一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 ．已知集合 A ＝ { （ x ， y ） |x ， y ∈ N* ， y ≥ x} ， B ＝ { （ x ， y ） |x ＋ y ＝ 8} ，则 A ∩ B 中元素的个数为（　　）

A 、 2  

B 、 3 

C 、 4  

D 、 6

2 ．复数 的虚部是（　　）

A 、−  

B 、−  

C 、  

D 、 

3 ．在一组样本数据中， 1 ， 2 ， 3 ， 4 出现的频率分别为 p 1 ， p2 ， p 3 ， p4，且＝

A 、p1＝ p4＝ 0.1 ， p2 ＝ p3 ＝ 0.4

B 、p1 ＝p4＝ 0.4 ，p2＝p3 ＝ 0.1

C 、p1＝p4＝0.2 ，p2＝p3＝ 0.3

D 、p1 ＝p4＝ 0.3 ，p2＝p3 ＝ 0.2

4 ． Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I （ t ）（ t 的单位：天）的 Logistic 模型： I （ t ）＝，其中 K 为最大确诊病例数．当 I （ t* ）＝ 0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t* 约为（　　）（ ln19 ≈ 3 ）

A 、 60  

B 、 63  

C 、 66  

D 、 69

5 ．设 O 为坐标原点，直线 x ＝ 2 与抛物线 C ： y 2＝ 2px （ p ＞ 0 ）交于 D ， E 两点，若 OD ⊥ OE ，则 C 的焦点坐标为（　　）

A 、（

B 、（  ， 0 ）  

C 、（ 1 ， 0 ）  

D 、（ 2 ， 0 ）

6 ．已知向量  ，  满足 |  | ＝ 5 ， |  | ＝ 6 ，  •   ＝− 6 ，则 cos ＜  ，  ＋   ＞＝（　　）

A 、−  

B 、−  

C 、

D 、

7 ．在△ ABC 中， cosC ＝， AC ＝ 4 ， BC ＝ 3 ，则 cosB ＝（　　）

A 、  B 、   C 、   D 、 

8 ．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（　　）

A 、 6 ＋ 4  

B 、 4 ＋ 4 

C 、 6 ＋ 2  

D 、 4 ＋ 2 

9 ．已知 2tan θ− tan （θ＋ ）＝ 7 ，则 tan θ＝（　　）

A 、− 2  

C 、 1  

D 、 2

10 ．若直线 l与曲线 y ＝ 和圆都相切，则l的方程为（　　）

A 、 y ＝ 2x ＋ 1  

B 、 y ＝ 2x ＋

C 、 y ＝x ＋ 1  

D 、 y ＝ x ＋

11 ．设双曲线 C ： （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，离心率为 ． P 是 C 上一点，且 F 1 P ⊥ F 2 P ．若△ PF 1 F 2 的面积为 4 ，则 a ＝（　　）  

A 、 1  

B 、 2  

C 、 4  

D 、 8

12 ．已知 5 5＜ 8 4， 13 4＜ 8 5．设 ，则（　　）

A 、 a ＜ b ＜ c  

B 、 b ＜ a ＜ c

C 、 b ＜ c ＜ a  

D 、 c ＜ a ＜ b

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13 ．若 x ， y 满足约束条件 ，则 z ＝ 3x ＋ 2y 的最大值为 __________ ．

14 ．的展开式中常数项是 __________ （用数字作答）．

15 ．已知圆锥的底面半径为 1 ，母线长为 3 ，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ____________ ．

16 ．关于函数 f （ x ）＝ sinx ＋ 有如下四个命题：

① f （ x ）的图象关于 y 轴对称．

② f （ x ）的图象关于原点对称．

③ f （ x ）的图象关于直线 x ＝  对称．

④ f （ x ）的最小值为 2 ．

其中所有真命题的序号是 ______________ ．

三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。

17 ．设数列满足．

（ 1 ）计算，猜想的通项公式并加以证明；

（ 2 ）求数列 的前 n 项和 S n．

（ 2 ）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（ 3 ）若某天的空气质量等级为 1 或 2 ，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4 ，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2 × 2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

19 ．如图，在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D1 中，点 E ， F 分别在棱 DD 1 ， BB1 上，且 2DE ＝ ED1 ， BF ＝ 2FB1 ．

（ 1 ）证明：点 C1 在平面 AEF 内；

（ 2 ）若 AB ＝ 2 ， AD ＝ 1 ， AA1 ＝ 3 ，求二面角 A − EF – A1 的正弦值．

20 ．已知椭圆 C ： （ 0 ＜ m ＜ 5 ）的离心率为 ， A ， B 分别为 C 的左、右顶点．

（ 1 ）求 C 的方程；

（ 2 ）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x ＝ 6 上，且 |BP| ＝ |BQ| ， BP ⊥ BQ ，求△ APQ 的面积．

21 ．设函数 f （ x ）＝ x3＋ bx ＋ c ，曲线 y ＝ f （ x ）在点（  ， f （  ））处的切线与 y 轴垂直．

（ 1 ）求 b ；

（ 2 ）若 f （ x ）有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： f （ x ）所有零点的绝对值都不大于 1 ．

( 二 ) 选考题 : 共 10 分。请考生在第 22,23 题中任选一题作答。如果多做 , 则按所的第一题计分 22.[ 选修 4-4 ：极坐标系与参数方程 ](10 分 )

  在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 的参数方程为  (t 为参数且 t ≠ 1),C 与坐标轴交于 A ， B 两点

(1) 求 |AB|

(2) 以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 求直线 AB 的极坐标方程 .

23.[ 选修 4-5 不等式选讲 ](10 分 )

设 

(1) 证明 : 

(2) 用表示a,b,c中的最大值 , 证明 ≥

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