1．设,若,则a的值等于（ ）
A． B． C． D．
2. 在曲线上点P处的切线的倾斜角为，则点P坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A． B． C． D．
4．若函数的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数在区间[a,b]上的图象可能
是( )
A． B． C． D．
5．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分
的图形面积为，则导函数的图像大致为（ ）
6．与直线平行的抛物线的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（ ）
A． B．32 C．16 D．8
8．在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点
P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为____________.
9. 某质点的运动方程是，则在时的瞬时速度为____________.
10．已知：函数，经过点作函数图象的切线，求：切线的方程.
参：1．Ｄ 2．Ｂ3．Ａ 4．Ａ 5．Ａ6．Ｄ 7．Ａ8．（-2，15）9．－１
10．解析：（1）若A为切点，切线方程为；
（2）若A不是切点，,则
.
所以，，切线为
综上，所求为或
导数及其应用单元复习与巩固
知识网络
目标认知
考试大纲要求：1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念.
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；
3．掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.
4．能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的单调区间，极大值、极小值，及求闭区间上函数
的最大值、最小值.对多项式函数一般不超过三次.
5．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，了解定积分的概念和几何意义.直观了解微积分
基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分.
6．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题.
重点：
导数的概念及几何意义；用导数求函数的单调区间，极大值、极小值，及求闭区间上函数的最大值、最小值；正确计算定积分，利用定积分求面积.
难点：
复合函数的导数；利用导数判断函数单调性时有关字母讨论的问题；有关函数最值的实际应用问题的学习；将实际问题化归为定积分问题.
学习策略：
导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学，它为有效地解决一些传统的初等函数问题提供了一般的方法，如求曲线的切线方程，函数的单调区间、极值与最值以及有关的实际问题等，在具体问题中，应根据问题的具体条件适当选用方法。
知识要点梳理
知识点一： 导数的相关概念
1．导数的定义：
对函数，在点处给自变量x以增量Δx，函数y相应有增量.若极限存在，则此极限称为在点x0处的导数，记作或，此时也称在点x0处可导.
即：（或）
注意：增量△x可以是正数，也可以是负数.
2．导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况.
3．导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即.也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率是，切线方程为.
知识点二：导数的运算
1．常见基本函数的导数公式（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3）， （4），
（5）， （6），
（7），（8），
2．函数四则运算求导法则 设，均可导
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
3．复合函数的求导法则一般地，复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即或
知识点三：导数的应用
1、确定函数的单调区间
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则 当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；
当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数； 当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数. 注意：在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！
2、函数的极值 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x) (2)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)>f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作 y极小值=f(x0). 注意：极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 3、函数的最值 函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况.连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值. 注意：最值与极值的区别与联系： ①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数 的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念； ②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个； ③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内 部，也可能在区间的端点. ④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值. 知识点四：定积分 1．定积分的概念 如果函数在区间上连续，用分点将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式. 说明： （1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零； （2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 2．定积分的几何意义 设函数在区间上连续. 在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积； 在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形面积的负值； 在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号； 在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 3．定积分的性质 （1）（为常数）， （2）， （3）（其中）， （4）利用函数的奇偶性求积分： 若函数在区间上是奇函数，则； 若函数在区间上是偶函数，则. （5）基本公式：，， 知识点五：微积分基本定理 微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）: 如果在上连续，且，则。其中叫做的一个原函数. 注意： ①求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算. ②由于也是的原函数，其中c为常数. 知识点六：定积分的应用 1．应用定积分求曲边梯形的面积 （1）如图，由三条直线，，轴及一条曲线()围成的曲边梯 形的面积为S,则； （2）如图，由三条直线，，轴及一条曲线()围成的曲边梯形的面积为S,则； （3）如图，由曲线及直线，围成图形的面积为S,则. 2．利用定积分解决物力问题 ①变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即. ②变力作功 物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功. 规律方法指导 1、求曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程 （1）求出函数在处的导数； （2）利用直线的点斜式得切线方程. 注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程. 2、利用导数判断函数单调性的基本步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数； (3)在定义域内解不等式； (4)确定f(x)的单调区间. 3、求函数的极值的基本步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值. (最好通过列表法) 4、利用导数求区间[a，b]上函数y=f(x)的最大与最小值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数 ②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值 ③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 5、求定积分的方法： （1）用定义求定积分 步骤：①分割；②近似代替；③作和；④求极限。 （2）利用微积分基本公式求定积分 步骤： ①求的一个原函数； ②计算： 6、利用定积分求平面图形面积的一般步骤： ①画出草图，将其适当分割成若干个曲边梯形； ②选定积分变量，对每一个曲边梯形确定被积函数； ③求出交点坐标，确定每个被积函数的积分上、下限，用定积分表示其面积； ④计算各个定积分，求出所求的面积。 经典例题精析 类型一：导数的运算与导数的几何意义 1、已知点为曲线上一点，直线满足：（1）过点；（2）与曲线在点的切线垂直；（3）在轴的正半轴上的截距最小.求点. 思路点拨：首先设出点的坐标，再利用导数得切线的斜率，求出直线的方程，最后求出直线在轴上的截距最小时的点的坐标. 解析：设出点的坐标， ∵，∴， ∴直线的方程： 令，则直线在轴上的截距 ∵，∴， ∵ 令，即，得或（舍去） 列表： 举一反三：【变式1】已知曲线的一条切线与直线平行，求切线. 【答案】设切点， ∵切线与直线平行，∴， ∵，∴，解得， ∴切点，故切线：. 【变式2】在曲线C：上，求斜率最小的切线所对应的切点. 【答案】 ∴当时，取得最小值-13 又当时， ∴斜率最小的切线对应的切点为； 类型二：函数的单调性、极值、最值 2、设函数，求的单调区间和极值. 思路点拨：先对求导，令 ，再对字母进行讨论即可. 解析： 令得 即，解得或， （1）当时，，在上单调递减，没有极值； （2）当时，由得，由得或， ∴当或时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴，， ∴的递减区间为，；递增区间为； ，. （3）当时，由得，由得或， ∴当或时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴，， ∴的递减区间为，；递增区间为； ，. 举一反三：【变式1】已知函数 ，求证：函数在区间上为递增函数； 【答案】∵， 记（），则 ， ∵，∴，∴在上单调递增， ∵，∴当时， ∴当时，∴在上单调递增， 【变式2】是否存在正实数，使函数在上递减，在上递增，若存在，求出的值. 【答案】， 由题意知：当时，当时， ∴，即，解得或 ∵，∴ 验证：当时， ∴若，则；若， 则， 符合题意； 综上可知，存在使在上递减，在上递增. 【变式3】已知，讨论导数的极值点的个数. 【答案】 令，得 （1）当， 即或时，方程有两个不同的实根、，不防设， 于是，从而有下表： 为极大值 为极小值 （2）当即时，方程有两个相同的实根， 于是，故当时，；当时，， 因此无极值； （3）当即时，， 而， 故为增函数.此时无极值； ∴当时，有两个极值点；当时，无极值点. 3、已知函数（为实数） （1）若在处有极值，求的值； （2）若在上是增函数，求的取值范围. 思路点拨：函数在点处有极值的必要条件为；当在上是增函数时，在恒成立. 解析：（1）由已知得的定义域为， 由题设得 ，即，∴； （2）由题设知：对恒成立，即 对恒成立， ∵， ∴对恒成立， 即对恒成立， 令，则恒成立 （Ⅰ）当时，不符合； （Ⅱ）当时，抛物线开口向下，对称轴为， ∴，即，解得； （Ⅲ）当时，抛物线开口向上，对称轴为， ∴，即，解得，这与矛盾； 综上可知：所求的取值范围为. 总结升华：1．注意到可导函数在点处有极值的必要条件为，利用这一必要条件切入讨论，在必要条件的基础上讨论或求索，此为解决比较复杂问题的基本方略. 2．这里的已知条件经过了两次转化：已知在某区间上的单调性→某不等式在给定区间上恒成立 →另一函数的最值问题，展示了上述三个问题之间相互联系，相互贯通的密切联系. 3．借助导数，这里将函数的单调性证明转化为关于导函数的（条件）不等式，展示了在导数背景之下 单调性与不等式更为密切的联系. 举一反三：【变式1】设函数，其中. ①若在处取得极值，求常数a的值； ②若在上为增函数，求a的取值范围. 【答案】（Ⅰ） 因取得极值，所以 解得 经检验知当为极值点. （Ⅱ）令 当和上为增 函数，故当上为增函数. 当上为增函数， 从而上也为增函数. 综上所述，当上为增函数. 【变式2】已知函数在处取得极值0，若曲线过点且在点P处的切线与直线垂直. （1）求； （2）若在区间上递增，求的取值范围. 【答案】（1）， 由题设得 ，即， 解得：，，， 故 （2）， 由，得或， 法一：由题设得：在上恒成立， 令，则在上有成立， 又∵抛物线的开口向上，对称轴为，且即 ∴或，解得或， ∴所求m的取值范围为 . 法二：由得或， ∵在区间上递增， ∴或， 即或，解得或， ∴所求的最值范围为 【变式3】已知定义在R上的函数 ，，问：是否存在这样的区间，对任意的a的可能取值，函数在该区间上都是单调递增的？若存在，求出这样的区间；若不存在，请说明理由. 【答案】，， 令，则为的一次（型）函数， ∴对任意恒成立不等式对任意恒成立， ∴即，解得或 ∴当或时对任意恒成立 ∴对任意，在或上都是单调递增的 ∴存在区间和，对任意的，函数在该区间内均是单调递增函数. 类型三：定积分及其应用 4．求定积分 （1）； （2）； （3）； （4）. 思路点拨：本题的几个被积函数比较复杂，要先化简再利用微积分基本定理积分. 解析：（1）∵， ∴ （2）∵ ∴， （3） （4）∵ ∴ . 总结升华：化简被积函数是积分的前提，直到最简为止. 举一反三： 【变式1】计算下列定积分的值. （1）； （2）； （3）. 【答案】 （1）， （2）. （3）. 【变式2】求定积分： 【答案】∵是偶函数， ∴. 【变式3】求定积分： 【答案】 5．求直线与抛物线所围成的图形面积. 思路点拨： 先画出符合题意的图形，由图形可以看出所求的面积是一个梯形与曲边梯形之差，进而可以用定积分求解.为了确定定积分的上下限，要求出两条曲线的交点的横坐标. 解析：如图，由得交点，， 所求面积： . 总结升华： 应用定积分求图形面积解答步骤： 1．画出图形，确定积分变量； 2．求出交点，确定被积函数和上下限； 3．写出定积分表达式,一般是位置在上面的函数减去位置在下面的函数的差作为被积函数； 4．求出平面图形的面积. 举一反三：【变式1】求由曲线围成的平面图形的面积. 【答案】由 得； 由 得. 所求面积： 【变式2】在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为. 试求：切点A的坐标以及切线方程. 【答案】设点，则切线，即， 则由，得点， ∴， ∴，即，解得. ∴切点，切线. 【变式3】已知函数与直线（为常数且）,若直线与的图象以及轴所围成封闭图形的面积是, 直线与的图象所围成封闭图形的面积是,设,当取最小值时,求的值． 【答案】 据题意, 直线与的图象的交点：,， 由定积分的几何意义知 = = 而 令或(不合题意,舍去) 当 故当时,有最小值 学习成果测评 基础达标： 1．若，则等于（ ）A．０ B．１ C．３ D． 2．下列求导数运算正确的是（ ） A. B． C. D. 3．函数的导数是（ ） A． B． C． D． 4. =（ ） A． B. C． D． 5．与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则与满足（ ） A. = B．－为常数函数 C. ==0 D. +为常数函数 6．曲线在点P0处的切线平行于直线，则点P0的坐标是（ ） A．(0，1) B．(1，0) C．(－1,－4)或（1，0） D．(－1,－4) 7．函数有极值的充要条件为（ ）A． B． C． D． 8．设是定义在Ｒ上的恒大于零的可导函数，且满足，则当 时有（ A. B． C． D． 9．函数的单调增区间是（ ） A．(0,+∞) B．(－∞,－1) C．(－1,1) D．(1,+∞) 10．三次函数在内是增函数，则（ ） A.＞0 B. ＜0 C. =1 D. = 11．函数的极大值为6，那么等于（ ） A．6 B．0 C．5 D．1 12．函数在[0，1]上的最大值为（ ） A． B. C. D. 13．函数的导数为__________. 14．物体运动方程为，则时的瞬时速率为____________. 15．过原点作曲线的切线，则切点坐标为____________，切线的斜率为____________. 16．求定积分． 17．设函数求的最小值. 18．把函数的图象按向量平移得到函数的图象． (1)求函数的解析式； (2)若，证明：． 19．已知曲线在处的切线恰好与抛物线相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标． 20. 若恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间. 能力提升：21．曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为____________. 22．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是____________. 23．设函数f(x)=ax2+c(a≠0).若，0≤x0≤1,则x0的值为______. 24．圆柱形金属饮料罐的容积为，它的高是____________，底面半径是____________时可使所用材料最省. 23．25．当时，恒成立，则实数的取值范围是___________． 26．已知函数的图象在点处的切线方程为. （Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间. 27．已知是函数的一个极值点，其中 （Ⅰ）求与的关系表达式；（Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求的取值范围. 28. 已知函数f(x)=ax3+x2+1，x∈(0，1] （1）若f(x)在（0，1）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求f(x)在（0，1）上的最大值. 29．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且 （1）求的表达式；（2）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积； （3）若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值. 综合探究：30．已知，函数 （Ⅰ）当时，求使成立的成立的的集合；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值. 参：基础达标： 1．D 2．B 3．C 4. C 5. B 6．C 7．C 8．B 9. C 10. A 11. A 12. A 13. 14.125 15．，；16．解析： ． 17．解析：函数的定义域为， 令 当时，, ∴在区间是减函数； 当时，, ∴在区间是增函数. ∴在时取得最小值且最小值为 18．解析： (1)由题设得． (2)令， 则 ,∴,∴在上单调递增． 故，即． 19．解析：∴曲线上的切点为A(－1,2). ,∴, ∴切线方程为，即. 设抛物线上的切点为,显然抛物线上的切点在抛物线的上半支， 抛物线上半支的方程为, 则, ∴,得 (1) 又∵点Ｂ在切线上，∴ （2） 由(1)(2)求得，∴. 故抛物线方程为,切点为(2,8). 20. 解析： （1）当时，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾； （2）当时，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾； （3）当时，则 由得， 由，得 ∴综上可知，当时，恰有三个单调区间： （4） 减区间；增区间 能力提升： 21． 22． 23． 24．4；2 25． 26．解析：（Ⅰ）由函数的图象在点处的切线方程为， 得，即， ∴，即 解得 所以所求函数解析式. （Ⅱ）令，解得 当或时， 当时， 所以在内是减函数， 在内是增函数. 27.解析：（Ⅰ），是函数的一个极值点 ∴ ∴； （Ⅱ） 令，得 与的变化如下表： （Ⅲ）由（Ⅱ） 即 令， 且， ∴ 即m的取值范围是. 28. 解析： （1）f′(x)=3ax2+2x， ∵f(x)在（0，1）上是增函数， ∴ x∈（0，1）时，f′(x)=3ax2+2x>0恒成立， 即对x∈（0，1）恒成立， ∵在（0，1）上单调增， ∴x=1时， ∴ （2）① ② ∴ ∴ 29．解析：（1）设， ∴ ∴， ∵方程有两个相等的实根 ∴方程中 ∴ 故 （2）的图象与两坐标轴的交点， ∴的图象与两坐标轴所围成图形的面积为： （3）依题意，有， ∴， ∴，， ∴， 综合探究：30．解析：（Ⅰ）由题意， , 当时,解得或， 当时，解得 综上，所求解集为｛0,1,1+｝ （Ⅱ）设此最小值为m ① 当时，在区间［1，2］上，， 因为）， 则是区间［1，2］上的增函数，所以 ② 当时，在区间［1，2］， 由知； ③ 当时，在区间［1，2］上， 如果在区间（1，2）内， 从而在区间［1，2］上为增函数，由此得； 如果则. 当时，，从而为区间［1，］上的增函数； 当时，，从而为区间［，2］上的减函数 因此，当时，或. 当时，故 当时.综上所述,所求函数的最小值
∴当时，取得极小值，就是最小值， ∴点的坐标- 0 + 极小值
即此时有两个极值点；+ 0 — 0 + ↗ ↘ ↗
因此，的单调递减区间是和；的单调递增区间是；1 — 0 + 0 — 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
