一、选择题（每小题6分，共48分）
1.已知集合，是的子集，且中各元素的和为8，则满足条件的子集共有（ ）
A．8个 B．7个 C ．6个 D．5个
答案：C．
解：元素和为8的子集有：，共6个．
2.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
答案：B．
解：不等式组表示的平面区域是一个三角形的内部（包括边界），其中三个顶点的坐标分别是易知，△的面积
3.设是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
答案：A．
解：方法1：因为，所有
设向量与的夹角为，则
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为
方法2：依题意，不妨设，则
故当时，取得最大值，最大值为
4.从这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：D．
解：从这20个数中任取3个数，不同的取法共有种．若取出的3 个数成等差数列，则，所以、同为奇数，或同为偶数，且、确定后，随之而定．
故所求的概率为
5. 是抛物线上关于直线对称的相异两点，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C．
解：方法1：因为点、关于直线对称，所以
设直线的方程为，代入，得……①
由，得
设，的中点为，则从而，
又点在直线上，所以即
将代入①，得．解得
所以故
6.如图，在棱长为1的正四面体中，为△的重心，是线段的中点，则四棱锥-的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，连结．因为为正△的重心，所以平面，从而
而在△中，，则
于是，在△中，从而所以所以
同理所以三棱锥-的外接球的直径等于以、、为棱的正方体的对角线的长．设三棱锥-的外接球半径为，则故外接球的表面积
7.设函数（均为非零整数）．
若，则的值是（ ）
A． B． C．
答案：D．
解：设，则由，得
所以、为方程的两个根，则
消去，得
因为为整数，所以，即（舍去）或．故
8.设非负实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A．
解：不妨设，由均值不等式，得
当且仅当且时，等号成立．
又，所以
由，得
故当、、中有两个为2，一个为0时，取得最小值
二、填空题（每小题8分，共32分）
9.设数列中，，且任意连续三项的和都是15，则 ．
答案：5．
解：依题意，对任意，
所以，
从而，
故
10.设均为正整数，且满足，则的最小值是 ．
答案：54.
解：由，得的最小值为
11.设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
答案：
解：因为 ①
所以即 ②
由①、②得
由，得 ③
令，则由，得，且
所以由③得对恒成立．
因为函数在上单调递增，所以当时，
所以，即
12.设，则函数的最小值为 ．
答案：1．
解：
当且仅当，即时，等号成立．
故
第二试
一、（本题满分20分）设均为非零实数，且满足
（1）求的值；（2）在△中，若，求的最大值．
解：（1）由已知得
令，则，即
所以，即
故
（2）由（1）得
因为，所以．从而，，则
所以
当，即时，取得最大值
二、（本题满分20分）已知直线，动圆，菱形的一个内角为，顶点在直线上，顶点在圆上，当变化时，求菱形面积的取值范围．
解：因为菱形有一个角为，所以 △或△为等边三角形，不妨设△为等边三角形，如图所示．
因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离．
设直线的方程为，则直线与的距离为
又圆心到直线的距离为，所以
由，得
化简得
因为，所以
解得，或
又
因为函数在和上分别单调递减，所以菱形的面积的取值范围为
三、（本题满分20分）如图，圆与圆相交于两点，圆的弦与圆相切，圆的弦与圆相切，直线与△的外接圆交于另一点．求证：
证法1：如图，连结，分别交、于点、，则，且为
的中点．连结、、、、、．
因为与圆相切，所以
又为圆与圆的公切线，所以
所以
同理，
所以四边形为平行四边形．从而，为的中点．
又为的中点，所以，即
因为，所以，即
又，故为的中点，即
证法2：如图，连结、、、．因为与圆相切，与圆相切，所
以
所以△∽△，
所以即
又
所以△∽△
同理，△∽△
所以△∽△
所以，即
故，即
四、（本题满分30分）设函数，且的最小值为0．
（1）求的值；（2）已知数列满足，设
，其中表示不超过的最大整数．求
解：（1）
当时，，则在上单调递增，无最小值，不合题意．
当时，若，则；若，则．所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以
设，则
若，则；若，则．所以函数在上单调递增，在上单调递减．
所以，当且仅当时，等号成立．
图当时，取得最小值0.
（2）由（1）知，，所以由得，从而，因为，所以
下面用数学归纳法证明：当时，
（Ⅰ）当时，结论已成立．
（Ⅱ）假设当时，．那么，当时，有
由（1）知，在上单调递增．
所以，即
因为，所以，即
即当时，结论也成立．
由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，对一切整数，都有
所以
故
五、（本题满分30分）设为正实数，且满足，对任意整数，证明：
证法1：不妨设，则
由切比雪夫不等式，得
又由幂平均不等式，得
所以
所以
于是，
由已知及均值不等式，得
故
证法2：令，则，由幂级数展开式，得
其中，
同理，
所以
注1：切比雪夫不等式 设为任意两组实数，若且或且，则
（*）
若且或且，则
（**）
当且仅当或时，（*）和（**）中的等号成立．
注2：幂平均不等式 若，且，，则下载本文
