1．已知在实数域R上可导的函数对任意实数都有若存在实数，使，
求证：（1）；（2）上是单调函数
证明：（1）
又,
（2）
即
在R上是单调递增函数.
2．已知抛物线C的方程为为焦点，直线与C交于A、B两点，P为AB的中点，直线过P、F点。
（1）求直线的斜率关于的解析式，并指出定义域；
（2）求函数的反函数；（3）求与的夹角的取值范围。
（4）解不等式。
解：（1）
（2）
（3）
（4），∴原不等式为
当时，；当时，，显然，时，；当时，。
3．已知二次函数有最大值且最大值为正实数，集合，集合.
（1）求和；
（2）定义与的差集：且.设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的三组值，使，，并分别写出所有满足上述条件的（从大到小）、（从小到大）依次构成的数列{}、{}的通项公式（不必证明）；
（3）若函数中，，
（理）设、是方程的两个根，判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。
（文）写出的最大值，并判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）∵有最大值，∴.配方得，由.∴，。
（2）要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素，中有1个元素.则.②中有6个元素，中有4个元素，中有2个元素。则.③中有9个元素,中有6个元素,中有3个元素.则..
（3）（理），得.
，
∵，当且仅当时等号成立.
∴在上单调递增。.又，故没有最小值。
（文）∵单调递增，
∴，又，∴没有最大值。
4．已知函数是奇函数。
(1)求m的值；
（2）判断在区间上的单调性并加以证明；
（3）当时，的值域是，求的值.
解:（1）m=－1
（2）由（1），
任取，
.
.
上是减函数；
当0 而a>1，∴上式化为① 又∴当x>1时，.当. 因而，欲使的值域是，必须，所以对不等式①，当且仅当时成立. . 5．|AB|=|xB-xA|表示数轴上A、B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算。这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p(x,y)叫做x,y之间的距离：条件一，非负性p(x,y)≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p(x,y)=p(y,x);条件三，三角不等式p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z). 试确定运算s(x,y)=是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例。 解：要说明s(x,y)是否为距离，只要验证它是否满足三条即可 s(x,y)=≥0等号成立当且仅当|x-y|=0,即x=y ，第一条满足 s(x,y)= = =s(y,x) ，第二条也满足 s(x,z)=∵函数f(x)= =1- (或)在x>0上单调增，且|x-z|≤|x-y|+|y-z|(8分）∴s(x,z)≤= +≤+=s(x,y)+s(y,z) （10分） 总之，s(x,y)是距离 6．已知曲线相交于点A，以其上一动点P（x0,y0）为切点的直线l与y轴相交于Q点.（Ⅰ）求直线l的方程，并用x0表示Q点的坐标； （Ⅱ）求 (Ⅰ）解： （Ⅱ）由正弦定理得： 7．设、为常数，：把平面上任意一点（，）映射为函数（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当时，，这里t为常数； （3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？ 答案：（1）假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，即与相同， 即对一切实数x均成立。特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立. 故不存在两个不同点对应同函数。 （2）当时，可得常数a0，b0，使 由于为常数，设是常数. 从而。 （3）设，由此得 （，） 在映射F下，的原象是（m，n），则M1的原象是 消去t得，即在映射F下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆。 8．试构造一个函数，使得对一切有恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是 9．设A∪B∪C=,且A∩B=,符合此条件的(A,B,C)共有(注:A,B,C顺序不同为不同组) (A) A.500组 B.75组 C.972组 D.125组 10．电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案.这两种方案应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）(.注：图中MN∥CD)试问： （I）若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？ （II）方案B从500分钟后，每分钟收费多少元？ （III）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？ 解：设这两种方案的应付话费与通话时间的函数 关系分别为则由已知及图象可得 （I）通话时间2小时，按方案A，B各付话费116元和168元； （II）因为，所以方案B从500分钟后，每分钟收费0.3元； （III）由图象知，当时，由 可得 即当通话时间在（，方案B比方案A优惠. 11、(04河南)若求函数的单调区间. 解： （I）当a=0时，若x<0，则<0，若x>0,则>0.所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II）当 由 所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数； （III）当a<0时，由2x+ax2>0，解得0 所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数. 12、(04河南文)已知在上是减函数，求的取值范围. 解： （Ⅰ）当（）时，是减函数. 所以，当是减函数； （II）当时， = 由函数在R上的单调性，可知 当时，）是减函数； （Ⅲ）当时，在R上存在一个区间，其上有 所以，当时，函数不是减函数. 综上，所求的取值范围是（ 13、若函数在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,＋∞)上为增函数，试求实数的取值范围. 解：函数的导数 令，解得 为增函数. 依题意应有 当 所以 解得 所以a的取值范围是[5，7]. 14、已知函数,.(i)求函数的最大值； (ii)设,证明:. （Ⅰ）解：函数的定义域为. 令 当 当 又 故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0. （Ⅱ）证法一： 由（Ⅰ）结论知 由题设 因此 所以 又 综上 证法二：设 则 当 在此内为减函数. 当上为增函数. 从而，当有极小值 因此 即 设 则 当 因此上为减函数. 因为 即 15、求函数在[0,2]上的最小值. 解： 令 化简为 解得 当单调增加； 当单调减少. 所以为函数的极大值. 又因为 所以 为函数在[0，2]上的最小值，为函数 在[0，2]上的最大值. 16、已知函数在处取得极值. （1）讨论和是函数的极大值还是极小值； （2）过点作曲线的切线，求此切线方程. （1）解：，依题意，，即 解得。 ∴。 令，得。 若，则，故在上是增函数， 在上是增函数。 若，则，故在上是减函数。 所以，是极大值；是极小值。 （2）解：曲线方程为，点不在曲线上。 设切点为，则点M的坐标满足。 因，故切线的方程为 注意到点A（0，16）在切线上，有 化简得，解得。 所以，切点为，切线方程为。 17、10、已知函数是R上的奇函数，当时取得极值.（1）求的单调区间和极大值； （2）证明对任意，，不等式恒成立. （1）解：由奇函数的定义，应有， 即 ∴ 因此， 由条件为的极值，必有，故 解得， 因此，， 当时，，故在单调区间上是增函数 当时，，故在单调区间上是减函数 当时，，故在单调区间上是增函数 所以，在处取得极大值，极大值为 （2）解：由（1）知， 是减函数，且 在上的最大值 在上的最小值 所以，对任意的，，恒有 18、(04重庆)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本） 解：每月生产x吨时的利润为 ，故它就是最大值点，且最大值为： 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 19、14、已知在区间[-1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数的值组成的集合； （Ⅱ）设关于的方程的两个非零实根为.试问：是否存在实数，使得不等式对任意及[-1，1]恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）f＇(x)== ， ∵f(x)在[-1，1]上是增函数， ∴f＇(x)≥0对x∈[-1，1]恒成立， 即x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立. ① 设(x)=x2-ax-2， 方法一： (1)=1-a-2≤0， ① -1≤a≤1， (-1)=1+a-2≤0. ∵对x∈[-1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. 方法二： ≥0， <0， ① 或 (-1)=1+a-2≤0 (1)=1-a-2≤0 0≤a≤1 或 -1≤a≤0 -1≤a≤1. ∵对x∈[-1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. （Ⅱ）由=，得x2-ax-2=0， ∵△=a2+8>0 ∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根， x1+x2=a， ∴ 从而|x1-x2|==. x1x2=-2， ∵-1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3. 要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立， 当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立， 即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立. ② 设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2)， 方法一： g(-1)=m2-m-2≥0， ② g(1)=m2+m-2≥0， m≥2或m≤-2. 所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}. 方法二： 当m=0时，②显然不成立； 当m≠0时， m>0， m<0， ② 或 g(-1)=m2-m-2≥0 g(1)=m2+m-2≥0 m≥2或m≤-2. 所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}. 20、16、已知,函数的图象与函数的图象相切.(1)求与的关系式.(用表示) (2)设函数在内有极值点,求的取值范围. 解：（Ⅰ）依题意，令 （Ⅱ） 的变化如下： 综上所述，当且仅当 21、17、已知函数其中为自然对数的底数. (Ⅰ)讨论函数的单调性; (Ⅱ)求函数在区间[0,1]上的最大值. 解 (Ⅰ) （）当a=0时，令=0, 得x=0. 若x>0. 则>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增; 若x<0,则<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减. (当a<0时,令=0,得x(ax+2)=0,故x=0或 若x<0,则<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减. 若0 若x> 则<0.从而f(x)在(+∞)上单调递减. (Ⅱ) (当a=0时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=1. (当时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=. 当a≤-2时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是. 22、如图，已知曲线C1：=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于点O、A.直线x=t(0 （Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值. y=x3， 解：（Ⅰ）由 得交点O、A的坐标分别是 （0，0），（1，1）. y=-2x3+3x， f(t)=S△ABD+S△OBD=|BD|·|1-0|=|BD|= (-3t3+3t)， 即f(t)=- (t3-t)，(0 令f＇(t)=0 解得t=. 当0 当
于是不是函数的极值点.x x0 （ + 0 +
由此，的极小值点.x x1 （ + 0 — 0 +
