学生从二年级开始，尽管已经接触了比较多的数学广角系列安排的内容知识，但前后的知识联系看起来并不紧密，不过数学的思想方法的熏陶却是一贯的：都强调数形结合，都强调合作探讨与交流，也都强调策略与方法的优化等，尤其是注重数学化思想的渗透。通过本节课的学习使学生进一步掌握观察、枚举、比较、归纳等逻辑推理常用的方法，同时渗透化难为易、数形结合的数学思想方法，并能灵活地运用这些方法解决一些实际问题，体会逻辑推理、化难为易、数形结合是学习数学和解决问题的一种重要方式。

教学目标

1．通过引导学生观察、探究、记录、归纳，得到解决“几个点能连成多少条线段”这类问题的方法。

2．渗透“化难为易”的数学思想方法，培养学生探索推理、总结规律的能力，并能运用规律解决较复杂的数学问题。

3．经历观察、操作、推理、验证、交流等数学活动，让学生进一步感受数学思想方法的奇妙和作用。

教学重难点

重点：学生通过画图，由简到繁，发现规律，总结规律，找到解决问题的方法。

难点：灵活运用一定规律解决较复杂的数学问题。

教学过程

一、开门见山，游戏激趣

师：同学们，今天我们来上一堂有意思的数学课。（板书课题）

师：当遇到复杂的数学问题时，你是怎么做的？（采访几名学生）

师：你们的方法真多。我国著名的数学家华罗庚先生曾经这样说过（ppt出示）：善于“退”，足够的“退”，“退”到最原始而又不失重要性的地方，这是学好数学的一个诀窍。

【信息技术及意图】：插入图片，引用我国著名数学家华罗庚先生“知难而退”的名言，从而引出本课的主题“化难为易”。

师：华爷爷这是在教导我们什么呢？他是在说：当我们遇到复杂的数学问题时，在不改变问题基本性质的前提下，可以把问题回归到最原始、最简单的状态，其实就是把复杂的问题简单化。这是数学学习中一种重要的“化难为易”思想。（板书：化难为易）

师：今天，我们就运用这一策略，从数学的角度，用数学的方法来玩一个“点子连线”的游戏。【板书课题：数学思考（一）】

师：玩之前得知道什么？（规则）下面我们来看一段视频动画了解游戏规则和玩法。【播放规则动画】

【信息技术及意图】：插入并播放自制的点子连线动画视频。激趣的同时，可以利用视频中动画人物的讲解，给学生一定的启发，从而让学生了解规则和玩法。比老师来讲解游戏规则强多了，既省时省力，又能达到事半功倍的效果。

（暂停）师：如果让你来玩，你会怎么连呢？（生答）

师：壮壮和思思是怎么连的？你们从中能获得哪些启发？带着这些问题，我们接着往下看。

【设计意图】：在视频播放到“20个点一共可以连成（         ）条线段”画面时，点暂停，引导学生先思考，如果自己来连，会怎么连呢？并说说自己的想法。之后继续看视频，有助于对自己先前的想法做出判断，并适时优化。

游戏规则：

1.卡片上有20个点，每两个点连成一条线段。

2.请你带着任务连线，边连边思考，边填写表格（见下表）。

3.两人一组合作比赛，哪个组最先得出准确结果，这个组就获胜。

（看完动画，ppt出示游戏规则）师：对规则有疑问吗？（生示意无）从刚才的视频中你获得了哪些启发？如果现在要你玩，你具体会怎么连？（指名几位学生回答）

二、探究交流，发现规律

（一）从易到难，发现规律

师：规则和玩法了解得差不多了，下面请拿出点子图开始吧，限时6分钟，每组第一个完成的请举手示意，老师将选出前三名做为本次比赛的冠亚季军。（打开计时器计时，并提示：赢家有奖）

【信息技术及意图】：利用希沃白板5中的计时器计时，可以帮助学生建立良好的时间观念，结束时的提示音还起到了提示比赛结束的效果。

（请冠军组上台分享：一个连、一个汇报、老师根据生的汇报适时板书）师：冠军组，你们是怎么做到这么快出结果的？跟大家分享一下吧。坐在下面的同学请认真听，他们组在连的过程中发现了什么 ？和你发现的一样吗？

【信息技术及意图】：利用希沃白板5的绘画功能，实现了冠军组的探究过程再现，一个汇报、一个连、一个板书，让台下的学生亲历他们的探究过程，这何尝不是思维可视化的一种体现。

（生分享完）师：太精彩了，此处应该有掌声。和他们结果一样的请举手示意？

预设一：

（生汇报出全部规律）师：冠军组把接下来要讲的规律全部分享给大家了，你们都听出有哪些规律了吗？（指名生答，师适时表扬）

师：下面我们再来总结一遍。【生齐说后，ppt出示 ：新增条数=点子数-1；总条数=1+2+3+……+（点子数-1）】

师：为什么会存在这样的规律呢？

预设二：

（生只发现了新增条数比点子数少1）师：我在冠军组的分享中听到了一组关系：新增条数比点子数少1，你们听到了吗？为什么存在这样的关系呢？还有别的关系存在吗？

师：这里有一个法宝可以帮助你们直观形象地找到（规律及其）原因，我们一起来看。

（打开动态点子连线图）师：现在是两个点连成一条线段，下面加一个点，连线，你发现了什么？（指名生答，多加几个点，多连几次，让学生明晰不同颜色的线段就是每次的新增线段）

【信息技术】：利用希沃白板5进行动画设置，并修改动画的触发，再设置延迟等制作“动态点子连线图”。

【设计意图】：引导学生总结出——点子数与新增线段数的关系；点子数与线段总数的关系，师适时板书。并运用制作的动态点子连线图（新增线段变成不同的颜色以示强调），又一次数形结合地把不同颜色的线段表示成数，那么线段总数就是这些数相加的和。让学生直观地感知这两个关系，以加深印象和理解。

（二）从数到形，了解规律

师：根据刚才的规律，你能表示出n个点子时的新增条数、总条数吗？（指名生答）

生：新增线段数是n-1，那就总共会有“1+2+3+4+……+（n-1）”的和那么多的线段。（师板书）

师：这么复杂的式子，该怎么计算呢？谁有想法。（生有就请他说，没有就引导）

预设1：这就是高斯求和，可以利用“（首项➕尾项）✖️项数➗2”来算。

【信息技术及意图】插入超链接，设置好需链接到的幻灯片页面，以根据学生的随机回答切换到对应的灯片做具体讲解。

师：你的知识面真广，下面我们就来听听“高斯求和”的故事吧。

【信息技术及意图】：ppt中插入有关于整个界面内容的音频，让学生在听故事的过程中了解等差数列求和公式的由来，以加深印象和理解。

师：少年高斯利用“对称思想”算出了和。还有别的想法吗？

预设2:把式子倒过来写再相加，那么就有n个（n-1），即n✖️（n-1），一个式子的和就是n(n-1)➗2。（师适时表扬）

师：其实我们还可以借助“图形”的直观性来求和，下面我们来看一个微视频。

【信息技术及意图】：插入并播放微视频，让学生形象直观地了解自然数列求和的推导过程，又一次印证了从易到难、数形结合的妙处。

总结并板书：n（n-1）➗2

师：两种方法都算出来是这个结果。190这个结果是否正确呢？我们用它来验算一下吧。（生算确实是190）

师：回顾前面的探究过程，我们通过简单的3个点、4个点、5个点……观察分析找出内在的规律，再运用这个规律解决了复杂的问题。这其实就是我们最前面所讲的“化难为易”。接下来，我们趁热打铁，继续思考。

【设计意图】：带领学生回顾整个探究过程，其实就是一个从易到难，发现规律，解决问题的过程，让学生亲历从易到难的实际，感知这种思想的实用价值，也恰好印证了华罗庚名言，做到了首尾呼应。

三、练习巩固，学以致用

1.观察下图，想一想。 书本第100页《做一做》（指名生答，并说明理由）

2.脑洞大开

计算：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/+…=？（生先小组讨论两分钟，再请生汇报，后播放视频讲解）

【信息技术及意图】借助希沃白板5中的课堂视频，数形结合，让学生能直观形象地理解算法，深化了对应用“化难为易”思想解决复杂数学问题的认识。

四、归纳小结，深化认知

这堂课你有什么收获？

师：学了这堂课，以后遇到复杂的数学问题，你会怎么解决？（指名生答）

五、回顾旧知，提升思想

师：今天这堂课是六年级下册总复习的内容，现在请你们仔细回顾，我们以前学过的哪些数学问题也应用了“化难为易”思想？（指名生答，师评价）

师：找到了这些问题，我们一起来看。（ppt依次出示：植树问题、鸡兔同笼、找次品主题图）

师：还有哪些数学问题中用到了这种思想呢？你们可以课后再一起探讨、研究。今天的课就上到这里，下课！

【设计意图：既然是六年级下册的一堂总复习课，那么我们应当引导学生纵观整个小学阶段所学的知识，哪些数学问题中用到了“化难为易”思想？一方面帮助学生提升对思想本身的认识，另一方面让学生感知“化难为易”思想在解决复杂问题时的实用价值。】

布置作业

完成《数学思考（一）》课堂效果评估单

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