欧氏空间和酉空间
1.向量空间中向量的内积、长度、夹角的定义及性质,规范正交基,Schmidt
正交化方法；
2.正交变换与正交矩阵的定义和性质；
3.对称变换与实对称矩阵，实对称矩阵的正交相似对角化；
4.酉空间的定义及其基本性质，酉变换和酉矩阵.
&1 欧式空间
定义：
设是实数域上一个线性空间，在上定义了一个二元实函数，称为内积,记作，它具有以下性质:
1);
2);
3);
4)是非负实数,且当且仅当
这里是中任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间.
&2 正交矩阵的定义和性质
由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基
2.1 正交矩阵有以下几种等价定义及其判定：
定义1为阶实矩阵,若,则称为正交矩阵.
定义2为阶实矩阵,若,则称为正交矩阵.
定义3为阶实矩阵,若,则称为正交矩阵.
定义4为阶实矩阵，若的个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称为正交矩阵.
判定1为正交矩阵.
判定2为正交矩阵.
判定3为正交矩阵
2.2 正交矩阵的性质
性质1 设为正交矩阵，则
；
可逆，即存在，其逆也是正交矩阵；
，也是正交矩阵.
并且当为阶正交矩阵时,
当时, , 即;
当时，, 即
证：由，可知，或者.
对正交矩阵，
当时，我们称为第一类正交矩阵；
当时，则称为第二类正交矩阵.
由,可知可逆,且,又
故是正交矩阵.
由知,是正交矩阵.
而,有
,
故是正交矩阵.
由,
当时, , 即;
当时, , 即
性质2 设都是阶正交矩阵，则：
， (为自然数),，，，，等都是正交矩阵；
也是正交矩阵
证:由可知
，
所以为正交矩阵，从而再由性质1可推知:
(为自然数),，，，，等均为正交矩阵.
因为
及
故是正交矩阵.
性质3 设为阶正交矩阵，且，则必不可逆；
设为奇数阶正交矩阵，且，则必不可逆.
证：由
得,即不可逆.
由
知为奇数时,，即，
从而不可逆.
性质4：1阶正交矩阵只有
性质5：2阶矩阵为正交矩阵的充要条件是为下列四型之一：
;
;
;
.
其中;
性质6：阶非零矩阵为正交矩阵的充要条件是对任意的阶矩阵有:
证明 必要性: 设是阶正交矩阵. 由得: , 从而根据矩阵理论可知:对任意阶矩阵, 有
充分性: 设对任意的阶矩阵,特别地, 我们可选取下载本文
