初  赛  试  卷

（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月20日8：30——10：30）

在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母

代号填写在下表相应题号下的方格内

 A. － B. C. ± D. ||

2．如果是完全平方式，则的值为

 A．－1B．1C．1或－1D. 1或－3

3. 如图1，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点.若想求出MN的长度，那么只需条件

A．AB＝1B．BC＝4

C．AM＝5D. CN＝2

4．在平面直角坐标系内，已知A(3，－3)，点P是轴上一点，则使△AOP为等腰三角形的点P共有

 A．2个 B．3个 C．4个 D. 5个

5．已知关于的方程无解，那么的值是

A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数

6．一次函数的图像经过点M(－1，－2)，则其图像与轴的交点是

A．（0，－1） B．（1，0） C．（0，0） D．（0，1）

7．如图2，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE(∠ACE＜120°)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是

A．钝角三角形

B．直角三角形

C．等边三角形

D．非等腰三角形

8．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.

A．这组数据的中位数是40，众数是3B．这组数据的中位数与众数一定相等

C．这组数据的平均数P满足39＜P＜4D．以上说法都不对

9．如图3，A、B是函数图像上两点，

点C、D、E、F分别在坐标轴上，且与点A、B、O

构成正方形和长方形. 若正方形OCAD的面积为6，

则长方形OEBF的面积是

A.B. 6C.D. 12

10. 某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称

A．4次 B．5次 C．6次 D. 7次

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）

11．如果不等式组无解，则a的取值范围是____________．

12．已知，，则_________．

13．如图4，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，

若cosB，EC＝2，P是AB边上的一个动点，则线段

PE的长度的最小值是__________．

14．小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、布、锤子”的方式确定.那么在一个回合中三个人都出“布”的概率是_________．

15．已知、为实数，且，，设，，则的值等于________．

16. 如图5，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△CDE的面积为_________．

17. 一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如图6所示，要摆成这样的图形，至少需用______块小正方体

18. 若直线（为实数）与函数的图象至少有三个公共点，则实数的取值范围是_________．

三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)

19. 某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？

20. 如图7，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC边于点E．

（1）求证： AF＝DF＋BE．

（2）设DF＝（0≤≤1），△ADF与△ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时的值及S. 若不存在，请说明理由．

2008年全国初中数学竞赛（海南赛区）

初赛试卷参

一、1. D D A C D A C C B B

二、11. a≤1 －1   13. 4.8   14. －1 ＜b≤1

解答提示：

1．∵ 当＜0时，＝||＝－. 故选D．

2．，解得或.  故选D．

3.，∴只要已知AB即可.故选A．

4. 分别以点A、O、P三点为等腰三角形的顶点三种情况考虑．

5. 关于x的方程无解，则. ∴有或者a、b异号，故选D．

6. ∵一次函数的图像经过点M(－1，－2)，则有，解得.所以函数解析式为.令代入得.故其图像与y轴的交点是(0，－1).故选A．

7.易得△ACD≌△BCE.所以△BCE可以看成是△ACD绕着点C顺时针旋转60°而得到的.又M为线段AD中点，P为线段BE中点，故CP就是CM绕着点C顺时针旋转60°而得.所以CP＝CM且，∠PCM＝60°，故△CPM是等边三角形，选C．

8.（1）由中位数及众数的意义以及表格可知当这组数据的中位数是40时，众数必然是40，所以A错误.（2）当39码与40码的人数都是5时，中位数与众数不等，所以B错误.（3）假设剩余10人全部穿39码鞋，可得平均数为39.35；假设剩余10人全部穿40码鞋，可得平均数为39.85.可以判断C正确.（或者设穿39码鞋的有人，且由0≤≤10也可得解）  故选C．

9. ∵，

∴ ，故选B．

10.拿出任意三袋，假设它们的重量分别为x千克、y千克、z千克，两两一称，记录下相应的重量，若分别等于a千克、b千克、c千克，则有方程组容易求出x、y、z；另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量.所以需要称5次，故选B．

11．解不等式组  得，因为原不等式组无解，所以必有a≤1．

12．∵，又，则

∴，解得.  故．

13. 设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，

又EC＝2，所以BE＝x－2，因为AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，

cosB，又cosB，于是，解得x ＝10，即AB＝10．

所以易求BE＝8，AE＝6，当EP⊥AB时，PE取得最小值．

故由三角形面积公式有： AB·PE＝BE·AE，求得PE的最小值为4.8 ．

14．用树状图列出一个回合中三个人所出手势的各种结果．

上面只画出树状图的一部分（列出9种结果），把图中小丁的“剪”改为“布”重复上述画法，可再列出9种结果，最后改为“锤”同样也列出9种结果，所以共有27种结果，故求得P（布，布，布）＝

15．∵，，

∴．

∴＝0．

16. 如图，连结AE、BD，作DF⊥EC于点F．

∵ AB是⊙O的直径 ，∴ ∠ADB＝∠AEB＝90°

又∵ AB＝AC，∴CE＝BC＝1，∴ AE＝

∵，∴ BD＝，

∴ 在△ABD中，AD＝，∴ CD＝

又∵△CDF∽△CAE，∴，可求得DF＝. ∴ △CDE的面积为．

解法2：如图，连结AE、BD，DE.∵ AB是⊙O的直径 ，∴ ∠ADB＝∠AEB＝90°

又∵ AB＝AC，∴ BE＝CE＝1，∴ AE＝．

∵，∴ BD＝，

∴ 在△ABD中，AD＝，∴ CD＝．

∴ S△CDE＝S△BDC ＝．

17.小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为5块．

18. y＝2－4＋3＝(－2)2－1， 此函数的大致图象如图①所示，因些函数y＝|2－4＋3|的图象如图②所示，而当b取遍所有实数时，y＝b表示所有与y轴垂直的直线，结合①②，易知b的取值范围为0＜b≤1．

三、19．因为100×0.9＝90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8，所以有两种情况：

设小美第二次购物的原价为x元，则（x－300）×0.8＋300×0.9＝282.8解得，x＝316

情况1： 小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元

则小丽应付（316＋94.5－300）×0.8＋300×0.9＝358.4（元）

情况2： 小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元；

则第一次购物原价为：94.5÷0.9＝105（元）

所以小丽应付（316＋105－300）×0.8＋300×0.9＝362.8（元）．

20．（1）证明： 如图，延长CB至点G，使得BG＝DF，连结AG. 因为ABCD是正方形，所以在Rt△ADF和Rt△ABG中，AD＝AB，∠ADF＝∠ABG＝90°，DF＝BG．

∴ Rt△ADF≌Rt△ABG（SAS），∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG. 又 ∵ AE是∠BAF的平分线

∴∠EAF＝∠BAE， ∴ ∠DAF＋∠EAF＝∠BAG＋∠BAE  即∠EAD＝∠GAE．

∵ AD∥BC，∴∠GEA＝∠EAD，∴∠GEA＝∠GAE，∴ AG＝GE. 即AG＝BG＋BE.∴ AF＝DF＋BE，得证．

（2）

∵ AD＝AB＝1， ∴

由（1）知，AF＝DF＋BE， 所以．

在Rt△ADF中，AD＝1，DF＝x， ∴，∴．

由上式可知，当x 2达到最大值时，S最大.而0≤x≤1，

所以，当x＝1时，S最大值为．下载本文