数学Ⅰ

参考公式：

样本数据的方差

一、填空题：本大题一共十四小题，每小题五分，共七十分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.

1.若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为★.

【答案】

2.已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积   ★   .

【答案】3

【解析】。

3.函数的单调减区间为   ★   .

【答案】

【解析】，由得单调减区间为。

4.函数为常数，在闭区间上的图象如图所示，则   ★   .

【答案】3

【解析】，，所以，

5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为   ★   .

【答案】0.2

6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

【答案】

7.右图是一个算法的流程图，最后输出的  ★  .

【答案】22

8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为  ★  .

【答案】1：8

9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为  ★   .

【答案】

10.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 ★   .

【答案】

11.已知集合，，若则实数的取值范围是，其中★   .

【答案】4

【解析】由得，；由知，所以4。

12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；

（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；

（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；

（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.

上面命题中，真命题的序号      ★       （写出所有真命题的序号）.

【答案】（1）（2）

13．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为     ★     .

【答案】

【解析】用表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.

14．设是公比为的等比数列，，令若数列有连续四项在集合中，则   ★   .

【答案】

【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.

二、解答题：本大题一共六小题，共计九十分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15．（本小题满分14分）              

设向量

（1）若与垂直，求的值；

（2）求的最大值;

（3）若，求证：∥.

【解析】由与垂直，，

即，；

，

最大值为32，所以的最大值为。

由得，

即，

所以∥.               

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上， 

求证：（1）∥

（2）

【解析】证明：（1）因为分别是的中点，所以，又，，所以∥；

（2）因为直三棱柱，所以，，又，所以，又，所以。

17．（本小题满分14分）  

设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项. 

解析：（1）设公差为，则，

由性质得，

因为，

所以，

即，

又由得，

解得，

所以的通项公式为，前项和。

（2），令，

，

因为是奇数，所以可取的值为，

当，时，，，是数列中的项；

，时，，数列中的最小项是，不符合。

所以满足条件的正整数。

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系中，已知圆和圆

（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

【解析】(1)或，

(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为或。 

19.(本小题满分16分)

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.

    现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为

(1)求和关于、的表达式；当时，求证： =；

(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

(4)求和关于、的表达式；当时，求证： =；

(5)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

(6)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

【解析】(1) 

当时，

显然 

(2)当时，

由，

故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为

20．(本小题满分16分)

设为实数，函数.

(1)若，求的取值范围；

(2)求的最小值；

(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.

【解析】（1）若，则

（2）当时， 

当时，

综上

(3)时，得，

当时，；

当时，得

1）时， 

2）时， 

3）时， 下载本文