一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，则A∩B＝（　　）

A．{0，1}            B．（0，1）                C．（0，    2）    D．{0，1，2}

2．命题“∀x∈R，都有x2﹣x+3＞0”的否定为（　　）

A．∃x∈R，使得x2﹣x+3≤0            B．∃x∈R，使得x2﹣x+3＞0    

C．∀x∈R，都有x2﹣x+3≤0            D．∃x∉R，使得x2﹣x+3≤0

3．已知a＜b＜0，则（　　）

A．a2＜b2                            B．＜    

C．2a＞2b                            D．ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）

4．已知函数f（x）＝﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）

A．（0，1）            B．（1，2）            C．（2，3）            D．（3，4）

5．4×100米接力赛是田径运动中的集体项目，一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（　　）

A．p1p2p3                            B．1﹣p1p2p3    

C．（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）            D．1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）

6．下列函数中，在R上为增函数的是（　　）

A．y＝2﹣x                            B．y＝x2    

C．y＝                    D．y＝lgx

7．已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为C＝

Q2+3000，设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（　　）

A．30            B．60            C．900            D．1800

8．逻辑斯蒂函数f（x）＝二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类，下列关于函数f（x）的说法错误的是（　　）

A．函数f（x）的图象关于点（0，f（0））对称    

B．函数f（x）的值域为（0，1）    

C．不等式f（x）＞的解集是（0，+∞）    

D．存在实数a，使得关于x的方程f（x）﹣a＝0有两个不相等的实数根

9．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（　　）

A．甲得分的极差大于乙得分的极差    

B．甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数    

C．甲得分的平均数小于乙得分的平均数    

D．甲得分的标准差小于乙得分的标准差

10．已知函数f（x）＝2x2+bx+c（b，c为实数），f（﹣10）＝f（12）．若方程f（x）＝0有两个正实数根x1，x2，则+的最小值是（　　）

A．4                B．2                C．1                D．

二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分.

11．函数f（x）＝log0.5（x﹣1）的定义域是 　   　．

12．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝lnx，则f（﹣）的值是 　   　．

13．定义域为R，值域为（﹣∞，1）的一个减函数是 　   　．

14．已知函数f（x）＝|log5x|，若f（x）＜f（2﹣x），则x的取值范围是 　   　．

15．已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），给出下列四个结论：

①存在实数a，使得f（x）有最小值；

②对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数；

③存在实数a，使得f（x）的值域为R；

④若a＞3，则存在x0∈（0，+∞），使得f （x0）＝f（﹣x0）．

其中所有正确结论的序号是 　   　．

三、解答题：共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16．（9分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x﹣4a≤0}．

（Ⅰ）当a＝1时，求A∩B；

（Ⅱ）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．

17．（10分）已知函数f（x）＝ax+b•a﹣x（a＞0且a≠1），再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，说明理由；

（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明；

（Ⅲ）若f（|m|﹣3）不大于b•f（2），直接写出实数m的取值范围．

条件①：a＞1，b＝1；

条件②：0＜a＜1，b＝﹣1．

18．（10分）某工厂有甲、乙两条相互的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4：1，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）．

（Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；

（Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取10件产品，记P1表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，P2表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较P1和P2的大小．（只需写出结论）

19．（11分）已知定义域为D的函数f（x），若存在实数a，使得∀x1∈D，都存在x2∈D满足＝a，则称函数f（x）具有性质P（a）．

（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P（0），说明理由；

①f（x）＝2x；

②f（x）＝log2x，x∈（0，1）．

（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为D，且具有性质P（l），则“f（x）存在零点”是“2∈D”的 　   　条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）

（Ⅲ）若存在唯一的实数a，使得函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]具有性质P（a），求实数t的值．

选做题：

20．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖．屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了疟疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用．当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效．后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用．已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值．人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变，现用t表示时间（单位：h），在t＝0时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：μg/ml），根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数．已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值．请根据以上描述完成下列问题：

（Ⅰ）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是 　   　；

①C（t）＝

②C（t）＝

③C（t）＝

④C（t）＝

（Ⅱ）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1μg/mL，则称青蒿素药片是合格的．基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片 　   　；（填“合格”、“不合格”）

（Ⅲ）记血药浓度的峰值为Cmax，当C≥Cmax时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间是 　   　．

【参】

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．A

【解析】集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，

∴A∩B＝{0，1}．故选：A．

2．A

【解析】根据题意，命题“∀x∈R，都有x2﹣x+3＞0”是全称命题，

其否定为：∃x∈R，使得x2﹣x+3≤0．故选：A．

3．D

【解析】∵a＜b＜0，

∴，ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）．

故选：D．

4．C

【解析】函数f（x）＝﹣log2x，是减函数，又f（2）＝﹣log22＝＞0，

f（3）＝1﹣log23＜0，

可得f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知：函数f（x）＝﹣log2x，包含零点的区间是：（2，3）．故选：C．

5．C

【解析】∵该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，

∴三次交接棒不失误的概率分别为1﹣p1，1﹣p2，1﹣p3，

∴假设三次交接棒相互，

则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）．故选：C．

6．C

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于A，y＝2﹣x是指数函数，在R上为减函数，不符合题意，

对于B，y＝x2，是二次函数，在（﹣∞，0）上为减函数，不符合题意，

对于C，y＝，在R上为增函数，符合题意，

对于D，y＝lgx，是对数函数，定义域为（0，+∞），不符合题意，

故选：C．

7．B

【解析】由题意可得该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）＝，

则f（Q）＝＝60，当且仅当，即Q＝100时取等号，此时f（Q）的最小值为60，故选：B．

8．D

【解析】对于A：f（x）＝＝，f（﹣x）＝，f（x）+f（﹣x）＝1，

所以函数f（x）的图象关于点（0，）对称，又f（0）＝，所以函数f（x）的图象关于点（0，f（0））对称，故A正确；

对于B：f（x）＝，易知e﹣x＞0，所以1+e﹣x＞1，则（0，1），

即函数f（x）的值域为（0，1），故B正确；

对于C：由f（x）＝容易判断，函数f（x）在R上单调递增，且f（0）＝，

所以不等式f（x）＞的解集是（0，+∞），故C正确；

对于D：因为函数f（x）在R上单调递增，所以方程f（x）﹣a＝0不可能有两个不相等的实数根，故D错误．故选：D．

9．B

【解析】对于A，乙组数据最大值为29，最小值为5，极差为24，

甲组数据最大值小于29，最小值大于5，故A错误；

对于B，甲得分的75%分位数是＝22.5，乙得分的75%分位数是17，故B正确；

对于C，甲组具体数据不易看出，不能判断甲得分的平均数与乙得分的平均数的大小关系，故C错误；

对于D，乙组数据更集中，标准差更小，故D错误．

故选：B．

10．B

【解析】根据题意，函数f（x）＝2x2+bx+c为二次函数，

若f（﹣10）＝f（12），则f（x）的对称轴为x＝1，

若方程f（x）＝0有两个正实数根x1，x2，则有x1+x2＝2，

则+＝（+）（x1+x2）＝（2++）≥（2+2）＝2，

当且仅当x1＝x2＝1时等号成立，即+的最小值是2，故选：B．

二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分.

11．（1，+∞）

【解析】要使函数有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），

故答案为：（1，+∞）．

12．1

【解析】∵当x＞0时，f（x）＝lnx，且f（x）是奇函数，

∴f（﹣）＝﹣f（）＝﹣ln＝1，故答案为：1．

13．y＝1﹣2x（答案不唯一）

【解析】根据题意，要求函数可以为指数函数变换形式，

如y＝1﹣2x；

故答案为：y＝1﹣2x（答案不唯一）．

14．（1，2）

【解析】∵函数f（x）＝|log5x|的定义域为（0，+∞），

∴，∴0＜x＜2，

①当x＝1时，f（x）＝f（2﹣x），不符合题意，

②当0＜x＜1时，2﹣x＞1，

则f（x）＜f（2﹣x）等价于|log5x|＜|log5（2﹣x）|，

∴﹣log5x＜log5（2﹣x），

∴log5（2﹣x）+log5x＞0，即log5[x（2﹣x）]＞0，

∴x（2﹣x）＞1，

∴x2﹣2x+1＜0，此方程无解，

③当1＜x＜2时，0＜2﹣x＜1，

则f（x）＜f（2﹣x）等价于|log5x|＜|log5（2﹣x）|，

∴log5x＜﹣log5（2﹣x），

∴log5（2﹣x）+log5x＜0，即log5[x（2﹣x）]＜0，

∴x（2﹣x）＜1，

∴x2﹣2x+1＞0，即x≠1，

则1＜x＜2符合题意，

综上所述，x的取值范围是（1，2）．

15．①②④

【解析】对于①，当a＝3时，函数f（x）＝，函数有最小值﹣1，

故①正确；

对于②，若f（x）是R上的减函数，则，解得a∈∅，

∴对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数，故②正确；

对于③，若f（x）的值域为R，需，得a∈∅，故③错误；

对于④，若a＞3，函数f（x）＝的图象如图所示：

直线y＝（a﹣2）x与曲线y＝ax﹣1一定有交点，即存在x0∈（0，+∞），使得f （x0）＝

f（﹣x0），故④正确．

∴正确结论的序号是①②④．故答案为：①②④．

三、解答题：共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16．解：（Ⅰ）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣4a≤0}．

当a＝1时，B＝{x|x≤4}，

∴A∩B＝{x|x＜﹣1或3＜x≤4}；

（Ⅱ）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣4a≤0}，A∪B＝R，

∴4a＞3，解得a＞，

∴实数a的取值范围是（，+∞）．

17．解：选择条件①：

（Ⅰ）a＞1，b＝1，函数f（x）是偶函数，理由如下：

f（x）的定义域为R，对任意x∈R，则﹣x∈R，

∵f（﹣x）＝a﹣x+ax＝f（x），

∴函数f（x）是偶函数．

（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是增函数．

证明如下：

任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则x1+x2＞0，

∵a＞1，∴，，

∴f（x1）﹣f（x2）＝﹣（）

＝（）（1﹣）

＝（）•＜0，

∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．

（Ⅲ）实数m的取值范围是[﹣5，﹣1]∪[1，5]．

选择条件②：0＜a＜1，b＝﹣1，

（Ⅰ）函数f（x）是奇函数，理由如下：

f（x）的定义域为R，对任意x∈R，则﹣x∈R，

∴f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），

∴函数f（x）是奇函数．

（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是减函数．

证明如下：

任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

∵0＜a＜1，∴＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＝﹣（）

＝（）（1+）

＝（）•＞0，

∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调减函数．

（Ⅲ）实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．

18．解：（Ⅰ）由题意知，解得a＝4，b＝18．

（Ⅱ）记样本中甲生产线的4件二等品为A1，A2，A3，A4，乙生产线的2件二等品为B1，B2，从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，分别为：

（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A2，A3），（A2，A4），（A3，A4）（A1，B1），（A2，B1），

（A3，B1），（A4，B1），（A1，B2），（A2，B2），（A3，B2），（A4，B2），（B1，B2），

记C为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果只有一个，是（B1，B2），

∴至少有1件为甲生产线产品的概率为P＝1﹣P（）＝1﹣＝．

（Ⅲ）p1＜p2．

19．解：（Ⅰ）①函数f（x）＝2x不具有性质P（0）．理由如下：

对于a＝0，x1＝1，∵，x2∈R，

∴不存在x2∈R满足＝0，

∴函数f（x）＝2x不具有性质P（0）．

②函数f（x）＝log2x，x∈（0，1）具有性质P（0）．理由如下：

对于∀x1∈（0，1），取x2＝，则x2∈（0，1），

∵＝＝0，

∴函数f（x）＝log2x，x∈（0，1）具有性质P（0）．

（Ⅱ）“f（x）存在零点”是“2∈D”的充分而不必要条件．理由如下：

（i）若f（x）存在零点，令f（x）＝3x﹣1，x∈[0，1]，则f（）＝0，

∵∀x1∈[0，1]，取x2＝1﹣，则x2∈[]，且＝＝1，

∴f（x）具有性质P（1），但2∉[0，1]．

（ii）若2∈D，∵f（x）具有性质P（1），

取x1＝2，则存在x2∈D，使得＝＝1，

∴f（x2）＝0，∴f（x）存在零点x2，

综上，“f（x）存在零点”是“2∈D”的充分而不必要条件．

故答案为：充分而不必要．

（Ⅲ）记函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的值域为F，函数g（x）＝2a﹣x，x∈[0，2]的值域为A＝[2a﹣2，2a]，

∵存在唯一的实数a，使得函数f（x2）＝2a﹣x1成立，∴F＝A．

（i）当t＝0时，f9x）＝x+4，x∈[0，2]，其值域F＝[4，6]，

由F＝A，得a＝3．

（ii）当﹣≤t，且t≠0时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]是增函数，

∴其值域F＝[4，4t+6]，

由F＝A，得t＝0，舍去．

（iii）当﹣时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（﹣）＝4﹣，最小值为4，

∴f（x）的值域为F＝[4，4﹣]．

由F＝A，得t＝﹣，舍去．

当t＜﹣时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（﹣）＝4﹣，最小值为

f（2）＝4t+6，

∴f（x）的值域为F＝[4t+6，4﹣]，

由F＝A，得t＝（舍去t＝）．

选做题： 

20．解：（Ⅰ）根据题意，得函数C（t）同时满足以下条件：

A．函数C（t）在[0，1.5）上单调递增，在（1.5，+∞）上单调递减；

B．当t＝1.5时，函数C（t）取得最大值；函数C（t）的最小值非负；

C．函数C（t）是一个连续变化的函数，不会发生骤变．

选择①：，

因为C（3）＝0.75﹣0.3×3＝﹣0.15不满足条件B，

所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；

选择②：C（t）＝

 当0≤t＜15时，，

当t＝1时，函数C（t）取得最大值，不满足条件B，

所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；

选择③：

因为，

，

所以不满足条件C，

所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；

选择④：

因为，且当t≥1.5时，C（t）＞0，

所以C（t）同时满足三个条件，

即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；

综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④．

（Ⅱ）由 （Ⅰ）得：函数④：，

因为，

即血药浓度的峰值大于0.1μg/ml，

所以此青蒿素药片合格，

即答案为：合格；

（Ⅲ）当0≤t＜1.5时，令0.2ln（t+1）≥0．ln2.5，

所以ln（t+1）2≥ln2.5，即，即2t2+4t﹣3≥0，

解得或，即

当t≥1.5时，令，则，

解得t≤3，即1.5≤t≤3；

综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间为．下载本文