一、单选题

1．与圆同圆心，且过的圆的方程是（   ）

A．                  B．

C．                  D．

2．下列说法中正确的是（   ）

A．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则”

B．命题“，”的否定“，”

C．若为假命题，则，均为假命题

D．“”是“直线：与直线：平行”的充要条件

3．已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( 　)

A．    B．    C．    D．

4．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“”表示除以的余数，若输入的值分别为和，则执行该程序输出的结果为( 　)

A．    B．    C．    D．

5．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( 　)

A．    B．    C．    D．

6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是（   ）

A．    B．    C．    D．

7．已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于两点，在中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（    ）

A．3    B．4    C．5    D．6

8．在直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（  ）

A．    B．    C．    D．

9．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( 　)

A．    B．    C．    D．

10．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（  ）

A．        B．9                C．7               D．

11．已知抛物线的焦点为，直线与C交于A、B（A在轴上方）两点，若，则实数的值为（ ）

A．    B．    C．2    D．3

12．已知双曲线的左、右顶点分别为， 为双曲线左支上一点， 为等腰三角形且外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题

13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．

14．过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆C的离心率等于______．

15．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.

三、解答题

16．设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．

（1）如果是真命题，求实数的取值范围；

（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．

17．为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了组昼夜温差与颗种子发芽数，得到如下资料：

（1）若选取的是第组的数据，求出关于的线性回归方程；

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？

（参考公式：，）

18．在一次商贸交易会上,某商家在柜台前开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有个红球和个白球的袋中无放回地取出个球,当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.

(1)求甲乙恰有一人中奖的概率;

(2)若甲计划在之间赶到,乙计划在之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.

19．已知圆与圆关于直线+1对称．

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程.

20．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．

(1)求证：FC∥平面EAD；

(2)求二面角A－FC－B的余弦值．

21．已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

参

一、单选题

1．与圆同圆心，且过的圆的方程是（   ）

A．                  B．

C．                  D．

【答案】B

【解析】试题分析：把原圆的方程写成标准方程为，由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为：，把代入所设方程，得：，所以所求的圆的方程为，化简为：，故选B.

【考点】1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的.

2．下列说法中正确的是（   ）

A．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则”

B．命题“，”的否定“，”

C．若为假命题，则，均为假命题

D．“”是“直线：与直线：平行”的充要条件

【答案】A

【解析】根据命题的条件、结论及逆否命题的定义判断；根据特称命题的否定是全称命题判断，根据复合命题的真值表判断；根据平行线的性质判断.

【详解】

否定 “若，则方程有实数根”条件与结论，再将否定后的条件与结论互换可得其逆否命题为“若方程无实数根，则”，正确；

命题“，”的否定“，”，不正确；

若为假命题，则至少有一个是假命题，不正确；

“直线：与直线：平行”的充要条件是“或”,不正确，故选A.

【点睛】

本题通过对多个命题真假的判断，综合考查逆否命题的定义、特称命题的否定、复合命题的真值表、平行线的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

3．已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( 　)

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】根据焦点坐标求得、双曲线的渐近线方程，结合，利用待定系数法进行求解即可.

【详解】

双曲线的渐近线方程为，

对应的双曲线方程为，

双曲线的一个焦点是， 

且 ，

则，

则，

则，则，

即双曲线的方程为，故选C.

【点睛】

本题主要考查双曲线方程的求解，属于基础题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.

4．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“”表示除以的余数，若输入的值分别为和，则执行该程序输出的结果为( 　)

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.

.

【详解】

若输入的值分别为,

则,不满足条件，循环；

，余数为13 ,即，不满足条件，循环；

，余数为0 ,即，满足条件，输出，故选A.

【点睛】

本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

5．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( 　)

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】根据抛物线的定义可求出的横坐标，代入抛物线方程解出的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.

【详解】

抛物线的焦点为，准线方程为，

点到焦点的距离等于到准线的距离，

所以，

代入抛物线方程解得，

，故选A.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决..

6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，利用对立事件概率计算公式，结合古典概型概率公式能求出向上的点数之和小于10的概率.

【详解】

将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷2次，

基本事件总数为，

出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，

出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：

共6个,

出现向上的点数之和小于10的概率为，故选D.

【点睛】

本题考查古典概型概率公式的应用以及对立事件概率计算公式的应用，属于中档题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.

7．已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于两点，在中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（    ）

A．3    B．4    C．5    D．6

【答案】D

【解析】由椭圆的定义得两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=16，

又因为在△AF1B中，有两边之和是10，

所以第三边的长度为：16-10=6

故选D．

8．在直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】【详解】

延长到点,使得,连接,

则是平行四边形，可得,

根据异面直线所成角的概念可知，所成的锐角即为所求的异面直线所成的角，

设三棱柱的棱长为1，则，

在中，根据余弦定理可得，

所以异面直线与所成角的余弦值为,故选C.

【点睛】

本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.

9．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( 　)

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离 .

【详解】

以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量，

则，取，得，

点到平面的距离为

，故选D.

【点睛】

本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

10．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（  ）

A．        B．9                C．7               D．

【答案】B

【解析】试题分析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是．要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，，故 的最大值为 ，故选：B．

【考点】圆与圆的位置关系及其判定．

【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大值．

11．已知抛物线的焦点为，直线与C交于A、B（A在轴上方）两点，若，则实数的值为（ ）

A．    B．    C．2    D．3

【答案】D

【解析】试题分析：由得或，即，，又，所以，，显然，即．故选D．

【考点】直线与抛物线的位置关系，向量的数乘．

【名师点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

（3）直线与抛物线相交问题，如果含有参数，一般采用“设而不求”方法，但象本题则是直接把直线方程与抛物线方程联立方程组解得交点坐标，再进行相减的运算．

12．已知双曲线的左、右顶点分别为， 为双曲线左支上一点， 为等腰三角形且外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】由题意知等腰中， ，设，则，其中必为锐角．

∵外接圆的半径为，

∴，

∴， ，

∴．

设点P的坐标为，则，

故点P的坐标为．

由点P在椭圆上得，整理得，

∴．选C．

点睛：

本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P的坐标是解题的突破口．在得到点P的坐标后根据点在椭圆上可得间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．

二、填空题

13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．

【答案】30

【解析】由频率分布直方图得,分数在内的频率为：，分数在内的人数为：，故答案为.

14．过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆C的离心率等于______．

【答案】

【解析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为,可得，结合即可求出椭圆的离心率.

【详解】

设，则①，②，

是线段的中点，，

直线的斜率是，所以，

①②两式相减可得，

即，

，

，故答案为.

【点睛】

本题考查椭圆的离心率，以及“点差法”的应用，属于中档题. 对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.

15．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.

【答案】2或

【解析】设是的中点，连接，在平面内作，则，可证明平面，连接，则是与平面所成的角，设，利用平面所成的角的正弦值为，列方程求解即可.

【详解】

设是的中点，连接，

平面，，

为正三角形，，

平面，

在平面内作，

则，平面，

连接，则是与平面所成的角，

设，在直角三角形中，，

求得，

，

平面所成的角的正弦值为，

,

解得或，即的长为2或，故答案为2或.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及直线与平面所成的角，属于难题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.

三、解答题

16．设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．

（1）如果是真命题，求实数的取值范围；

（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）或

【解析】（1）利用的判别式小于零即可得结果；（2）化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.

【详解】

（1）命题是真命题，则若，，的取值范．

（2）若命题是真命题，设，令，，当时取最大值，，又因为“”为真命题，“”为假命题，

所以一真一假.

①若真假，，且，则得；

②若假真，则得，且，得．

综上，实数的取值范围为或.

【点睛】

本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查函数的定义域、值域以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.

17．为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了组昼夜温差与颗种子发芽数，得到如下资料：

（1）若选取的是第组的数据，求出关于的线性回归方程；

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？

（参考公式：，）

【答案】（1）（2）可靠

【解析】(1)根据所给的数据,先做出的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程；(2)根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的.

【详解】

（1）由题意：，,

．

，

故回归直线方程为：．

(2)当时，，

当时，，所以（1）中所得的回归直线方程是可靠的.

【点睛】

本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.

18．在一次商贸交易会上,某商家在柜台前开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有个红球和个白球的袋中无放回地取出个球,当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.

(1)求甲乙恰有一人中奖的概率;

(2)若甲计划在之间赶到,乙计划在之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.

【答案】（1）（2）

【解析】(1)利用古典概型概率公式分别求出甲中奖与乙中奖的概率，利用对立事件的概率公式求出甲不中奖与乙不中奖的概率，然后利用事件概率公式、互斥事件的概率公式求解即可；(2)设甲乙到达时间分别为9:00起第小时,则.甲乙到达时间为正方形区域,甲比乙先到则需满足，利用线性规划以及几何概型概率公式可得结果.

【详解】

(1)记“甲取得三个球同色”为事件A,“乙取得三个球同色”为事件B,“甲乙恰有一人中奖”为事件C.所以A与B相互，记两红球为1,2号,四个白球分别为3,4,5,6号,从6个球中抽取3个的所有可能情况有个基本事件.其中事件A包括个基本事件故，所以所以.

(2)设甲乙到达时间分别为9:00起第x,y小时,则0≤x≤,≤y≤1.甲乙到达时间(x,y)为图中正方形区域,甲比乙先到则需满足x设甲比乙先到为事件B,则P(B)=1-=.

【点睛】

本题主要考查古典概型 、“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

19．已知圆与圆关于直线+1对称．

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程.

【答案】（1）;（2）或.

【解析】（1）将圆化为标准方程，求出其圆心和半径，并求出圆心关于直线+1对称点的坐标，从而可得结果；（2）先验证斜率不存在时，直线符合题意；斜率存在时，由可求得的夹角，可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列方程可得到直线的斜率，由点斜式可得结果.

【详解】

（1）圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，圆心C1（2，0），半径r1=2，设圆的标准方程为，∵圆C1与圆C2关于直线y=x+1对称，所以，解得．故圆的方程为.

（2） 

，所以易得点到直线的距离为,

当的斜率不存在时，的方程为，符合要求；

当的斜率存在时，设的方程为，由得,

故的方程为；综上，的方程为或.

【点睛】

本题主要圆的方程，直线的点斜式方程的应用，属于中档题.在解题过程中需要用“点斜式”、“斜截式”设直线方程时，一定不要忘记讨论直线斜率不存在的情况，这是解析几何解题过程中容易出错的地方.

20．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．

(1)求证：FC∥平面EAD；

(2)求二面角A－FC－B的余弦值．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】(1)先证明平面FBC∥平面EAD，即证明FC∥平面EAD.(2)利用向量法求二面角A－FC－B的余弦值．

【详解】

(1)证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，

∴AD∥BC，DE∥BF．

∵AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，

∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，

又AD∩DE＝D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，

∴平面FBC∥平面EAD，

又FC⊂平面FBC，∴FC∥平面EAD．

(2)连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF为等边三角形，

∵O为BD中点．所以FO⊥BD，O为AC中点，且FA＝FC，

∴AC⊥FO，

又AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD， 

∴OA、OB、OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，

设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，

则BD＝2，OB＝1，OA＝OF＝，

∴O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，F(0,0，)，

∴＝(，0，)，＝(，1,0)，

设平面BFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则有∴

令x＝1，则n＝(1，－，－1)，

∵BD⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为＝(0,1,0)．

∵二面角A－FC－B为锐二面角，设二面角的平面角为θ，

∴cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，

∴二面角A－FC－B的余弦值为．

【点睛】

（1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理计算能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）

21．已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：

(1)由题意可求得b=1，a =，则椭圆方程为；

(2)假设直线存在，设出直线的斜截式方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意和韦达定理可得满足题意的直线存在，直线方程为.

试题解析：

（1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a =

故椭圆方程为

（2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心

设P（,）,Q（,）

因为M（0,1），F（1,0），故，故直线l的斜率

于是设直线l的方程为

由得

由题意知△＞0，即＜3，且

由题意应有，又

故

解得或

经检验，当时，△PQM不存在，故舍去；

当时，所求直线满足题意

综上，存在直线l，且直线l的方程为

点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．下载本文