
∴，
∴BC=，（9分）
又∵OD=BC，
∴OD=，
即⊙O的半径为．（10分）
29．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到∠OAC=∠OCA，由∠DAC=∠BAC，等量代换得到一对内错角相等，得到AD与OC平行，由AD垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的切线；
（2）由∠ACD的度数求出∠OCA为60°，确定出三角形AOC为等边三角形，由半径为2求出AC的长，在直角三角形ACD中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，再利用勾股定理求出CD的长，由扇形AOC面积减去三角形AOC面积求出弓形的面积，再由三角形ACD面积减去弓形面积即可求出阴影部分面积．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
则EF为圆O的切线；
（2）∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠OCA=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴AC=OC=OA=2，
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，
∴AD=AC=1，根据勾股定理得：CD=，
∴S阴影=S△ACD﹣（S扇形AOC﹣S△AOC）=×1×﹣（﹣×22）=﹣．
