学年高一下学期期中数学试题（A 卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题 1．复数1i

z i

-=（其中i 是虚数单位）的虚部是（ ）. A ．1

B ．i

C ．1-

D ．i -

2．与向量()12,5a =平行的单位向量是（ ）

A ．56,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．125,1313⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

C ．56,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或56,2⎛

⎫-- ⎪⎝⎭

D ．125,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭或125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭

3．异面直线是指（ ）

A ．不同在任何一个平面内的两条直线

B ．平面内的一条直线与平面外的一条直线

C ．分别位于两个不同平面内的两条直线

D ．空间中两条不相交的直线

4．数学家欧拉通过研究，建立了三角函数和指数函数之间的联系，得到著名的欧拉公式i e cos isin x x x =+(i 为虚数单位)，此公式被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，3i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

5．在ABC 中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，且

222sin sin sin sin sin A B C C B -=+，则A ∠的大小是（ ）

A ．

6

π B ．

3

π C ．

23

π D ．

56

π 6．已知向量()1,2a =--，()2,b λ=，且a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,-+∞ C ．()

1,4-

D ．()()1,44,-⋃+∞

7．设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个球面上，1AB AC AA ==，

120BAC ∠=︒，

且底面ABC 的面积为 ）

B

C ．40π

D ．π

8．ABC 的外接圆的圆心为O ，满足CO mCA nCB =+且432m n +=，43CA =6CB =，则CA CB ⋅=（ ）．

A ．36

B ．24

C ．

D ．

二、多选题

9．在ABC 中，AD 是中线2AG GD =，则下列等式中一定成立的是（ ） A ．2AB AC AD += B ．133

1AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r

C ．3ABC

GBC

S

S

= D ．12

33

AG AB AC =

+ 10．下列命题中，正确的有（ ）

A ．若A

B →与CD →

是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线 B ．若0MN NP PM →→→→

++=，则M ，N ，P 三点共线 C ．对非零向量a →

，若1λ>，则a a λ→→

>

D ．平面内任意一个向量都可以用另外两个不共线向量表示 11．设1z ，2z 是复数，则下列命题中正确的是（ ）

A ．若22

12

0z z +=，则120z z == B ．若12=z z ，则12=±z z C ．若12z z =，则12z z =

D ．若120z z +=，则12z z =-

12．如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱AD 、1AA 、AB 上的截点分别是E ，F ，G ，则截面EFG 可以是（ ）

A ．等边三角形

B ．钝角三角形

C ．锐角三角形

D ．直角三角形

三、填空题

13．若向量(),1a x =，()2,1b x =--，且a b a b +=-，则实数x 的值是______. 14．设i 是虚数单位，如果复数

()i

2i

a a +∈-R 的实部与虚部相等，则复数11i z =+和复数24i z a =-在复平面内对应的两点之间的距离是______.

15．用半径为1的半圆形纸板卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒内切球的体积是______.

四、双空题

16．在ABC 中，2BC =，5AB AC +=，若中线AD 的长为y ，边AB 的长为x ，则y 与

x 的函数关系式是y =______，中线AD 长的最小值是______.

五、解答题

17．直角梯形的一个底角为45︒，上底长为下底长的一半.将这个梯形绕下底所在的直线

旋转一周所形成的旋转体的表面积为(3π (1)求直角梯形的下底长； (2)求这个旋转体的体积

18．已知复数z 满足i 22z z z ⋅=+，其中i 是数单位，z 是复数z 的共轭复数 (1)求复数z ；

(2)若复数()()2

12i 3i 12m m z +-+-是纯虚数，求实数m 的值

19．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，向量()1,1OA =，()2,3OB =-，()6,OC k =-， (1)当29k =时，试判断A ，B ，C 三点是否共线，写出理由； (2)若A ，B ，C 三点构成直角三角形，求实数k 的值

20．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量cos

122C B p ⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

与向量2cos

1,12B q ⎛

⎫

=- ⎪⎭

平行. (1)确定角C 和角B 之间的关系； (2)若ABC 是锐角三角形，求

c

b

的取值范围. 21．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点A 处，2号机器人在点B 处，3号机

器人在点C 处，且45BAC ∠=︒，75BCA ∠=︒，(12AC =-米，如图所示

(1)求1号机器人和2号机器人之间的距离；

(2)若2号机器人发现足球在点D 处向点A 作匀速直线动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半作匀速直线运动去拦截足球.若已知17AD =米，忽略机器人原地旋转所需的时间，则2号机器人最快可在何处截住足球？

22．如图，在ABC 中，点O 在边BC 上，且2OC OB =.过点O 的直线分别交射线AB 、射线AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =.

(1)求2m n +的值:

(2)若向量()2cos23,cos67a =︒︒，()cos68,2cos22b =︒︒，且

)

1t t

a b m n

+≥⋅恒成立，

求实数t 的最小整数值.

参：

1．C

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z 得答案． 【详解】解：()111i i i z i i i i

---===---⋅，故复数z 的虚部为1-， 故选：C

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题. 2．D

【分析】与向量a 平行的单位向量是a

a

±

，即可求解. 【详解】因为与向量a 平行的单位向量是a

a

±

，21213a =+, 所以125,1313a a ⎛⎫±

=± ⎪⎝⎭

, 故选：D 3．A

【分析】利用定义可以判断选项A 正确,借助空间想象力判断选项BCD 错误.

【详解】解：A. 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，所以该选项正确； B. 平面内的一条直线与平面外的一条直线，可能平行、异面和相交，所以该选项错误； C. 分别位于两个不同平面内的两条直线，不一定是异面直线，也有可能平行、异面和相交，所以该选项错误；

D. 空间中两条不相交的直线，可能异面或者平行，所以该选项错误. 故选：A 4．B

【分析】由题可知3i e 对应在复平面的点为()cos3,sin3，由32

ππ<<可判断cos3和sin 3的正

负，进而得到答案.

【详解】由题，3i e cos3isin3=+，其对应点为()cos3,sin3, 因为

32

ππ<<知，cos30<，sin30>，

所以点()cos3,sin3在第二象限， 故选：B 5．C

【分析】先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解.

【详解】解：因为222sin sin sin sin sin A B C C B -=+，所以222a bc c b -=+，

即2

2

2

b c a bc +-=-.于是2221

cos 22

b c a A bc +-=

=-， 因为(0,)A π∈，所以23

A π=. 故选：C 6．D

【分析】由a 与b 的夹角为钝角得0a b ⋅<，且,a b 不共线，再按照向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量()1,2a =--，()2,b λ=，且a 与b 夹角为钝角， 由上述条件得，0a b ⋅<，且a ，b 不反向， 由0a b ⋅<得，220λ--<，1λ>-. 当a ，b 共线时有，

212

λ=--，4λ=.此时a ，b 反向， 因此实数λ的取值范围()()1,44,-⋃+∞. 故选:D. 7．C

【分析】由三角形面积公式求得AB ，由正弦定理求得底面三角形外接圆半径，设,M N 分别是ABC 和111A B C △的外接圆圆心，则MN 的中点O 是三棱柱111ABC A B C -的外接球球心，求球半径后可得表面积．

【详解】设1AB AC AA m ===，因为120BAC ∠=︒，

所以1

sin120

2

m m ⨯⨯⨯︒=m =

而30ACB ∠=︒，所以

2sin30r =︒

(r 于是是ABC 外接圆的半径)，r =即AM =

如图，设,M N 分别是ABC 和111A B C △的外接圆圆心，由直棱柱的性质知MN 的中点O 是三棱柱111ABC A B C -的外接球球心，

111

22

OM MN AA =

==

所以外接球为R OA ==

于是球的表面积为24S R =π

=2440ππ=.

故选：C.

8．A

【解析】根据已知条件，在CO mCA nCB =+两边分别乘以向量CA 和CB ，可以得到2448m nCA CB =+⋅①，1836n mCA CB =+⋅②，再根据432m n +=、①+②和①3⨯+②4⨯，

得到()()187272

m n CA CB m n CA CB ⎧+⋅=⎪⎨++⋅=⎪⎩，联立两式即可求出CA CB ⋅uu r uu r . 【详解】如图，设AC 中点为P ，BC 中点为Q ，

外接圆圆心O 为AC 和BC 垂直平分线的交点，

则()

21242CO CA CP PO CA CA PO CA ⋅=+⋅=+⋅=， 同理()

21182CO CB CQ QO CB CB QO CB ⋅=+⋅=+⋅=， 在CO mCA nCB =+两边分别乘以向量CA 和CB ，

22CO CA mCA nCA CB CO CB mCA CB nCB

⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩， 即2448m nCA CB =+⋅①，1836n mCA CB =+⋅②，

①+②得，

()()()42124324m n m n CA CB m n CA CB =+++⋅=++⋅，

即()18m n CA CB +⋅=③，

①3⨯+②4⨯得，

()()()144144431442m n m n CA CB m n CA CB =+++⋅=++⋅，

即()7272m n CA CB ++⋅=④，

联立③④，解得36CA CB ⋅=.

故选：A

【点睛】本题主要考查数量积的计算、三角形外心的概念和向量的运算，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.

9．ABC

【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，根据平面向量加法的平行四边形法则，即可判断A 是否正确；由题意可知()

12AD AB AC =+，结合2AG GD =，根据共线定理即可求出AG ，即可判断B,D 是否正确；由于GBC ，ABC 同底，以及2AG GD =，结合相似关系，可得3ABC GBC S S =，即可判断C 是否正确.

【详解】延长AD 至E ，使DE AD =，如下图所示，则ABEC 是平行四边形，

所以2AB AC AE AD +==，故A 正确；

因为()

2211133233AG AD AB AC AB AC ==⋅+=+，故B 正确，D 错误； 分别故,A G 作边BC 的垂线，垂足分别为,M N ，如下图所示：

则Rt AMD Rt GND ~，

又2AG GD =，所以13

GD GN AD AM ==，所以GBC 与ABC 高之比为1:3， 又GBC ，ABC 的底均为BC ，所以3ABC GBC S

S =，故C 正确.

故选:ABC.

10．CD 【分析】可以举反例说明选项AB 错误，可以利用数乘向量的性质和平面向量基本定理判断选项CD 正确.

【详解】对A ，因为共线向量所在直线可以平行，所以选项A 错误；

对B ，M ，N ，P 可以组成三角形，所以选项B 错误；

对C ，因为1λ>，0a →>，所以a a λ→→>，即a a λ→→

>，所以选项C 正确；

对D ，根据平面向量基本定理，可以判断该选项正确，所以选项D 正确.

故选：CD.

11．CD

【分析】举反例证明选项A ，B 错误；利用一般情况证明选项C ，D 正确.

【详解】对A ，取11z =，2i z =，有221i 0+=，但10≠，且i 0≠，所以A 错误； 对B ，取11i z =+，21i z =-，且1i 1i +=-，但()1i 1i +≠±-，所以B 错误；

对C ，设1i z a b =+，则2i z a b =-，因此12z z =，所以C 正确；

对D ，设1i z a b =+，2z c di =+，则由120z z +=得，()()220a c b d +++=，a c =-，=-b d ，因此12z z =-，所以D 正确.

故选：CD.

12．AC

【分析】结合长方体的性质，

法1：设AE a =，AF b =，AG c =，由勾股定理可得EF ，FG ，GE ，根据余弦定理可判断内角均为锐角，而当a b c ==时，这个锐角三角形是等边三角形，即可得到答案； 法2：由E F E A A F =+，EG EA AG =+，根据EF EG ⋅的正负可判断FEG ∠是锐角，同理判断其他内角也为锐角，而当a b c ==时，这个锐角三角形是等边三角形，即可得到答案.

【详解】法1(余弦定理)：由题，如图，设AE a =，AF b =，AG c =，则EF =

FG GE =

在EFG 中，2222222

2cos 022a b c a b c a FEG EF GE EF GE

+++--∠==>⋅⋅， 所以FEG ∠是锐角，

同理得到，EFG ∠，FGE ∠都是锐角，故C 对.

特别地，当a b c ==时，EFG 是等边三角形，故A 对，

故选：AC

法2(向量法)：因为EF EA AF =+，EG EA AG =+，

所以()()22

0EF EG EA AF EA AG EA EA AG EA AF AF AG EA ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅=>， 因此FEG ∠是锐角，

同理得到EFG ∠，FGE ∠都是锐角，故C 对，

特别地，当a b c ==时，EFG 是等边三角形，故A 对，

故选：AC

13．1 【分析】由a b a b +=-可知a b ⊥，即0a b ⋅=，进而求解. 【详解】因为a b a b +=-，

所以a b ⊥，则0a b ⋅=，即210x x --=，解得1x =，

故答案为：1

14【分析】整理

()212i i 2i 5

a a a -+++=-，由实部与虚部相等可得3a =，则225i i z z -=-+，进而求解. 【详解】由题，()212i i 2i 5

a a a -+++=-，则212a a -=+，所以3a =， 因此1z ，2z 在复平面内对应的两点之间的距离是

()()

21i 34i 25i i z z -=+--=-+==

15 【分析】根据题意得圆锥的母线长是1，根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，得到圆锥底面的半径，再利用轴截面的性质，结合三角形的面积等于三角形的周长乘以三角形内切圆半径的一半，求得圆锥内切球的半径，利用球的体积公式求得结果.

【详解】圆锥筒的母线长是1.

设圆锥筒的底面半径是r ，内切球的半径是R ，则2r ππ=，12

r =.

由()2111112R ++=，=R

故该圆锥筒内切球的体积是343π⋅=⎝⎭

，

.

16． 【分析】设ADB θ∠=，则ADC πθ∠=-，利用这两个角结合余弦定理，整理可得y 与x 的函数关系，根据三角形中两边之和大于第三边可得x 的范围，进而结合二次函数性质求得AD 的最小值.

【详解】由题，设ADB θ∠=，则ADC πθ∠=-，因为AB x =，则5AC x =-，如图所示，

在ABD △中，由余弦定理得22212cos x y y θ=+-⋅①

在ADC △中，()()2

22512cos x y y πθ-=+-⋅-② ①+

②得，y =()02552x x x x x ⎧>⎪+>-⎨⎪-+>⎩，解得3722x <<，

因为y = 所以当52x =时，y

，

17．(1)2 (2)43π

【分析】（1）由题画出梯形，可得出各边关系，且可知旋转体为一个圆柱和一个圆锥的组合

体，则(232AD AD CD AD BC ππππ=⋅+⋅⋅+⋅⋅，进而即可求解； （2）由（1）结合圆锥和圆柱的体积公式即可求解.

【详解】（1）如图，

在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，45B ∠=︒，

设CD x =，2AB x =，则AD AB CD x =-=

，BC ，

旋转体是一个圆柱和一个圆锥的组合体，

所以(232AD AD CD AD BC ππππ=⋅+⋅⋅+⋅⋅

，即(

22232x x x πππ=+， 解得1x =，故直角梯形的下底长为2.

（2）由（1），因为圆柱的体积是2AD CD ππ⋅⋅=， 圆锥的体积是()21133

AD AB CD ππ⋅⋅-=， 所以这个旋转体的体积为1433

πππ+=. 18．(1)1i z =-+

(2)1

【分析】（1）根据复数的相等及乘法运算可求解；

（2）由纯虚数的概念建立等式求解即可.

(1)

设i z a b =+，,a b R ∈，则i 22z z z ⋅=+，

就是()()()i i i 22i a b a b a b +-=++，即()

22i 222i a b a b +=++. 于是222220a b b a ⎧+=⎨+=⎩

，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以1i z =-+. (2)

()()()()()2212i 3i 1212i 3i 121i m m z m m +-+-=+-+--+

()

2232232i m m m m =-++--.

此为纯虚数，所以223202320m m m m ⎧-+=⎨--≠⎩，即1,212,2m m m m ==⎧⎪⎨≠≠-⎪⎩

，因此1m =. 19．(1)共线，理由见解析 (2)34-或5-

【分析】（1）利用向量共线的条件进行运算求解即可；

（2）分三种情况分别计算数量积为0时，实数k 的值即可.

【详解】（1）因为()()()2,31,11,4AB OB OA =-=--=-,

()()()6,291,17,28AC OC OA =-=--=-,

所以7AC AB =-，且有公共点A ,故A ，B ，C 三点共线.

（2）由(1)知，()1,4AB =-，()()()6,1,17,1AC OC OA k k =-=--=--，

()()()6,2,38,3BC OC OB k k =-=---=-+，

若90A ∠=︒，则0AB AC ⋅=，即()()17410k ⨯---=，34

k =-. 若90B ?，则0BA BC ⋅=uu r uu u r ，即()()()18430k -⨯-++=，5k =-

若90C ∠=︒，则0CA CB ⋅=，即()()()()78130k k -⨯-+-+=，22530k k ++=，无实根.

故实数k 的值为34

-或5-. 20．(1)2C B =

(2)

【分析】（1）根据向量共线坐标所满足的关系，建立等量关系式，利用余弦倍角公式，结合角的范围，得到2C B =；

（2）结合正弦定理，以及（1）的结论和正弦倍角公式得到

2cos c B b =，根据锐角三角形，得到

B ππ<<，进而求得结果. (1)

由p q ∥得，cos 1110222C B B ⎫⨯--+=⎪⎭ 即2cos 12cos 122C B ⨯=-，cos cos 2

C B = 因为022

C π<

<，0B π<<，所以2C B =，2C B =. (2) sin sin22cos sin sin c C B B b B B

===.

由ABC 是锐角三角形得02022032B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得B ππ<< 于是cos

cos cos 46B ππ<<

2cos B < 故c b

的取值范围是. 【点睛】该题考查的是有关三角和向量的综合题目，在解题的过程中，注意利用向量共线建立等量关系式，注意根据三角函数值相等得到角的关系时，一定注意角的范围，最后得范围时要注意根据锐角三角形正确求得角的范围.

21．

(1)

(2)可在线段AD 上离点A 7米的点E 处截住足球

【分析】（1）直接由正弦定理即可得结果；

（2）设2号机器人最快可在点E 处截住足球，利用余弦定理解出即可.

【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC AB B BCA

=∠，

sin 75AB =︒

，(

12AB -==故1号机器人和2

号机器人之间的距离为

（2）如图，

设2号机器人最快可在点E 处截住足球，点E 在线段AD 上

设BE x =米.由题意，2ED x =米.()172AE AD ED x =-=-米

在ABE 中，由余弦定理得2222cos BE AB AE AB AE A =+-⋅，

((

))22

21722172cos45x x x =+--

⨯-︒

整理得23521850x x -+=.解得15=x ，2373x =

. 所以1727AE x =-=，或233

AE =-(不合题意，舍去) 故2号机器人最快可在线段AD 上离点A 7米的点E 处截住足球

22．(1)3

(2)2

【分析】（1）利用向量的加法及三点共线的结论即得；

（2）利用三角公式得出2a b ⋅=，利用基本不等式求出

11m n

+的最小值，进而得出答案. 【详解】（1）连接AO .

因为2OC OB =，AB mAM =，AC nAN =， 所以()

112121333333AO AB BO AB BC AB AC AB AB AC mAM nAN =+=+=+-=+=+ 因为M ，O ，N 共线，所以21133

m n +=，23m n += （2）2cos 23cos682cos67cos 22a b ⋅=︒︒+︒

︒

2cos 23cos682sin 23sin 682(cos 23cos68sin 23sin 68)2cos 45=︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒=显然0t >，所以

)1t t a b m n +≥⋅

等价于

111m n +≥，

即

min 111m n ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭因为(

)111111223133m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

当且仅当n

，即3m =

，

3n =时，

11

m n +取到最小值)2113=

于是)21

1

3t ≥， 故

6t ≥-故实数t 的最小整数值是2.下载本文