数 学
(满分150分,考试时间120分钟)
一、选择题:本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均计零分
1．(2019浙江台州,1题,4分)计算2a－3a,结果正确的是( )
A.－1 －a D.a
【答案】C
【解析】合并同类项,相同的字母不变,系数相加减,2a－3a＝－a,故选C.
【知识点】整式的加减运算
2．(2019浙江台州,2题,4分)如图是某几何体的三视图,则该几何体是(
A.长方体 正方体 圆柱 球
第2题图
【答案】C
【解析】圆柱从正面看是长方形,从左面看底面是圆形,从上面看是长方形,符合图示的三视图
【知识点】几何体三视图
3．(2019浙江台州,3题,4分)2019年台州市计划安排重点项目344个,总投资595 200 000 000元.用科学记数法可将595 200 000 000表示为( )
A.5.952×1011 B.59.52×1010 C.5.952×1012 D.5952×109
【答案】A
【解析】595 200 000 000＝5.952×1011,故选A.
【知识点】科学记数法
4．(2019浙江台州,4题,4分)下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )
A.3,4,8 B.5,6,10 C.5,5,11 D.5,6,11
【答案】B
【解析】组成三角形的三边符合任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,只有B符合.
【知识点】三角形三边关系
5．(2019浙江台州,5题,4分)方差是刻画数据波动程度的量,对于一组数据x1,x2,x3,…,xn,可用如下算式计算方差：其中"5"是这组数据的( )
A.最小值 平均数 中位数 众数
【答案】B
【解析】方差反应的是一组数据的离散程度,故选B.
【知识点】方差
6．(2019浙江台州,6题,4分)一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路,如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需42min,甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题,设未知数x,y已经列出一个方程,则另一个方程正确的是( )
A.
【答案】B
【解析】从方程可以得到上坡的路程为xkm,平路的路程为ykm,且返程上坡成为了下坡,故方程为,故选B.
【知识点】二元一次方程组
7．(2019浙江台州,7题,4分)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则O的半径为( )
A. B.3 C.4 D.
第7题图
【答案】A
【解析】∵O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,
又∵AB＝AC,∴BO＝CO,∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO＝OA,
又∵在Rt△AOB中,,∴OD＝,故选A.
第7题答图
【知识点】切线的性质,角平分线的判定,三角函数,勾股定理
8．(2019浙江台州,8题,4分)如图,有两张矩形纸片ABCD和EFGH,AB＝EF＝2cm,BC＝FG＝8cm,把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上,使重叠部分为平行四边形时,且点D与点G重合,当两张纸片交叉所成的角最小时,tan等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当点B与点E重合时,重叠部分为平行四边形且最小,
∵两张矩形纸片全等,∴重叠部分为菱形,设FM＝x,∴EM＝MD＝8－x,EF＝2,
在Rt△EFM中,EF2+FM2＝EM2,即22+x2＝(8－x)2,解之得:x＝,∴tan＝＝,故选D.
【知识点】矩形,菱形,勾股定理,三角函数
9．(2019浙江台州,9题,4分)已知某函数的图象C与函数的图象关于直线y＝2对称.下列命题:①图象C与函数的图象交于点(,2);②点(,－2)在图象C上;③图象C上的点的纵坐标都小于4;④A(x1,y1),B(x2,y2)是图象C上任意两点,若x1>x2,则y1>y2.其中真命题是( )
A.①② B.①③④ ②③④ ①②③④
【答案】A
【解析】令y＝2,得x＝,这个点在直线y＝2上,∴也在图象C上,故①正确;令x＝,得y＝6,点(,6)关于直线y＝2的对称点为(,－2),∴点(,－2)在图象C上,②正确;经过对称变换,图象C也是类似双曲线的形状,没有最大值和最小值,故③错误;在同一支上,满足x1>x2,则y1>y2,但是没有时,不能保证上述结论正确,故④错误.综上所述,选A.
【知识点】反比例函数图象的性质,对称变换,交点坐标,增减性
10．(2019浙江台州,10题,4分)如图是用8块A性瓷砖(白色四边形)和8块B型瓷砖(黑色三角形)不重叠,无空隙拼接而成的一个正方形图案,图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为( )
A.:1 B3:2 C.:1 D.:2
第10题图
【答案】A
【思路分析】分割图形,选取一部分进行研究,利用正方形和等腰直角三角形的性质,分别计算白色和黑色部分的面积,进行计算即可.
【解析】如图,是原图的,过点E作EK⊥AC,作EF⊥BC,∴易证△AEK,△BEF为等腰直角三角形,设AK为x,则EK＝CF＝DF＝x,AE＝BD＝x,∴KC＝EF＝x,∴,
,∴故选A.
【知识点】正方形,等腰直角三角形
二、填空题:本大题共6小题,满分30分,只填写最后结果,每小题填对得5分.
11．(2019浙江台州,11题,5分)分解因式：ax2－ay2＝________.
【答案】a(x+y)(x－y)
【解析】因式分解的方法有提公因式法,公式法,ax2－ay2＝a(x2－y2)再用平方差公式继续进行因式分解ax2－ay2＝a(x2－y2)＝a(x－y)(x+y).
【知识点】因式分解
12．(2019浙江台州,12题,5分)若一个数的平方等于5,则这个数等于________.
【答案】
【解析】∵正数的平方根有两个,且互为相反数,故5的平方是.
【知识点】平方根
13．(2019浙江台州,13题,5分)一个不透明的布袋中仅有2个红球,1个黑球,这些球除颜色外无其它差别,先随机摸出一个小球,记下颜色后放回搅匀,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球颜色不同的概率是________.
【答案】
【解析】
第一次
第二次
| 红1 | 红2 | 黑 | |
| 红1 | (红1,红1) | (红1,红2) | (红1,黑) |
| 红2 | (红2,红1) | (红2,红2) | (红2,黑) |
| 黑 | (黑,红1) | (黑,红2) | (黑,黑) |
【知识点】概率
14．(2019浙江台州,14题,5分)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE,若∠ABC＝°,则∠BAE的度数为________.
第14题图
【答案】52°
【解析】∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D＝180°,∵∠B＝°,∴∠D＝116°,又∵点D关于AC的对称点是点E,∴∠D＝∠AEC＝116°,又∵∠AEC＝∠B+∠BAE,∴∠BAE＝52°.
【知识点】圆内接四边形,三角形外角定理,对称性
15．(2019浙江台州,14题,5分)砸"金蛋"游戏：把210个"金蛋"连续编号为1,2,3,…,接着把编号是3的整数倍的"金蛋"全部砸碎……按照这样的方法操作,直到无编号是3的整数倍的"金蛋"为止,操作过程中砸碎编号是"66"的"金蛋"共________个.
【答案】3
【解析】210÷3＝70∴第一轮后剩下210－70＝140个金蛋;(第一轮有1个)140÷3＝46……3,∴第二轮剩下140－46＝94个金蛋;(第二轮里有一个)94÷3＝31……1,∴第三轮剩下94－31＝63个金蛋;(第三轮里有一个)∵63＜66,∴第四轮没有,∴一共有3个.
【知识点】找规律
16．(2019浙江台州,15题,5分)如图,直线l1∥l2∥l3,A,B,C分别为直线l1,l2,l3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线l2于点D.设直线l1,l2之间的距离为m,直线l2,l3之间的距离为n,若∠ABC＝90°,BD＝4,且,则m+n的最大值为________.
第16题图
【答案】
【思路分析】作垂线,构造相似,得到比例式,把m+n用x表示, 通过求二次函数的最值求得m+n的最值.
【解题过程】过点B作BE⊥l1于点E,作BF⊥l3于点F,过点A作AN⊥l2于点N,过点C作CM⊥l2于点M,设AE＝x,CF＝y,则BN＝x,BM＝y,∵BD＝4,∴DM＝y－4,DN＝4－x,∵∠ABC＝90°,且∠AEB＝∠BFC＝90°,∠CMD＝∠AND＝90°,易得△AEB∽△BFC,△CMD∽△AND,∴,即,mn＝xy,∴,即,∴y＝10－,∵,∴n＝m,m+n＝m,∵mn＝xy＝x(10－)＝－x2+10x＝m2,当x＝时,mn取得最大值为,∴m2＝,∴m最大＝,∴m+n＝m＝.
第16题答图
【知识点】相似三角形,二次函数最值
三、解答题:本大题共8小题,满分90分,要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(2019浙江台州,17题,8分)计算：.
【思路分析】根据二次根式和绝对值的定义进行计算
【解题过程】.
【知识点】二次根式,绝对值
18．(2019浙江台州,18题,8分)先化简,再求值：,其中x＝.
【思路分析】先做减法,后约分,然后代入求值即可.
【解题过程】原式＝,当x＝时,原式＝＝－6.
【知识点】分式计算,因式分解
19．(2019浙江台州,19题,8分)图1是一辆在平地上滑行的滑板车,图2是其示意图,已知车杆AB长92cm,车杆与脚踏所成的角∠ABC＝70°,前后轮子的半径均为6cm,求把手A离地面的高度(结果保留小数点后一位;参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)
第19题图
【思路分析】①以点C为位似中心,延长AC,BC至A1,B1,使A1C＝2AC,B1C＝2BC;②过点C作AC,BC的垂线,截取A2C＝AC,B2C＝BC,连接A2B2;③点B的路径为圆弧,半径为BC的长,圆心角为90°,根据弧长公式可求.
【解题过程】过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ABD中,AB＝92,∠B＝70°,∴AD＝ABsinB＝86.48,∴A离地面高度为86.48+6≈92.5(cm),答：求把手A离地面的高度92.5cm.
第19题答图
【知识点】三角函数的应用
20．(2019浙江台州,20题,8分)如图1,某商场在一楼到二楼之间设有上,下行自动扶梯和步行楼梯.甲,乙两人从二楼同时下行,甲乘自动扶梯,乙走步行楼梯,甲离一楼地面的高度h(单位:m)与下行时间x(单位:s)之间具有函数关系h＝－x+6,乙离一楼地面的高度y(单位:m)与下行时间x(单位:s)的函数关系如图2所示.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)请通过计算说明甲,乙两人谁先到达一楼地面.
【思路分析】(1)用待定系数法得到解析式;(2)令函数值为零,求出两人到达一层的时间,比较可得结论.
【解题过程】(1)设y＝kx+b,将(0,6),(15,3)代入,k＝,b＝6,∴y＝x+6.
(2)对于甲:令h＝0,解得,z＝20,对于乙:令y＝0,解得,x＝30,∵20<30,∴甲比乙先到达一楼地面.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式,解一元一次方程
21．(2019浙江台州,21题,10分)安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害,为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动.在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民,就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查,将手机的数据制成如下统计图表.
活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表
| 类别 | 人数 |
| A | 68 |
| B | 245 |
| C | 510 |
| D | 177 |
| 合计 | 1000 |
B:经常戴
C:偶尔戴
D:都不戴
第21题图
(1)宣传活动前,在抽取的市民中哪一类别的人数最多?占抽取人数的百分之几?
(2)该市约有30万人使用电瓶车,请估计活动前全市骑电瓶车"都不戴"安全帽的总人数;
(3)小明认为,宣传活动后骑电瓶车"都不戴"安全帽的人数为178,比活动前增加了1人,因此交警部门开展的宣传活动没有效果.小明分析数据的方法是否合理?请结合统计图表,对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法.
【思路分析】(1)比较大小可得C类最多,进而求出所占百分比;(2)根据样本百分比估计总体中"都不戴"的人数;(3)作出结论应该比较占比大小,不能单纯比较数量得到结论.
【解题过程】(1)由表格数据可知,C类偶尔戴的市民人数最多,占比为:＝51%.
(2)(人),答:活动前全市骑电瓶车"都不戴"安全帽的总人数为53100人.
(3)不合理.∵活动开始前后调查的总人数不同,要比较所占百分比大小才能得到正确结论.活动开展前,"都不戴"占比为,活动开展后,"都不戴"占比为,
∵17.7%>8.9%,所占百分比下降,"每次戴"的比例有6.8%大幅度上升到44.8%,说明活动有效果.
【知识点】统计图,统计表,百分比及应用,样本估计总体
22．(2019浙江台州,22题,12分)我们知道,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3),可以由若干条对角线相等判定它是正多边形.例如,各条边都相等的凸四边形,若两条对角线相等,则这个四边形是正方形.
(1)已知凸五边形ABCDE的各条边都相等.
①如图1,若AC＝AD＝BE＝BD＝CE,求证:五边形ABCDE是正五边形;
②如图2,若AC＝BE＝CE,请判断五边形ABCDE是不是正五边形,并说明理由;
(2)判断下列命题的真假.(在括号内填写"真"或"假")
如图3,已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等.
①若AC＝CE＝EA,则六边形ABCDE是正六边形;( )
②若AD＝BE＝CF,则六边形ABCDE是正六边形;( )
【思路分析】(1)根据定义,利用全等,得到五个内角相等,则可证明其为正五边形;(2)根据已知条件,设法证明6个内奸相等,无法证明,故两个命题均为假命题.
【解题过程】(1)①在△EAD和△ABE中,AB＝EA,AE＝ED,BE＝AD,∴△EAD≌△ABE,
同理可得△EAD≌△ABE≌△BCA≌△CDB≌△DEC,∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB,
∴五边形ABCDE是正五边形;
②∵AC＝BE＝CE,AB＝BC＝CD＝DE＝EA,∴△ABC≌△EAB≌△DEC,∴设∠DCE＝∠ABE＝∠BCA＝x,易得△ACE≌△BEC,∴设∠ACE＝∠BEC＝y,∵EB＝EC,∴∠EBC＝∠ECB＝x+y,∴∠AED＝2x+y,∠BCD＝2x+y,
∵∠ABC＝2x+y,∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB,∴五边形ABCDE是正五边形;
(2)①假命题;②假命题;
【知识点】三角形全等,等边对等角,正多边形
23．(2019浙江台州,23题,12分)已知函数y＝x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(－2,4)
(1)求b,c满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;
(3)若该函数的图象不经过第三象限,当－5≤x≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.
【思路分析】(1)将点的坐标代入化简可得;(2)将(1)中所得关系代入,可得n和m的关系式;(3)根据对称轴进行分类讨论,得到关于b的方程,解方程,进行取舍后得到b的值.
【解题过程】(1)将点(－2,4)代入y＝x2+bx+c,得4＝(－2)2－2b+c,∴c＝2b,∴b,c满足的关系式是c＝2b.
(2)把c＝2b代入y＝x2+bx+c,得y＝x2+bx+2b,∵顶点坐标是(m,n),n＝m2+bm+2b,且m＝－,即b＝－2m,
∴n＝－m2－4m.∴n关于m的函数解析式为n＝－m2－4m.
(3)由(2)的结论,画出函数y＝x2+bx+c和函数y＝－x2－4x的图象.
∵函数y＝x2+bx+c的图象不经过第三象限,∴－4≤－≤0.
①当－4≤－≤－2,即4≤b≤8时,如图1所示,x＝1时,函数取到最大值y＝1+3b,x＝－时,函数取到最小值y＝,∴(1+3b)－＝16,即b2+4b－60＝0,∴b1＝6,b2＝－10(舍去);
②当－2<－≤0,即＝≤b<4时,如图2所示,x＝－5时,函数取到最大值y＝25－3b,x＝－时,函数取到最小值y＝,
∴(25－3b)－＝16,即b2－20b+36＝0,∴b1＝2,b2＝18(舍去);综上所述,b的值为2或6.
第23题答图
【知识点】二次函数的图象和性质,一元二次方程
24．(2019浙江台州,24题,14分)如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是BA延长线上的一点,连接PC交AD于点F,AP＝FD.
(1)求的值;
(2)如图1,连接EC,在线段EC上取一点M,使EM＝EB,连接MF,求证:MF＝PF;
(3)如图2,过点E作EN⊥CD于点N,在线段EN上取一点Q,使AQ＝AP,连接BQ,BN,将△AQB绕点A旋转,使点Q旋转后的对应点Q'落在AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上,并说明理由.
第24题图
【思路分析】(1)通过相似构造等量解得对应线段AF与FD的长度,来求解它们之间的比例;(2)通过连接PD,构造全等转化∠3与∠1相等,再利用第一问求得的AP的长度得到EP＝EC,从而得到∠1＝∠4,故转化∠3＝∠4,从而证明△PFD≌△FMC;(3)构造三角形,通过证明相似,求得对应线段长度,进行比较,从而得到结论.
【解题过程】(1)设AP＝x,则FD＝x,AF＝2－x,
∵在正方形ABCD中,AB∥CD,∴△PAF∽△CDF,
∴,∴,∴,∴解得,
∵x＞0,∴,∴
(2)连接DP,∵PA＝DF,∠PAD＝∠ADC,AD＝CD,∴△PAD≌△FDC,∴∠3＝∠2,PD＝FC,
又∵AB∥CD,∴∠1＝∠2,又∵EC＝,EB＝EM＝1,∴MC＝＝FD＝AP,
∴PE＝PA+AE＝+1＝＝EC,∴∠1＝∠4,∴∠4＝∠3,
又∵FD＝MC,PD＝FC,∴△PFD≌△FMC,∴PF＝FM
(3)如图2,在AD上取一点Q',使AQ'＝AQ,在BN上取一点B',使AB'＝AB,连接B'Q',作B'G⊥AD于点G,交EN于点K,∵tan∠NBE＝2,AB＝AB'＝2,∴BB'＝,B'N＝BN＝BB'＝,
∵△NB'K∽△NBE,∴B'K＝,KN＝,∴B'G＝,DG＝,
∴Q'G＝3－－＝－,
在Rt△B'GQ'中,∠B'GQ'＝90°,利用勾股定理可得B'Q'＝,
而,
∴B'Q'≠BQ,∴点B'不在BN上.
【知识点】相似三角形,一元二次方程,全等三角形,平行线,勾股定理下载本文
