一．选择题（共10小题）
1．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2．下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ）
①x2﹣y2﹣1=（x+y）（x﹣y）﹣1；
②x3+x=x（x2+1）；
③（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2；
④x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（ ）
A．a8+2a4b4+b8 B．a8﹣2a4b4+b8 C．a8+b8 D．a8﹣b8
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．4m2﹣4m+1=4m（m﹣1） B．a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b）
C．x2﹣7x﹣10=（x﹣2）（x﹣5） D．10x2y﹣5xy2=5xy（2x﹣y）
5．如果ax2+2x+=（2x+）2+m，则a，m的值分别是（ ）
A．2，0 B．4，0 C．2， D．4，
6．已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，则（x﹣2016）2的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b=a2﹣b2，根据这个定义，代数式（x+y）☆y可以化简为（ ）
A．xy+y2 B．xy﹣y2 C．x2+2xy D．x2
8．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（ ）
A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 B．（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2
C．（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2 D．（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2
9．有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）
A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b
10．一个非零的自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如28=82﹣62，故28是一个“智慧数”．下列各数中，不是“智慧数”的是（ ）
A．987 B．988 C．30 D．32
二．填空题（共8小题）
11．（x+2）（2x﹣3）=2x2+mx﹣6，则m= ．
12．若m+n=1，则代数式m2﹣n2+2n的值为 ．
13．已知x2+4x﹣4=0，则3x2+12x﹣5= ．
14．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为 ．
15．若a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，则a2+b2= ．
16．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式．若，则x= ．
17．下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）6展开式中所缺的系数．
（a+b）=a+b
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
则（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+ a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
18．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出（x﹣）2016展开式中含x2014项的系数是 ．
三．解答题（共9小题）
19．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a），其中a=．
20．先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）+（x﹣1）2，其中x=2．
21．已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．
22．利用因式分解计算：．
23．观察下列各式：
13+23=1+8=9，而（1+2）2=9，∴13+23=（1+2）2；
13+23+33=36，而（1+2+3）2=36，∴13+23+33=（1+2+3）2；
13+23+33+43=100，而（1+2+3+4）2=100，∴13+23+33+43=（1+2+3+4）2；
∴13+23+33+43+53=（ ）2= ．
根据以上规律填空：
（1）13+23+33+…+n3=（ ）2=[ ]2．
（2）猜想：113+123+133+143+153= ．
24．如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片，其长方形的面积显然为4ab，现将此长方形纸片沿图中虚线剪开，分成4个小长方形，然后拼成一个如图②的一个长方形．
（1）图②中阴影正方形EFGH的边长为 ；
（2）观察图②，代数式（a﹣b）2表示哪个图形的面积？代数式（a+b）2呢？
（3）用两种不同方法表示图②中的阴影正方形EFGH的面积，并写出关于代数式（a+b）2、（a﹣b）2和4ab之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．
25．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：
152=1×2×100+25=225，
252=2×3×100+25=625，
352=3×4×100+25=1225，
…
（1）根据上述格式反应出的规律填空：952= ，
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果 ，
（3）这种简便计算也可以推广应用：
①个位数字是5的三位数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果，
②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数想成的算式，请写出×81的简便计算过程和结果．
26．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）=5﹣3i．
（1）填空：i3= ，i4= ．
（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+y）+3i=（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．
27．对于任何实数a，b，c，d，我们规定符号的意义是=ad﹣bc．
（1）按照这个规定请你计算的值；
（2）按照这个规定请你计算：当x2﹣3x+1=0时，的值．
参与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．
【解答】解：由a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，得
a4+b2c2﹣a2c2﹣b4
=（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）
=（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）
=（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）
=（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，
∵a+b＞0，
∴a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0，
即a=b或a2+b2=c2，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ）
①x2﹣y2﹣1=（x+y）（x﹣y）﹣1；
②x3+x=x（x2+1）；
③（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2；
④x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；
②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；
③整式的乘法，故③不是因式分解；
④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．
3．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（ ）
A．a8+2a4b4+b8 B．a8﹣2a4b4+b8 C．a8+b8 D．a8﹣b8
【分析】这几个式子中，先把前两个式子相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘时符合平方差公式得到a2﹣b2，再把这个式子与a2+b2相乘又符合平方差公式，得到a4﹣b4，与最后一个因式相乘，可以用完全平方公式计算．
【解答】解：（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4），
=（a2﹣b2）（a2+b2）（a4﹣b4），
=（a4﹣b4）2，
=a8﹣2a4b4+b8．
故选B．
【点评】本题主要考查了平方差公式的运用，本题难点在于连续运用平方差公式后再利用完全平方公式求解．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．4m2﹣4m+1=4m（m﹣1） B．a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b）
C．x2﹣7x﹣10=（x﹣2）（x﹣5） D．10x2y﹣5xy2=5xy（2x﹣y）
【分析】A、利用完全平方公式分解；
B、利用提取公因式a2进行因式分解；
C、利用十字相乘法进行因式分解；
D、利用提取公因式5xy进行因式分解．
【解答】解：A、4m2﹣4m+1=（2m﹣1）2，故本选项错误；
B、a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b+1），故本选项错误；
C、（x﹣2）（x﹣5）=x2﹣7x+10，故本选项错误；
D、10x2y﹣5xy2=xy（10x﹣5y）=5xy（2x﹣y），故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了因式分解，要想灵活运用各种方法进行因式分解，需要熟练掌握各种方法的公式和法则；分解因式中常出现错误的有两种：①丢项：整项全部提取后要剩1，分解因式后项数不变；②有些结果没有分解到最后，如最后一个选项需要一次性将公因式提完整或进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
5．如果ax2+2x+=（2x+）2+m，则a，m的值分别是（ ）
A．2，0 B．4，0 C．2， D．4，
【分析】运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可．
【解答】解：∵ax2+2x+=4x2+2x++m，
∴，
解得．
故选D．
【点评】本题考查了完全平方公式，利用公式展开，根据对应项系数相等列式是求解的关键．
6．已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，则（x﹣2016）2的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】先把（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34变形为（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2=34，把（x﹣2016）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x﹣2016）2的方程，解方程即可求解．
【解答】解：∵（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，
∴（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2=34，
（x﹣2016）2+2（x﹣2016）+1+（x﹣2016）2﹣2（x﹣2016）+1=34，
2（x﹣2016）2+2=34，
2（x﹣2016）2=32，
（x﹣2016）2=16．
故选：D．
【点评】考查了完全平方公式，本题关键是把（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34变形为（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2=34，注意整体思想的应用．
7．对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b=a2﹣b2，根据这个定义，代数式（x+y）☆y可以化简为（ ）
A．xy+y2 B．xy﹣y2 C．x2+2xy D．x2
【分析】由题目中给出的运算方法，即可推出原式=x2+2xy，通过计算即可推出结果．
【解答】解：（x+y）☆y
=（x+y）2﹣y2
=x2+2xy+y2﹣y2
=x2+2xy．
故选：C．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律．
8．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（ ）
A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 B．（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2
C．（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2 D．（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2
【分析】大长方形的长为3a+2b，宽为a+b，表示出面积；也可以由三个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形，以及5个长为b，宽为a的长方形面积之和表示，即可得到正确的选项．
【解答】解：根据图形得：（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2．
故选：D．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，弄清题意是解本题的关键．
9．有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）
A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b
【分析】根据3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式即可得出答案．
【解答】解；3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，
4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，
5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，
∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，
∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是完全平方公式．
10．一个非零的自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如28=82﹣62，故28是一个“智慧数”．下列各数中，不是“智慧数”的是（ ）
A．987 B．988 C．30 D．32
【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个非零自然数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），因为mn是非0的自然数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看着两个数能否写成两个非0自然数的和与差．
【解答】解：A、987=（34+13）（34﹣13）=342﹣132；
B、988=（32+6）（32﹣6）=322﹣62；
C、30=15×2=5×6，不能表示为两个非零自然数的平方差；
D、32=（6+2）（6﹣2）=62﹣22．
故选C．
【点评】本题考查了平方差公式，解决的方法就是对分解的每种情况进行验证．
二．填空题（共8小题）
11．（x+2）（2x﹣3）=2x2+mx﹣6，则m= 1 ．
【分析】按照多项式乘以多项式把等式的左边展开，根据等式的左边等于右边，即可解答．
【解答】解：（x+2）（2x﹣3）=2x2﹣3x+4x﹣6=2x2+x﹣6=2x2+mx﹣6，
∴m=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是按照多项式乘以多项式把等式的左边展开．
12．若m+n=1，则代数式m2﹣n2+2n的值为 1 ．
【分析】先利用平方差公式把m2﹣n2分解为（m+n）（m﹣n），再利用整式的加减即可解答．
【解答】解：m2﹣n2+2n
=（m+n）（m﹣n）+2n
=1×（m﹣n）+2n
=m﹣n+2n
=m+n
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是利用平方差公式把m2﹣n2进行分解为（m+n）（m﹣n）．
13．已知x2+4x﹣4=0，则3x2+12x﹣5= 7 ．
【分析】由x2+4x﹣4=0得到x2+4x=4，再变形3x2+12x﹣5得3（x2+4x）﹣5，然后利用整体思想计算．
【解答】解：∵x2+4x﹣5=0，
∴x2+4x=5，
∴3x2+12x﹣5=3（x2+4x）﹣5=3×4﹣5=7．
故答案为7．
【点评】本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算．
14．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为 3m+6 ．
【分析】由于边长为（2m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而矩形一边长为m，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
【解答】解：依题意得剩余部分为
（2m+3）2﹣（m+3）2=4m2+12m+9﹣m2﹣6m﹣9=3m2+6m，
而拼成的矩形一边长为m，
∴另一边长是（3m2+6m）÷m=3m+6．
故答案为：3m+6．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是熟记平方差、完全平分公式．
15．若a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，则a2+b2= 3 ．
【分析】先对原式进行变形得（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，经过观察后又可变为（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）=0，又a2+b2≥0，即可得出本题的结果．
【解答】解：有a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，
变形后
（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，
（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）=0，
又a2+b2≥0，
即a2+b2=3，
故答案为3．
【点评】本题主要考查了整体思想在因式分解中的应用，另应注意两个数的平方和为非负数．
16．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式．若，则x= ．
【分析】根据题中已知的新定义化简已知的方程，然后利用和与差的完全平方公式化简，得到关于x的一元二次方程，开方即可求出x的值．
【解答】解：根据题意可知：=（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）=（x+1）2+（x﹣1）2=2x2+2=6，
即x2=2，解得：x=或x=﹣．
故答案为：±．
【点评】本题主要考查完全平方公式的运用，以及理解并运用新定义的能力．熟记公式是解题的关键．
17．下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）6展开式中所缺的系数．
（a+b）=a+b
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
则（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+ 20 a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
【分析】本题考查学生的观察分析逻辑推理能力，由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1；（a+b）5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此（a+b）6的系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
【解答】解：可以发现：（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，
∴（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1；
（a+b）5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；
∴（a+b）6的系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
故本题答案为：20．
【点评】本题考查了完全平方公式，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
18．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出（x﹣）2016展开式中含x2014项的系数是 ﹣4032 ．
【分析】首先确定x2014是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
【解答】解：（x﹣）2016展开式中含x2014项的系数，
由（x﹣）2016=x2016﹣2016•x2015•（）+…
可知，展开式中第二项为﹣2016•x2015•（）=﹣4032x2014，
∴（x﹣）2016展开式中含x2014项的系数是﹣4032，
故答案为﹣4032．
【点评】本题考查整式的混合运算、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共9小题）
19．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a），其中a=．
【分析】根据平方差公式和单项式乘以多项式可以对原式化简，然后将a=代入化简后的式子，即可解答本题．
【解答】解：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a）
=a2﹣4+4a﹣a2
=4a﹣4，
当a=时，原式=．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
20．先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）+（x﹣1）2，其中x=2．
【分析】先化简，再代入求值即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）+（x﹣1）2
=x2﹣1+2x﹣x2+x2﹣2x+1，
=x2，
把x=2代入原式=（2）2=12．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确的化简．
21．已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．
【分析】由a+b=2，ab=﹣3，可得a2+b2=10，因为（a2+b2）ab=a3b+ab3，所以a3b+ab3=﹣30．
【解答】解：∵a+b=2，
∴（a+b）2=4，
∴a2+2ab+b2=4，
又∵ab=﹣3，
∴a2﹣6+b2=4
∴a2+b2=10，
∴（a2+b2）ab=a3b+ab3=﹣30．
【点评】本题为代数式求值题，主要考查整体思想，是一道比较基础的题目，要认真掌握，并确保得分．
22．利用因式分解计算：．
【分析】将原式中的每一个因式利用平方差公式因式分解后转化为分数的乘法，从而得到结果．
【解答】解：原式=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
=×××××…×××
=×
=
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是对原式利用平方差公式进行因式分解．
23．观察下列各式：
13+23=1+8=9，而（1+2）2=9，∴13+23=（1+2）2；
13+23+33=36，而（1+2+3）2=36，∴13+23+33=（1+2+3）2；
13+23+33+43=100，而（1+2+3+4）2=100，∴13+23+33+43=（1+2+3+4）2；
∴13+23+33+43+53=（ 1+2+3+4+5 ）2= 225 ．
根据以上规律填空：
（1）13+23+33+…+n3=（ 1+2+…+n ）2=[ ]2．
（2）猜想：113+123+133+143+153= 11375 ．
【分析】观察题中的一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，根据此规律填空，
（1）根据上述规律填空，然后把1+2+…+n变为个（n+1）相乘，即可化简；
（2）对所求的式子前面加上1到10的立方和，然后根据上述规律分别求出1到15的立方和与1到10的立方和，求出的两数相减即可求出值．
【解答】解：由题意可知：13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=225
（1）∵1+2+…+n=（1+n）+[2+（n﹣1）]+…+[+（n﹣+1）]=，
∴13+23+33+…+n3=（1+2+…+n）2=[]2；
（2）113+123+133+143+153=13+23+33+…+153﹣（13+23+33+…+103）
=（1+2+…+15）2﹣（1+2+…+10）2
=1202﹣552=11375．
故答案为：1+2+3+4+5；225；1+2+…+n；；11375．
【点评】此题要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，探索问题，获得解题途径．考查了学生善于观察，归纳总结的能力，以及运用总结的结论解决问题的能力．
24．如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片，其长方形的面积显然为4ab，现将此长方形纸片沿图中虚线剪开，分成4个小长方形，然后拼成一个如图②的一个长方形．
（1）图②中阴影正方形EFGH的边长为 a﹣b ；
（2）观察图②，代数式（a﹣b）2表示哪个图形的面积？代数式（a+b）2呢？
（3）用两种不同方法表示图②中的阴影正方形EFGH的面积，并写出关于代数式（a+b）2、（a﹣b）2和4ab之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．
【分析】第（1）小题，由图①可知，一个小长方形的长为a，宽为b，由图②可以发现，阴影部分正方形的边长=小长方形的长﹣小长方形的宽；
第（2）小题，根据第（1）小题，可知a﹣b是阴影部分的正方形的边长，进而得出结论，从图中，可以看出，a+b是正方形ABCD的边长，进而得出结论；
第（3）小题，从整体和部分两个角度考虑，即可表示出面积，进而得到各代数式之间的等量关系；
第（4）小题，运用整体带入思想，将a+b=7，ab=5带入上面的等量关系即可．
【解答】解：（1）a﹣b．
（2）（a﹣b）2：表示正方形EFGH的面积（即阴影部分）；（a+b）2：表示正方形ABCD的面积．
（3）方法1：正方形EFGH的面积=（a﹣b）2；
方法2：正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积﹣4个长方形的面积=（a+b）2﹣4ab；
∴等量关系：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab；
（4）当a+b=7，ab=5时，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=72﹣4×5=49﹣20=29．
【点评】本题主要考查完全平方公式的几何意义及整式运算，分清图形的边长对应的代数式及熟练掌握整体代入思想是解题的关键．
25．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：
152=1×2×100+25=225，
252=2×3×100+25=625，
352=3×4×100+25=1225，
…
（1）根据上述格式反应出的规律填空：952= 9025 ，
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果 100a（a+1）+25 ，
（3）这种简便计算也可以推广应用：
①个位数字是5的三位数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果，
②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数想成的算式，请写出×81的简便计算过程和结果．
【分析】（1）根据152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…，可得952=9×10×100+25，据此解答即可．
（2）根据152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…，可得（10a+5）2=a×（a+1）×100+25，据此解答即可．
（3）①1952=前两位数字×（前两位数字+1）×100+25，据此解答即可．
②根据×81=（85+4）×（85﹣4），求出×81的结果是多少即可．
【解答】解：（1）∵152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…，
∴952=9×10×100+25=9025．
（2）∵152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…，
∴（10a+5）2=a×（a+1）×100+25=100a（a+1）+25．
（3）①1952=19×20×100+25=38025．
②×81
=（85+4）×（85﹣4）
=852﹣42
=8×9×100+25﹣16
=7200+25﹣16
=7209
故答案为：9025、100a（a+1）+25．
【点评】（1）此题主要考查了平方差公式，要熟练掌握，应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
（4）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．
26．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）=5﹣3i．
（1）填空：i3= ﹣i ，i4= 1 ．
（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+y）+3i=（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．
【分析】（1）根据i2=﹣1，则i3=i2•i，i4=i2•i2，然后计算；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i2，化简为﹣1计算；
（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x，y的值；
（4）分子分母同乘以（1+i）后，把分母化为不含i的数后计算．
【解答】解：（1）∵i2=﹣1，
∴i3=i2•i=﹣1•i=﹣i，
i4=i2•i2=﹣1•（﹣1）=1，
（2）①（2+i）（2﹣i）=﹣i2+4=1+4=5；
②（2+i）2=i2+4i+4=﹣1+4i+4=3+4i；
（3）∵（x+y）+3i=（1﹣x）﹣yi，
∴x+y=1﹣x，3=﹣y，
∴x=2，y=﹣3；
（4）=．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移；（4）类比推理，解答问题．
27．对于任何实数a，b，c，d，我们规定符号的意义是=ad﹣bc．
（1）按照这个规定请你计算的值；
（2）按照这个规定请你计算：当x2﹣3x+1=0时，的值．
【分析】（1）根据=ad﹣bc，把展开计算即可；
（2）先把展开，再去括号、合并，最后把x2﹣3x的值整体代入计算即可．
【解答】解：（1）=5×8﹣6×7=﹣2；
（2）=（x+1）（x﹣1）﹣3x（x﹣2）=x2﹣1﹣3x2+6x=﹣2x2+6x﹣1，
∵x2﹣3x+1=0，
∴x2﹣3x=﹣1，
∴﹣2x2+6x﹣1=﹣2（x2﹣3x）﹣1=﹣2×（﹣1）﹣1=1．
【点评】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是去括号、合并同类项，以及整体代入．下载本文
