必修第二册

考生注意：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，满分100分．请在答题卡上答题．

第Ⅰ卷（选择题，共36分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．某学校有教师100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层随机抽样的方法从中抽取20人，从低到高各年龄段分别抽取的人数为（    ）

A．7，5，8    B．9，5，6     C．6，5，9      D．8，5，7

2．设复数，，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 ．第二象限 ．第三象限 ．第四象限 

3．如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于km，灯塔在观察站的北偏东20°，灯塔在观察站的南偏东40°，则灯塔与灯塔的距离为（    ）

A．km ．km ．km ．km

4．为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kw•h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（    ）

  A．一定为5.5kw•h B．高于5.5kw•h C．低于5.5kw•h D．约为5.5kw•h

5．已知复数满足，则（    ）

A．1 ．2 ． ．

6．设，为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ）

 A．若，，则               B．若，，，则

 C．若，，，则       D．若，，，则

7．下列命题是假命题的是（    ）

A．数据1，2，3，3，4，5的众数、中位数相同

B．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，这两组数据中较稳定的是乙

C．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的第85百分位数为5

D．对一组数据，如果将它们变为，其中，则平均数和标准差均发生改变． 

8．设为平面内一个基底，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是（    ）

A． ． ． ．

【答案】A．

9．已知正三棱锥的底面边长为，点到底面的距离为，则三棱锥的表面积是（    ）

A.    

10．从集合{3，4，6}中随机地取一个数a，从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（    ）

    A． B． C． D．

11．在四边形中,,,则四边形的面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

12．如图，空间几何体，是由两个棱长为的正

 三棱柱组成，则直线和所成的角的余弦值为（    ）

A．    B．    C．    D． 

第Ⅱ卷（非选择题，共分）

二、填空题：每小题4分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．

13．若向量，，且，则的值是　　　　．

14．已知复数满足，则的最小值为　　　　．

15．已知三棱锥，底面，，，，，则三棱锥的外接球表面积为　　　　．

16．如图，已知为平面直角坐标系的原点，

，．

则向量在向量上的投影向量为　　　　．

17．在中，已知，，，，，与交于点，则的余弦值是　　　　．

三、解答题：本大题共5题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．

18.（本小题满分8分）

2021年4月30日，马鞍山市采石矶5A级旅游景区揭牌．为了更好的提高景区服务质量，景区管理部门对不同年龄层次的入园游客进行随机调查，收集数据如下：

    （1）求此次调查的好评率．

    （2）若从所有评价为好评的被调查游客中随机选择1人，求这人是老年组的概率.

19.（本小题满分8分）

    已知，，.

（1）求与的夹角；        

（2）求．

20.（本小题满分8分）

已知四棱锥，底面是菱形，，

底面，且，点是棱和的中点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

21.（本小题满分10分）

在中，角所对的边分别为. 

（1）证明：；

（2）若，， 求的周长.

22.（本小题满分10分）

如图，在正方体中，，，，是所在棱的中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

答案部分

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B．2．【答案】D．3．【答案】C．4．【答案】D．5．【答案】A．6．【答案】D．

7．【答案】D．8．【答案】A．9．【答案】C．10．【答案】B11．【答案】C．12．【答案】D．

二、填空题：每小题4分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．

13．【答案】．14．【答案】．15．【答案】．

16．【答案】（写 亦可）．17．【答案】．

三、解答题：本大题共5题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．

18.（本小题满分8分）【参】

    （1）好评率是

……………………4分

 （2）在所有评价为好评的青少年组人数为7人，中年组人数为12人，老年组人数为9人，此人是老年组的概率是.     ……………………8分

19.（本小题满分8分）【参】

（1），…………………………………3分

 =60°.         …………………………………4分

     （2）∵ 

=

=16+4×6+4×9=76，

 .      …………………………………8分

20.（本小题满分8分）【参】

（1）证明：取的中点，连接、.

∵ ，分别为，的中点，

∴ ∥，=.

又∵是的中点，

∴ ∥，=.

∴ ∥，=.

∴ 四边形为平行四边形.

∴∥.

又∵面，面

∴∥面.     …………………………………4分

（2） 解：∵⊥底面，

∴点到底面的距离为1.

易知=，

∴=.       …………………………………8分

21.（本小题满分10分）【参】

（1）证明：△中由余弦定理得

=

==.

∴ 原等式成立. (由正弦定理证明亦可) ………………4分

（2）解：由可得，

 由（1）知 =，

∴ ，

∴ ..   ………………………7分

又∵=7, =5, 

∴ ，得=8或-3（舍去）

∴ =8.

∴△的周长为++=20. ………………………10分

22.（本小题满分10分）【参】

（1）证明：在正方体中，

⊥面，∴⊥.

∵ 在侧面中，易知⊥，

∴⊥面.            ………………………5分

 （2）解： 连接，交于，交于，连接，由知共面，设.

由（1）知⊥面，

∴ 为在平面内的射影

∴ ∠为与平面所成的角. 

△中，=，=，

∴  ∠===.  ………………………10分下载本文