一、选择题：以下每题只有一个正确的选项，请将答题卡上的正确选项涂黑，每小题3分，共36分．

1．如图所示几何体的俯视图是（　　）

A． ． ． ．

2．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）

A．12个 ．16个 ．20个 ．25个

3．1m长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长度为0.8m，同一时刻，某电视塔的影子长度为100m，则该电视塔的高度为（　　）

A．150m ．125m ．120m ．80m

4．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（　　）

A．12 ．14 ．12或14 ．以上都不对

5．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（　　）

A． ． ． ．

6．下列命题中，错误的是（　　）

A．三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等

B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形

C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形

7．某旅游景点年六月份共接待游客25万人次，八月份共接待游客万人次，设六至八月每月游客人次的平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．25（1+x）2= ．25（1﹣x）2= ．（1+x）2=25 ．（1﹣x）2=25

8．一元二次方程ax2+x﹣2=0有两个不相等实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a ．a= ．a且a≠0 ．a且a≠0

9．将抛物线y=﹣5x2+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）

A．y=﹣5（x+3）2﹣2 ．y=﹣5（x+3）2﹣1 ．y=﹣5（x﹣3）2﹣2 ．y=﹣5（x﹣3）2﹣1

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则tan∠ACD的值为（　　）

A． ． ． ．

11．如图，已知A是双曲线y=（x＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y=﹣（x＜0）于点B，若OA⊥OB，则的值为（　　）

A． ． ． ．

12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：

①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＜0；④16a+4b+c＞0．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 ．2个 ．3个 ．4个

二、填空题：本大题共4小题，每题3分，共12分，请将答案填入答题卡指定位置上．

13．方程4x（2x+1）=3（2x+1）的解为　　　　　　．

14．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为　　　　　　．

15．如图，直线y=x﹣1与坐标轴交于A、B两点，点P是曲线y=（x＞0）上一点，若△PAB是以∠APB=90°的等腰三角形，则k=　　　　　　．

16．如图：是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20（即n=20）根时，需要的火柴棍总数为　　　　　　根．

三、解答题：共52分．

17．计算：|tan60°﹣2|+0﹣（﹣）﹣2+．

18．如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．

（1）小红从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；

（2）小明从这四张纸牌中随机摸出两张，用树状图或表格法，求摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的概率．

19．某中学届九年级学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度，如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进20米到达点D，又测得点A的仰角为45°，请根据这些数据，求这幢教学楼的高度．（最后结果精确到1米，参考数据≈1.732）

20．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

（1）求证：AB=DF；

（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．

21．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是反比例函数y=的图象和一次函数y=ax+b的图象的两个交点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）根据图象直接写出不等式ax+b﹣＜0的解集．

22．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，所有房间刚好可以住满，根据经验发现，每个房间的定价每增加10元，就会有1个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间支出每天20元的各种费用．设每个房间的定价增加x元，每天的入住量为y个，客房部每天的利润为w元．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）求w与x的函数关系式，并求客房部每天的最大利润是多少？

（3）当x为何值时，客房部每天的利润不低于14000元？

23．如图①，已知二次函数y=﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．

（1）求△ABC的面积．

（2）点M在OB边上以每秒1个单位的速度从点O向点B运动，点N在BC边上以每秒个单位得速度从点B向点C运动，两个点同时开始运动，同时停止．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形与△BOC相似？

（3）如图②，点P为抛物线上的动点，点Q为对称轴上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、B为顶点的四边形是平行四变形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

届九年级上学期期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：以下每题只有一个正确的选项，请将答题卡上的正确选项涂黑，每小题3分，共36分．

1．如图所示几何体的俯视图是（　　）

A． ． ． ．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

【解答】解：从上面看中间是一个正方形，左右各一个矩形，

故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．

2．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）

A．12个 ．16个 ．20个 ．25个

【考点】利用频率估计概率．

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．

【解答】解：设盒子中有红球x个，由题意可得：=0.2，

解得：x=16，

故选B．

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系．

3．1m长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长度为0.8m，同一时刻，某电视塔的影子长度为100m，则该电视塔的高度为（　　）

A．150m ．125m ．120m ．80m

【考点】相似三角形的应用．

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．

【解答】解：设电视塔的高度应是x，根据题意得：=，

解得：x=125，

故选：B．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似比，列出方程，通过解方程求出电视塔的高度，体现了方程的思想．

4．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（　　）

A．12 ．14 ．12或14 ．以上都不对

【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

【分析】首先利用因式分解法求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．

【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0，

得x1=5，x2=7，

即第三边的边长为5或7．

∵三角形两边的长是3和4，

∴1＜第三边的边长＜7，

∴第三边的边长为5，

∴这个三角形的周长是3+4+5=12．

故选A．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

5．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（　　）

A． ． ． ．

【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义．

【专题】压轴题；网格型．

【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．

【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，

∴cos∠B==．

故选B．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出与角B有关的直角三角形．

6．下列命题中，错误的是（　　）

A．三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等

B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形

C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形

【考点】命题与定理．

【分析】根据三角形外心的性质对A进行判断；根据平行四边形的判定方法对B进行判断；根据矩形的判定方法对C进行判断；根据三角形中位线性质和菱形的性质对D进行判断．

【解答】解：A、三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，所以A选项为真命题；

B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以B选项为真命题；

C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以C选项为真命题；

D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以D选项为假命题．

故选D．

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

7．某旅游景点年六月份共接待游客25万人次，八月份共接待游客万人次，设六至八月每月游客人次的平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．25（1+x）2= ．25（1﹣x）2= ．（1+x）2=25 ．（1﹣x）2=25

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】本题依题意可知七月份的人数=25（1+x），则八月份的人数为：25（1+x）（1+x）．再令25（1+x）（1+x）=，即可得出答案．

【解答】解：设六至八月每月游客人次的平均增长率为x，依题意得

25（1+x）2=．

故选A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用+，减少用﹣．

8．一元二次方程ax2+x﹣2=0有两个不相等实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a ．a= ．a且a≠0 ．a且a≠0

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【分析】根据已知得出b2﹣4ac=12﹣4a•（﹣2）＞0，求出即可．

【解答】解：∵一元二次方程ax2+x﹣2=0有两个不相等实数根，

∴b2﹣4ac=12﹣4a•（﹣2）＞0，

解得：a＞﹣且a≠0，

故选C．

【点评】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的根的判别式是b2﹣4ac，当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．

9．将抛物线y=﹣5x2+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）

A．y=﹣5（x+3）2﹣2 ．y=﹣5（x+3）2﹣1 ．y=﹣5（x﹣3）2﹣2 ．y=﹣5（x﹣3）2﹣1

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．

【解答】解：把抛物线y=﹣5x2+1向左平移3个单位得到抛物线y=﹣5（x+3）2+1的图象，

再向下平移2个单位得到抛物线y=﹣5（x+3）2+1﹣2的图象，即y=﹣5（x+3）2﹣1．

故选B．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则tan∠ACD的值为（　　）

A． ． ． ．

【考点】解直角三角形．

【分析】根据在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，可以得到∠B与∠ACD的关系，由AC=4，BC=3，可以求得∠B的正切值，从而可以得到∠ACD的正切值．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

∴∠CDA=90°，∠A+∠B=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴∠B=∠ACD，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，tanB=，

∴tanB=，

∴tan∠ACD=，

故选A．

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出与所求角相等的角，然后根据相等的角的正切值相等，进行等量代换解答本题．

11．如图，已知A是双曲线y=（x＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y=﹣（x＜0）于点B，若OA⊥OB，则的值为（　　）

A． ． ． ．

【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】首先根据A、B点所在位置设出A、B两点的坐标，再利用勾股定理表示出AO2，BO2以及AB的长，再表示出，进而可得到．

【解答】解：∵A点在双曲线y=（x＞0）上一点，

∴设A（，m），

∵AB∥x轴，B在双曲线y=﹣（x＜0）上，

∴设B（﹣，m），

∴OA2=+m2，BO2=+m2，

∵OA⊥OB，

∴OA2+BO2=AB2，

∴+m2++m2=（+）2，

∴m2=，

∴===，

∴=，

故选C．

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及勾股定理的应用，关键是表示出A、B两点的坐标．

12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：

①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＜0；④16a+4b+c＞0．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 ．2个 ．3个 ．4个

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；

由抛物线与x轴有两个交点判断即可；

由抛物线的对称轴为直线x=1，可得b=﹣2a，然后把x=﹣1代入方程即可求得相应的y的符号；

根据对称轴和图可知，抛物线与x轴的另一交点在3和4之间，所以当x=4时，y＞0，即可得16a+4b+c＞0．

【解答】解：由开口向上，可得a＞0，又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；

由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；

由抛物线的对称轴为直线x=1，可得b=﹣2a，再由当x=﹣1时y＜0，即a﹣b+c＜0，3a+c＜0，故③正确；

根据对称轴和图可知，抛物线与x轴的另一交点在3和4之间，所以当x=4时，y＞0，即可得16a+4b+c＞0，故④正确，

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

二、填空题：本大题共4小题，每题3分，共12分，请将答案填入答题卡指定位置上．

13．方程4x（2x+1）=3（2x+1）的解为　x1=﹣，x2=　．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【专题】计算题．

【分析】先进行移项得到4x（2x+1）﹣3（2x+1）=0，再把方程左边分解得到（2x+1）（4x﹣3）=0，则方程转化为2x+1=0或4x﹣3=0，然后解两个一次方程即可．

【解答】解：移项得4x（2x+1）﹣3（2x+1）=0，

∴（2x+1）（4x﹣3）=0，

∴2x+1=0或4x﹣3=0，

∴x1=﹣，x2=．

故答案为x1=﹣，x2=．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．

14．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为　2　．

【考点】含30度角的直角三角形．

【专题】计算题．

【分析】过P作PE垂直与OB，由∠AOP=∠BOP，PD垂直于OA，利用角平分线定理得到PE=PD，由PC与OA平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，又OP为角平分线得到一对角相等，等量代换可得∠COP=∠CPO，又∠ECP为三角形COP的外角，利用三角形外角的性质求出∠ECP=30°，在直角三角形ECP中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边PC的长求出PE的长，即为PD的长．

【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，

∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE，

∵PC∥OA，

∴∠CPO=∠POD，

又∠AOP=∠BOP=15°，

∴∠CPO=∠BOP=15°，

又∠ECP为△OCP的外角，

∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，

在直角三角形CEP中，∠ECP=30°，PC=4，

∴PE=PC=2，

则PD=PE=2．

故答案为：2．

【点评】此题考查了含30°角直角三角形的性质，角平分线定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．同时注意辅助线的作法．

15．如图，直线y=x﹣1与坐标轴交于A、B两点，点P是曲线y=（x＞0）上一点，若△PAB是以∠APB=90°的等腰三角形，则k=　4　．

【考点】全等三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得AD=BC，DP=CP，根据AD=BC，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据待定系数法，可得函数解析式．

【解答】解：作PC⊥x轴，PD⊥y轴，

如图，

∴∠COD=∠ODM=∠OCM=90°，

∴四边形OCPD是矩形．

在△APD和△BPC中，

，

∴△APD≌△BPC（AAS），

∴AD=BC，DP=CP，

∴四边形OCPD是正方形，

∴OC=OD，

∵OA=1，OB=5，

设OD=x，

则AD=x+1，BC=5﹣x，

∵AD=BC，

∴x+1=5﹣x，

解得：x=2，

即OD=OC=2，

∴点P的坐标为：（2，2），

∴k=xy=4，

故答案为：4．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出AD=BC是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式．

16．如图：是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20（即n=20）根时，需要的火柴棍总数为　630　根．

【考点】规律型：图形的变化类．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，按规律求解．

【解答】解：n=1时，有1个三角形，需要火柴的根数为：3×1；

n=2时，有3个三角形，需要火柴的根数为：3×（1+2）；

n=3时，有6个三角形，需要火柴的根数为：3×（1+2+3）；

…；

n=20时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3+4+…+20）=630．

故答案为：630．

【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，本题的关键是弄清到底有几个小三角形．

三、解答题：共52分．

17．计算：|tan60°﹣2|+0﹣（﹣）﹣2+．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题；实数．

【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用二次根式性质化简即可得到结果．

【解答】解：原式=2﹣+1﹣9+3

=﹣3﹣．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．

（1）小红从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；

（2）小明从这四张纸牌中随机摸出两张，用树状图或表格法，求摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的概率．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．

（2）首先画出树状图或列表列出可能的情况，再根据中心对称图形的概念可知，当摸出圆和平行四边形时为中心对称图形，除以总情况数即可．

【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有2种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是；

（2）列表得：

∴P（两张都是中心对称图形）==．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19．某中学届九年级学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度，如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进20米到达点D，又测得点A的仰角为45°，请根据这些数据，求这幢教学楼的高度．（最后结果精确到1米，参考数据≈1.732）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=BC﹣BD=60构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．

【解答】解：由已知，可得：∠ACB=30°，∠ADB=45°，

∴在Rt△ABD中，BD=AB．

又在Rt△ABC中，

∵tan30°==，

∴=，即BC=AB．

∵BC=CD+BD，

∴AB=CD+AB，

即（﹣1）AB=20，

∴AB=10（+1）≈27米．

答：教学楼的高度为27米．

【点评】本题考查了仰角与俯角的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

20．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

（1）求证：AB=DF；

（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA；然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF；

（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．

【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，

∴∠DAF=∠AEB．

∵DF⊥AE，AE=BC，

∴∠AFD=90°，AE=AD．

∴△ABE≌△DFA；

∴AB=DF；

（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．

∴AB=DF=6．

在Rt△ADF中，AF=，

∴EF=AE﹣AF=AD﹣AF=2．

∴tan∠EDF==．

【点评】本题综合考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；运用全等三角形的性质求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．

21．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是反比例函数y=的图象和一次函数y=ax+b的图象的两个交点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）根据图象直接写出不等式ax+b﹣＜0的解集．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）先把B（2，﹣4）代入y=得到k=﹣8，再把A（﹣4，n）代入y=﹣可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；

（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；

（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，即使ax+b﹣＜0．

【解答】解：（1）把B（2，﹣4）代入y=的得m=2×（﹣4）=﹣8，

所以反比例函数解析式为y=﹣，

把A（﹣4，n）代入y=﹣得﹣4n=﹣8，解得n=2，

把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b得，

解得．

所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；

（2）直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），

S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；

（3）不等式kx+b﹣＜0的解集为﹣4＜x＜0或x＞2；

故答案为：﹣4＜x＜0或x＞2．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式．

22．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，所有房间刚好可以住满，根据经验发现，每个房间的定价每增加10元，就会有1个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间支出每天20元的各种费用．设每个房间的定价增加x元，每天的入住量为y个，客房部每天的利润为w元．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）求w与x的函数关系式，并求客房部每天的最大利润是多少？

（3）当x为何值时，客房部每天的利润不低于14000元？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；

（2）支出费用为20×（60﹣），则利润w=（60﹣）﹣20×（60﹣），利用配方法化简可求最大值；

（3）根据题意列方程即可得到结论．

【解答】解：（1）由题意得：y=60﹣；

（2）w=（60﹣）﹣20×（60﹣）=﹣x2+42x+10800

∵w=﹣x2+42x+10800=﹣（x﹣210）2+15210，

∴当x=210时，w有最大值，且最大值是15210元；

（3）当W=14000时，即﹣（x﹣210）2+15210=14000，

解得：x1=100，x2=320，

故当100≤x≤320时，每天的利润不低于14000元．

【点评】此题考查二次函数的应用，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．

23．如图①，已知二次函数y=﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．

（1）求△ABC的面积．

（2）点M在OB边上以每秒1个单位的速度从点O向点B运动，点N在BC边上以每秒个单位得速度从点B向点C运动，两个点同时开始运动，同时停止．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形与△BOC相似？

（3）如图②，点P为抛物线上的动点，点Q为对称轴上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、B为顶点的四边形是平行四变形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；

（2）根据两角相等的两个三角形相似，可得△BMN与△BOC的关系，根据相似三角形的性质，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；

（3）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得①BQ=PC或②BC=PQ；根据BQ∥PC，BQ=PC，可得P点坐标；根据PQ=BC，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．

【解答】解：（1）当x=0时，y=3，即C（0，3），

当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1，x=3，即A（﹣1，0），B（3，0）；

S△ABC=AB•OC=×[3﹣（﹣1）]×3=6；

（2）若∠BMN=90°，如图1：，

BM=（3﹣t），BN=t，BC==3，

△BMN∽△BOC，

=，即=．

t=（3﹣t），解得t=；

若∠BNM=90°时，如图2：，

BM=（3﹣t），BN=t，BC==3，

△BMN∽△BCO，

=，即=，

3﹣t=×t，解得t=1；

综上所述：t=1或t=；

（3）如图3：，

若CB为对角线，即CP∥QB，CP1=Q1B=3﹣1=2，y=yC=3，

P1（2，3）；

CB为边，即CB∥PQ，CB=PQ，

设P（a，b），D（1，b），Q（1，a+b﹣1）．

PQ=CB，即（a﹣1）2+（1﹣a）2=18，

化简，得

a2﹣2a﹣8=0．

解得a=﹣2或a=4．

当a=﹣2时，b=﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3=﹣5，

即P2（﹣2，﹣5）；

当a=4时，b=﹣42+2×4+3=﹣5，

即P3（4，﹣5）；

综上所述：P1（2，3），P2（﹣2，﹣5），P3（4，﹣5）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用自变量与函数值的对应关系得出A、B、C的坐标是解题关键；（2）利用相似三角形的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；（3）利用平行四边形的对边相等得出关于a的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．

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