第卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。

1．定义集合运算：，设集合，则集合的所有元素之和为

（A）0            （B）6                （C）12                （D）18

y

y

y

y

2．函数的反函数的图象大致是

x

o

2

1

x

o

2

1

x

o

2

1

x

o

2

1

（D）

（C）

（B）

（A）

3．设，则不等式的解集为

（A）    （B）        （C）（D）

4．在中，角的对边分别为，已知，则

（A）1            （B）2                （C）            （D）

5．设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），若表示向量4a、4b-2c、2（a-c）、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为

（A）（2,6）         （B）（-2,6）        （C）（2,-6）        （D）（-2,-6）

6．已知定义在R上的奇函数满足，则的值为

（A）-1            （B）0                （C）1                （D）2

7．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心离为

（A）            （B）            （C）                （D）

8．设，则是的

（A）充分不必要条件    （B）必要不充分条件  （C）充要条件    （D）既不充分也不必要条件

9．已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为

（A） 33            （B） 34            （C） 35            （D） 36

10．已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是

（A）        （B）            （C）            （D）

11．某公司招收男职员名，女职员名，和须满足约束条件，则的最大值是

（A）80            （B）85                （C）90                （D）95

12．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为

（A）   （B）    （C）        （D）

第Ⅱ卷 （共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。

13．若，则常数         2          。

14．已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是        32            。

15．如图，已知正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为   ______  。

16．下列四个命题中，真命题的序号有                （写出所有真命题的序号）。

将函数的图象按向量v=（-1,0）平移，得到的图象对应的函数表达式为；圆与直线相交，所得的弦长为2；若，则；如图，已知正方体，P为底面ABCD内一动点，P到平面的距离与到直线的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分。                            

三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.

（）求

（）计算.

解：（）

的最大值为2，.

又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，

.

过点， 

又.

（）解法一：， 

.

又的周期为4，，

解法二： 

又的周期为4，， 

18．（本小题满分12分）设函数，其中，求的单调区间.

解：由已知得函数的定义域为，且

（1）当时，函数在上单调递减，

（2）当时，由解得

、随的变化情况如下表

当时，函数在上单调递减.

当时，函数在上单调递增.

综上所述：

当时，函数在上单调递减.

当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.

19．（本小题满分12分）

如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设

（1）求证直线是异面直线与的公垂线；

（2）求点A到平面VBC的距离；

（3）求二面角的大小。

解法1：

（Ⅰ）证明：∵平面∥平面，

又∵平面⊥平面，平面∩平面，

∴⊥平面， ，

又，.

为与的公垂线.

（Ⅱ）解法1：过A作于D，

      ∵△为正三角形，∴D为的中点.

∵BC⊥平面∴，

又，∴AD⊥平面，

∴线段AD的长即为点A到平面的距离.

在正△中，.

∴点A到平面的距离为.

解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.

由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，

，即，解得.

即A到平面的距离为.则

     所以，到平面的距离为.

(III)过点作于，连，由三重线定理知

是二面角的平面角。

在中， 

     。。

所以，二面角的大小为arctan.

解法二：取中点连,易知底面，过作直线交。

取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。

（I），，

，。

    又

由已知。，

而。

又显然相交，是的公垂线。

（II）设平面的一个法向量，

  又

  由取得

点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。

，设所求距离为。    则

        =        所以，A到平面VBC的距离为.

（）设平面的一个法向量

由                                 

取     

二面角为锐角，

所以，二面角的大小为

20．（本小题满分12分）

袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：

（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；

（3）计分介于20分到40分之间的概率。

解：（）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，

则

解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为

所以.

（）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.

所以随机变量的概率分布为

因此的数学期望为

（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则

21．（本小题满分12分）

双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。

（1）求双曲线C的方程； 

（2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。

解：（Ⅰ）设双曲线方程为    由椭圆 

求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线

  解得，双曲线的方程为

（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零。

设的方程：， 

则

在双曲线上， 

同理有： 

若则直线过顶点，不合题意. 

是二次方程的两根.

，此时.所求的坐标为.

解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程，，则.，分的比为.

由定比分点坐标公式得

下同解法一

解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程：，则.

，   .

，     ，，

又，即

将代入得

，否则与渐近线平行。

。   

解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：， 

则    ,。

同理        .

即    。                        （*）

又    消去y得.

当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。

由韦达定理有：  代入（*）式得    所求Q点的坐标为。

22．（本小题满分14分）

已知，点在函数的图象上，其中

（1）证明数列是等比数列；

（2）设，求及数列的通项；

（3）记，求数列的前项，并证明

解：（Ⅰ）由已知，        ，两边取对数得

，即是公比为2的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知    

                           （*）

                =

        由（*）式得

（Ⅲ）            

                  又  

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