考点一:集合

(一)知识清单

1. 集合的含义及其关系

1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;

2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；

3.集合中元素与集合的关系：

3：集合的基本运算

1.两个集合的交集:= ;

2.两个集合的并集: =;

3.设全集是U,集合,则

4：方法指导

1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.

2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.

3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.

4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.

5.强化数形结合、分类讨论的数学思想.

(二)典型例题分析

题型一：集合的概念

例1、已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有(     )

A. 3个      B. 2个       C. 1个     D. 无穷多个

变式:下面四个命题正确的是(    )

（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7}　　

（B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}

（C）0与{0}表示同一个集合　

（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}

题型二：集合的性质

例2、集合,,若,则的值为 (    )

A.0          B.1           C.2           D.4

例3、

例3.设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x 2+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为    （    ）

A．{2}     B．{3}     C．{－3，2}     D．{－2，3} 

例4、已知全集，A={1, }如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由

题型三：集合的运算

例5、已知集合,则 (   )

  A.        B.       C.           D.

例6、已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B

（1）求集合A、B   （2）若AB=B,求实数的取值范围．

题型四：图解法解集合问题

例7、已知集合M=，N=，则（  ）                                                  

A．                                      B．      

C．                                   D．

变式1.已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为（   ）.      

A.4           B.3          C.2          D.1

变式2. 设集合，，则的子集的个数是（     ）

A．4          B．3         C．2         D．1 

例8、设集合，,求实数m的取值范围.

题型五：创新题型

例10.设A、B是非空集合，定义，已知A=，B=，则A×B等于（   ）

A．；B．；C．；D．

例11.对于复数，，，，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，等于（　　）

．　． ． ．

考点二:常用逻辑用语

(一)知识清单

(二)

知识体系总览

1.命题的四种形式与相互关系

原命题：若P则q；

逆命题：若q则p；

否命题：若┑P则┑q；

逆否命题：若┑q则┑p

原命题与逆否命题互为逆否，同真假；

逆命题与否命题互为逆否，同真假；

2.充分条件和必要条件

若，则是的充分条件，是的必要条件；

         若，则是的充要条件。

3.逻辑联结词“非”、“且”和“或”

 (1)“非p” ┐p形式的复合命题真假：

当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真．

(2)“p且q” p∧q形式的复合命题真假：

当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假.

(3)“p或q” p∨q形式的复合命题真假：

当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假.

4.全称量词与存在量词

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。

一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为： xM,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

(三)典型例题分析

题型一：命题及其关系、充分条件与必要条件

例12.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

例13.命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(　　)

A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

例14.“”是“”的(     )

A．充分不必要条件                   B.必要不充分条件 

C．充分必要条件                     D.既不充分也不必要条件

例15.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（    ）

A.充分而不必要条件            B.必要而不充分条件  

C.充要条件                    D.既不充分也不必要条件

变式3:设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的        条件.

变式4:若集合A={1，m2}，集合B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的     条件. 

题型二：逻辑联结词、全称量词与存在量词

例16.已知命题p: x∈R，使tanx=1,命题q：x2-3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：

①命题“p∧q”是真命题； 

②命题“p∧”是假命题； 

③命题“”是真命题；

④命题“”是假命题.

其中正确的是          （填序号）.

例17.下列有关命题的说法正确的是                                (　　)

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”

B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件

C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”

D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题

例18.给定两个命题, ：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根.如果∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．下载本文