高数下册(同济)期末复习试题_动视

高数下册(同济)期末复习试题

2025-09-27 23:23:56 责编:小OO

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高等数学（下册）考试试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、=的定义域为D= 。

2、二重积分的符号为。

3、由曲线及直线，所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L的参数方程表示为则弧长元素。

5、设曲面∑为介于及间的部分的外侧，则。

6、微分方程的通解为。

7、方程的通解为。

8、级数的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数在处可微的充分条件是（）

（A）在处连续；

（B），在的某邻域内存在；

（C）当时，是无穷小；

（D）。

2、设其中具有二阶连续导数，则等于（）

（A）；（B）； (C)； (D)0 。

3、设：则三重积分等于（）

（A）4；

（B）；

（C）；

（D）。

4、球面与柱面所围成的立体体积V=（）

（A）；

（B）；

（C）；

（D）。

5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数在D上具有一阶连续偏导数，则

（A）；（B）；

（C）；（D）。

6、下列说法中错误的是（）

（A）方程是三阶微分方程；

（B）方程是一阶微分方程；

（C）方程是全微分方程；

（D）方程是伯努利方程。

7、已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而满足微分方程，则曲线的方程为（）

（A）；（B）；

（C）；（D）。

8、设 , 则（）

（A）收敛；（B）发散；（C）不一定；（D）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计15分）

1、（7分）设均为连续可微函数。，

求。

2、（8分）设，求。

四、求解下列问题（共计15分）。

1、计算。（7分）

2、计算，其中是由所围成的空间闭区域（8分）。

五、（13分）计算，其中L是面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意满足方程，且存在，求。

七、（8分）求级数的收敛区间。

高等数学（下册）考试试卷（二）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、设，则。

2、。

3、设，交换积分次序后，。

4、设为可微函数，且则。

5、设L为取正向的圆周，则曲线积分

。

6、设，则。

7、通解为的微分方程是。

8、设，则它的Fourier展开式中的。

二、选择题（每小题2分，共计16分）。

1、设函数 ,则在点（0，0）处（）

（A）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在；

（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在。

2、设在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足

及，

则（）

（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；

（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；

（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；

（D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。

3、设平面区域D：，若，

则有（）

（A）；（B）；（C）；（D）不能比较。

4、设是由曲面及所围成的空间区域，则=（）

（A）；（B）；（C）；（D）。

5、设在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分（）

(A) ； (B)；

(C)； (D)。

6、设是取外侧的单位球面，则曲面积分

=（）

(A) 0 ； (B)； (C) ； (D)。

7、下列方程中，设是它的解，可以推知也是它的解的方程是（）

(A)； (B)；

(C)； (D)。

8、设级数为一交错级数，则（）

(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；

(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若，则必收敛。

三、求解下列问题（共计15分）

1、（8分）求函数在点A（0，1，0）沿A指向点B（3，-2，2）

的方向的方向导数。

2、（7分）求函数在由直线所围成的闭区域D上的最大值和最小值。

四、求解下列问题（共计15分）

1、（7分）计算，其中是由及所围成的立体域。

2、（8分）设为连续函数，定义，

其中，求。

五、求解下列问题（15分）

1、（8分）求，其中L是从A（a，0）经到O（0，0）的弧。

2、（7分）计算，其中是的外侧。

六、（15分）设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分

与路径无关，求函数。

高等数学（下册）考试试卷（三）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、设，则。

2、函数在点（0，0）处沿的方向导数

= 。

3、设为曲面所围成的立体，如果将三重积分化为先对再对最后对三次积分，则I= 。

4、设为连续函数，则，其中。

5、，其中。

6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数，，在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：，该关系式称为公式。

7、微分方程的特解可设为。

8、若级数发散，则。

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、设存在，则=（）

（A）；（B）0；（C）2；（D）。

2、设，结论正确的是（）

（A）；（B）；

（C）；（D）。

3、若为关于的奇函数，积分域D关于轴对称，对称部分记为，在D上连续，则（）

（A）0；（B）2；（C）4； (D)2。

4、设：，则=（）

（A）；（B）；（C）；（D）。

5、设在面内有一分布着质量的曲线L，在点处的线密度为，则曲线弧Ｌ的重心的坐标为（　）

　　（Ａ）=；（B）=；

（C）=；（D）=, 其中M为曲线弧Ｌ的质量。

６、设为柱面和在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分＝（　）

　　（A）0；（B）；（C）；（D）。

７、方程的特解可设为（　）

　　（A），若；（B），若；

（C），若；

（D），若。

８、设，则它的Fourier展开式中的等于（　）

　　（A）；（B）0；（C）；（D）。

三、（１２分）设为由方程确定的的函数，其中具有一阶连续偏导数，求。

四、（８分）在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。

五、（８分）求圆柱面被锥面和平面割下部分的面积Ａ。

六、（１２分）计算，其中为球面的部分

的外侧。

七、（10分）设，求。

八、（10分）将函数展开成的幂级数。

高等数学（下册）考试试卷（四）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、由方程所确定的隐函数在点（1，0，-1）处的全微分。

2、椭球面在点（1，1，1 ）处的切平面方程是。

3、设D是由曲线所围成，则二重积分。

4、设是由所围成的立体域，则三重积分

= 。

5、设是曲面介于之间的部分，则曲面积分

。

6、。

7、已知曲线上点M(0,4)处的切线垂直于直线，且满足微分方程，则此曲线的方程是。

8、设是周期T=的函数，则的Fourier系数为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、函数的定义域是（）

（A）；（B）；

（C）；

（D）。

2、已知曲面在点P处的切平面平行于平面，则点P的坐标是（）

　　（A）（1，-1，2）；（B）（-1，1，2）；（C）（1，1，2）；（D）（-1，-1，2）。

3、若积分域D是由曲线及所围成，则=（）

　　　（A）；（B）；

（C）；（D）。

4、设，则有（）

　　（A）；（B）；

（C）；（D）。

5、设为由曲面及平面所围成的立体的表面，则曲面积分=（　）

　　（A）；（B）；（C）；（D）0 。

６、设是球面表面外侧，则曲面积分

＝（　）

　　（A）；（B）；（C）；（D）。

７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点的法线斜率，则此曲线方程为（　）

（A）；（B）；

（C）；（D）。

８、幂级数的收敛区间为（　）

（A）（-1，1）；（B）；（C）（-1，1）；（D）[-1，1]。

　三、（１０分）已知函数，其中具有二阶连续导数，求

的值。

　四、（１０分）证明：曲面上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值。

　五、（１４分）求抛物面的切平面，使得与该抛物面间并介于柱面

内部的部分的体积为最小。

　六、（１０分）计算，其中Ｌ为由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段。

　七、（８分）求解微分方程=0 。

　八、（８分）求幂级数的和函数。

高等数学（下册）考试试卷（五）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、设是由方程所确定的二元函数，则

。

２、曲线在点（１，１，１）处的切线方程是。

３、设是由，则三重积分＝。

４、设为连续函数，是常数且，将二次积分　　　　　　化为定积分为。

５、曲线积分与积分路径无关的充要条件为。

６、设为，则。

７、方程的通解为。

８、设级数收敛，发散，则级数必是。

二、选择题（每小题2分，共计16分）

１、设，在点（０，０）处，

下列结论（　）成立。

　　（Ａ）有极限，且极限不为0；　（Ｂ）不连续；

　（Ｃ）；　（Ｄ）可微。

２、设函数有，且，，则=（　）

（Ａ）；　（Ｂ）；　（Ｃ）；　（Ｄ）。

３、设Ｄ：，在D上连续，则在极坐标系中等于（　）

　　（Ａ）；　（Ｂ）；　

（Ｃ）；　（Ｄ）。

４、设是由及所围成，则三重积分　

（Ａ）；

（Ｂ）；

（Ｃ）；

（Ｄ）。

５、设是由所围立体表面的外侧，则曲面积分　

（Ａ）0；　（Ｂ）1；　（Ｃ）3；　（Ｄ）2。

６、以下四结论正确的是（　）

（Ａ）；

（Ｂ）

（Ｃ）；

（Ｄ）以上三结论均错误。

７、设具有一阶连续导数，。并设曲线积分　　与积分路径无关，则

（Ａ）；　（Ｂ）；　（Ｃ）；　（Ｄ）。

８、级数的和等于（　）

（Ａ）2/3；（Ｂ）1/3；　（Ｃ）1；　（Ｄ）3/2。

三、求解下列问题（共计１５分）

　　１、（８分）设求。

２、（７分）设，具有连续偏导数，求。

四、求解下列问题（共计１５分）

　　１、（８分）计算，其中。

２、（７分）计算，其中。

五、（１５分）确定常数，使得在右半平面上，

与积分路径无关，并求其一个原函数。

六、（８分）将函数展开为的幂级数。

七、（７分）求解方程。

高等数学（下册）考试试卷（六）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

１、设，则= 。

　　２、设，则。

　　３、设，交换积分次序后，则I= 。

　　４、设，则三重积分。

　　５、设曲面的方程为，则的面积元素为。

　　６、设为，内侧，则积分。

　　７、设是的三个不同的解，且不是常数，则该方程的通解为= 。

　　８、函数关于的幂级数展开式为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、设函数满足方程及条件，

则

(A)； (B)； (C)； (D)。

　　２、二元函数在点处的两个偏导数，存在是　　在该点连续的（　）

(A) 充分条件非必要条件； (B) 必要条件非充分条件；

　　３、由及所围成的立体的表面积Ｓ＝（）

(A) 16 ； (B) 8 ；

　　４、设区域Ｄ，D1是Ｄ在第一象限部分。在Ｄ上连续，等式成立的充分条件是( )

(A)； (B)；

(D) 。

　　５、设Ｌ是圆周的正向，则曲线积分

＝（）

(A) ； (B) 0 ； (C)； (D)。

　　６、设为锥面被柱面所截下的部分，则积分

＝（　）

(A)； (B)； (C) ； (D) 。

　　７、方程的经过点（０，１）且在此点与直线相切的积分曲线为（　）

(A)； (B) ；

　　８、若收敛，则的范围为（　）

(A) (0 ,1) ； (B) ( 1, 2) ； (C) ； (D) 。

三、（１０分）设可微，试证曲面上任一点处的切平面都经过某个定点（其中均为常数）。

四、（１０分）求在区域上的最大值和最小值。　

五、（８分）计算，其中Ｄ是由曲线，直线和围成。

六、（１２分）计算，其中是的外侧。

七、（１０分）将展开为的幂级数。

八、（１０分）求解方程。

高等数学（下册）考试试卷（七）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

１、在处的梯度为。

２、设具有二阶连续导数，则。

３、设D:则。

４、设Ｌ：,其周长为a，则曲线积分。

５、设是周期Ｔ＝２的函数，它在(－１，１)上定义为

，则的Fourier级数在x＝１处收敛于。

６、设幂级数的收敛半径为３，则幂级数的收敛区间为

。

７、方程的通解为。

８、方程的通解为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）

　　１、设函数在点（０，０）附近有定义，且，，则

（　）成立。

(A)；

(B)曲面在点（0，0， (0，0)）处的法向量为（3，1，1）；

(C)曲线在点（0，0， (0，0)）处的切向量为（1，0，3）；

(D)曲线在点（0，0， (0，0)）处的切向量为（3，0，1）。

　　２、曲线的所有切线中与平面平行的切线（　）

(A) 只有一条； (B) 只有两条； (C) 至少有三条； (D) 不存在。

　　３、设Ｄ是面上以（１，１），（－１，１）和（－１，－１）为顶点的三角形区域，　　D1是Ｄ在第一象限内的部分，则二重积分

(A)2 ； (B) 2 ；

　　４、已知为某个函数的全微分，则　

(A) ； (B) 0 ； (C) 1 ； (D) 2 。

　　５、若在收敛，则此级数在处（　）

(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 发散； (D) 收敛性不能确定。

　　６、设，

其中，则　

(A) 1/2 ； (B) –1/2 ； (C) 3/4 ； (D) –3/4 。

　　７、下列函数组中线性无关的是（　）

(A)； (B)；

(C)； (D) 。

　　８、已知的一个特解为，对应齐次方程有一个特解为，则原方程的通解为（　）

(A)； (B)；

(C)； (D)。

三、求解下列问题（共计１５分）

　　１、（７分）计算。

　　２、（８分）设具有连续导数，，求。

四、求解下列问题（共计１５分）

　　１、（７分）计算。

　　２、（８分）证明：抛物面上任一点处的切平面与曲面所围成的立体的体积为一定值。

五、（１３分）验证是某二元函数的全微分，求出，并计算。

六、（８分）利用公式计算积分，　　　　　　　　其中曲面为抛物面被所截下部分下侧。

七、（９分）设函数在上连续，且满足关系式

，求。

高等数学（下册）考试试卷（八）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

１、函数在点Ｍ（１，２，－２）处的梯度

２、由曲线绕轴旋转一周得到的旋转面在点　　　　处的指向外侧的单位向量为

３、设Ｄ为面上的域，则二重积分

４、

５、设是平面位于第一卦限内部分，则_______________

６、设，则

７、函数在点处具有任意阶导数，则在处的Taylor展开式中的Taylor系数

８、把展开为x的幂级数，其收敛半径Ｒ＝

二、选择题（每小题2分，共计16分）

１、下列命题正确的是（　）

(A) 若在处可微，则在该点处连续；

(B) 若在处可微，则存在；

（D）若在处的二阶偏导数都存在，则在处连续。

　　２、下列论述正确的是（　）

(A)的极值点必是的驻点；

(B)的驻点必是的极值点；

(D) 可微函数的驻点必是的极值点。

　　３、设，其中D是由　　围成，则之间的大小顺序为（　）

(A)；(B)； (C)； (D)。

　　４、累次积分可化为（　）

(A) ； (B) ；

　　５、设为在第一卦限中的部分，则有（　）

(A)； (B) ；

(C)； (D)。

　　６、曲线在其上点Ｐ处的切线平行于平面，则此点到此平面的距离等于（　）

(A)； (B) 0 ； (C)； (D) 2 。

7、若级数都收敛，则（）

(A)收敛； (B)收敛；

(C)收敛； (D)收敛。

8、微分方程的通解是（）

(A)； (B)；

(C)； (D)。

三、（8分）求解初值问题：

四、求解下列问题（共计19分）

1、（8分）设函数都是可微函数，求函数沿的方向导数。

2、（11分）设是由方程组所确定的隐函数，求.

五、（10分）在椭圆的第一象限部分上求一点，使得该点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积最小，并求面积的最小值。

六、（8分）计算积分，其中L是从点

A（1，0）经下半圆周到点B（7，0）的路径。

七、（8分）计算，其中是球面的下半部分的下侧。

八、（7分）判别级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件

收敛？

高等数学（下册）考试试卷（九）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、是由方程所确定的隐含数，则=

2、若在点处存在一阶、二阶连续偏导数，且=0，

，则当时，必是的极值点。

3、设，则

4、在球面坐标系中，立体体积元素=

5、设L是以为顶点的三角形域的边界，则

6、设为的下侧，则积分

7、当时，级数的和函数

8、设是方程的通解，是

=的一个特解，则方程+的通解为

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、函数在点沿方向的方向导数等于（）

A、; B、; C、; D、;

2、函数的定义域为（）

A、; B、;

C、; D、

3、设L是从点A沿曲线到点B（2，2）的弧段，则=（）

A、; B、; C、; D、;

4、正项级数收敛是级数收敛的（）

A、充分条件但非必要条件； B、必要条件但非充分条件；

C、充要条件； D、既非充分条件又非必要条件；

5、微分方程的通解为（）

A、; B、;

C、; D、;

6、流速场通过椭球面

++=1的外表面的流量为（）

A、; B、; C、; D、

7、设有级数，则以下命题成立的是（）

A、若收敛，则收敛； B、若收敛，则收敛；

C、若发散，则发散； D、以上三个命题均错；

8、级数的收敛域及和函数为（）

A、; B、;

C、; D、;

三、（10分）将级数展开成周期的正弦级数，并求常数项级数的和。

四、（10分）求二元函数在以为顶点的闭矩形区域D上的最大值和最小值。

五、（10分）证明：如果及在上都是单调增加的连续函数，则

六、（15分）设在内二阶可微，，并且对于平面内任何光滑闭曲线L，都有

=，

求。

七、（8分）设，且所有函数均具有连续的偏导数，求。

八、（7分）计算，其中L为在第一象限与轴所围成的区域的整个边界。

高等数学（下册）考试试卷（十）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、设，且当时，，则

2、设，则=

3、累次积分交换积分次序后，I=

4、平面与坐标面所围成的图形的体积

5、设L是正向圆周，则曲线积分=

6、设是，则曲面积分

7、微分方程的通解为

8、幂级数的收敛区间是

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、积分的值为（）

A、; B、; C、; D、;

2、极限之值为（）

A、; B、不存在； C、； D、；

3、设有二阶连续偏导数，则=（）

A、； B、；

C、； D、；

4、设，其中为连续函数，存在，而，，则=（）

A、； B、； C、； D、

5、设，则（）

A、108； B、； C、； D、

6、设G是整个面去掉轴的负半轴及原点，则在G内是某个二元函数的全微分，则（）

A、； B、；

C、； D、；

7、下列级数中，发散的是（）

A、； B、；

C、； D、；

8、微分方程的通解是（）

A、； B、；

C、； D、；

三、（9分）某单位准备用混凝土做一个带盖的长方形水池，其外形尺寸为长5米，宽4米，高3米，四壁及上、下底厚20厘米。问大约需用多少立方米混凝土？

四、（12分）将长为的细铁丝剪成三段，分别用来围成圆、正方形和正三角形，问怎样剪法，才能使它们所围成的面积之和最小？并求出最小值。

五、求解下列问题（共计26分）

1、计算，其中,（8分）。

2、计算，其中是正八面体的表面（10分）。

3、计算，其中是部分的下侧（8分）。

六、（7分）已知连续函数满足，且，求。

七、（6分）判断级数的敛散性。

高等数学（下册）考试试卷（一）参

一、1、当时，；当时，；

2、负号； 3、； 4、；

5、180； 6、；

7、； 8、1；

二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C；

三、1、；；

2、；；

四、1、；

2、；

五、令则，；

于是当L所围成的区域D中不含O（0，0）时，在D内连续。所以由Green公式得：I=0；当L所围成的区域D中含O（0，0）时，在D内除O（0，0）外都连续，此时作曲线为，逆时针方向，并假设为及所围成区域，则

六、由所给条件易得：

又=

即

又即

七、令，考虑级数

当即时，亦即时所给级数绝对收敛；

当即或时，原级数发散；

当即时，级数收敛；

级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

高等数学（下册）考试试卷（二）参

一、1、1； 2、-1/6； 3、； 4、；

5、； 6、； 7、； 8、0；

二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C；

三、1、函数在点A（1，0，1）处可微，且

；

而所以,故在A点沿方向导数为：

2、由得D内的驻点为且，

又

而当时，

令得

于是相应且

在D上的最大值为，最小值为

四、1、的联立不等式组为

所以

2、在柱面坐标系中

所以

五、1、连接，由公式得：

2、作辅助曲面，上侧，则由Gauss公式得：

六、由题意得：

即

特征方程，特征根

对应齐次方程的通解为：

又因为是特征根。故其特解可设为：

代入方程并整理得：

即

故所求函数为：

高等数学（下册）考试试卷（三）参

一、1、； 2、； 3、；

4、； 6、，

公式； 7、 8、。

二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B

三、由于，

由上两式消去，即得：

四、设为椭圆上任一点，则该点到直线的距离为

；令，于是由：

得条件驻点：

依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中即为所求。

五、曲线在面上的

投影为

于是所割下部分在面上的投影域为：

，

由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。

六、将分为上半部分和下半部分，

在面上的投影域都为：

于是：

；

，

七、因为，即

所以

八、

又

高等数学（下册）考试试卷（四）参

一、1、；2、； 3、； 4、； 5、；

6、； 7、；

8、；

二、1、C； 2、C； 3、A； 4、D； 5、A； 6、B； 7、A； 8、C

三、

故

四、设是曲面上的任意点，则，

在该点处的法向量为：

于是曲面在点处的切平面方程为： ++=0

即++=1

因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：

这是一个定值，故命题得证。

五、由于介于抛物面，柱面及平面之间的立体体积为定值，所以只要介于切平面，柱面及平面之间的立体体积为最大即可。

设与切于点，则的法向量为，且，切平面方程为：

即

于是

则由，得驻点（1，0）

且

由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。此时的切平面为：

六、联接，并设由L及所围成的区域为D，则

七、令，则，于是原方程可化为：

即，其通解为

即

故原方程通解为：

八、易求得该幂级数的收敛区间为

，令，则

注意到，

高等数学（下册）考试试卷（五）参

一、1、；2、；3、；4、；

5、对任意闭曲线，或或使得；

6、； 7、； 8、发散

二、1、C； 2、B； 3、A； 4、C； 5、C； 6、B； 7、D； 8、A

三、1、；；

2、

。

四、1、因为积分域D关于对称，所以

故

=；

2、

因为关于三个坐标轴都对称，而都（至少）关于某个变量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是：

。

五、令

则，

由已知条件得，即有，所以

所求的一个原函数为：

六、易知

又

，其中

七、方程的特征方程为：，其特征根为，

故方程的通解为：

高等数学（下册）考试试卷（六）参

一、1、；2、；3、；

4、； 5、； 6、；

7、； 8、

二、1、B； 2、D ； 3、A； 4、C； 5、D； 6、C； 7、C； 8、A。

三、令，则

，，

于是过任意点处的切平面方程是：

取，上式被满足，即切平面过定点

四、得在D内的驻点，

令

解方程组

得条件驻点

于是由得所求的最大值为46，最小值为1。

五、如图

所以

。

六、令，，，

则

同理；

于是

作辅助曲面，内侧，使得位于的内部，以表示由与所围成的立体域，表示所围成的立体域，则

七、因为，所以被积函数连续。

又

于是

八、方程变形得：，这是齐次方程。

令得：，代入方程得：

由原方程知，因此，对上式积分，得：

即

故方程的通解为：

高等数学（下册）考试试卷（七）参

一、1、； 2、；

3、； 4、； 5、； 6、；

7、； 8、

二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、B； 6、C； 7、D； 8、A

三、1、

2、

y=x

四、1、如图，积分域在极坐标中

可表示为

于是

2、设为抛物面上的任意一点，则点处的切平面方程为：

该切平面与曲面的交线为：，

消去得：，故所求体积为：

令得：

,即体积为定值。

五、令

则

所以

因而是某二元函数的全微分。

又

所以

因而

六、设，取上侧，则

七、由题设条件，易得

因为

所以

因而，即

这是一个关于的一阶线性方程

故

又，即，故

高等数学（下册）考试试卷（八）参

一、1、； 2、； 3、π； 4、；

5、4； 6、； 7、； 8、

二、1、B; 2、C; 3、C; 4、D; 5、C; 6、A; 7、D; 8、D

三、对应齐次方程的特征方程为，特征根为

于是对应齐次方程的通解为

又=0不是特征根，所以特解可设为

代入微分方程可得A=，B=

故原方程的通解为

又，

则，解得

故初值问题的解为

四、1、由题设得

所以

2、对所给方程组两端求微分得：

解以为未知量的方程组得：

，

五、设切点为，由隐函数求导得

故切线方程为

令得

注意到切点在曲线上，即

则得三角形面积为：

要求的最小值，只要求的最大值，而

令

由,得

驻点唯一，而由实际问题知最小面积存在。

故最小面积为

六、令

得，

连接,记L及所围区域为D，则由Green公式得：

七、作辅助曲面，取上侧

由所围成的立体域记为，则由Gauss公式得：

I==

八、令

则

所以原级数收敛且是绝对收敛的。

高等数学（下册）考试试卷（九）参

一、1、； 2、

3、2； 4、； 5、2+； 6、- 7、；

8、

二、1、（C）； 2、（B）； 3、（B）； 4、（A）； 5、（D）； 6、（D）；7、（A）； 8、（B）

三、先把延拓为

再把延拓成以2为周期的函数，并且

（）

因为满足收敛定理的条件，所以的Fourier级数在的连续点处收敛于，在的不连续点处收敛于，

又因为在（）上是奇函数，于是

所以展开为正弦级数为

= ，

在上式中，令得：1=

所以

四、由得D内的驻点M（）

因为在有界闭区域D上连续，于是在D上必有最大值和最小值存在。可微函数的最大值及最小值在驻点或D的边界上取得。

在线段OA上，。最大值为，最小值为

在线段AB上，。最大值为，最小值为

在线段BE上，。最大值为，最小值为

在线段EO上，。最大值为，最小值为

又，所以在D上的最大值为，最小值为。

五、令，于是

又=

所以=

因为在（0，1）上都是单调增加连续函数，所以

（）

故

即

六、令，则P、Q在平面内有一阶偏导数，且

由已知条件知：

即

这是关于的二阶非齐次线性方程，其通解为

由，可得

所以

七、如图

根据复合函数求导法则

八、如图

所以

而的方程为：

所以

的方程为

所以

的方程为

所以

故

高等数学（下册）考试试卷（十）参

一、1、； 2、；

3、++

4、； 5、-； 6、；

7、； 8、

二、1、C； 2、B； 3、C； 4、B； 5、C； 6、A； 7、D； 8、A

三、设水池长、高、宽分别为米，则其体积为

当时，所用水泥量为：

=++

四、设剪成的三段分别为，则围成的面积之和为

，且

这是条件极值问题。作函数为

由

得条件驻点，其中

由实际问题有解，而驻点唯一，故问题的解在驻点取得。

所求的最小面积为

五、1、令

则

2、由对称性得：

======

所以

又由对称性，只需计算在第一象限内的积分，然后八倍。而第一象限部分在面上的投影为：

因为，所以

所以=

3、作辅助曲面：，上侧

则

===

六、关系式两端关于求导得：

即

这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：

又，即，故，所以

七、令，则

又=

所以收敛，因而绝对收敛，故收敛。下载本文

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