一、问题引入

常见船上悬挂有红、蓝、白三种颜色的旗帜，代表了不同的信号、不同的含义，随着排列顺序不同、悬挂数目不同，能表达多少种不同的信号？

    路上有10盏路灯，为了节能，关闭其中三盏灯有多少种关法？如果三盏灯还要不相邻，又有多少种关法？

    这便是我们这一章节主要要学习、讨论的内容，先从最基本的计数原理讲起．

二、教学过程

1、（1）参照《课本》图，讨论从到的不同走法情况．

答：

2、乘法原理

例2、（1）展开后共有多少项？

（2）540的不同正约数有多少个？

例3、已知，，则共可以表示多少个不同的点？多少个第2象限点？多少个不在直线上的点？

例4、（1）0、1、2、3、4、5能组成多少四位数？

（2）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位数？

（3）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位奇数？

（4）1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的三位偶数？

例5、（1）已知，若，且互不相等，则可表示的所有一元二次方程有多少？

（2）若，，则能表示多少条不同的直线？

（3）若，，，可表示多少不同的圆？

§16.2 排列

一、教学过程

例1、判断下列问题是否排列问题：

（1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除），可得多少种不同的结果？

（2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘），可得多少种不同的结果？

（3）有12个车站，共需要准备多少种普通票？

（4）在（3）有多少种不同的票价？

（5）某班有50名同学，假期约定每2人通一次信，共需写信多少封？

（6）把（5）中写信问题改为会面，共需通电话多少次？

（7）把（5）中通信换成互赠照片，共需准备照片多少张？

例2、用排列数表示，其中，．

5、全排列

为了保证全排列时也能成立，我们规定．

例3、的个位数字是多少？

例4、解方程：

（1）          （2）          （3）

例5、求证：．

例6、从0，1，2，3，4中选取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中比200大的三位数有几个？

例7、15支球队进行双循环赛，即每队都要与其余各队在主客场分别比赛1场，共进行多少场比赛？（如改为单循环赛呢？）

例8、10个人排队，按以下要求有多少种不同排法？

（1）任意排成一排；

（2）排成两排，每排5人；

（3）甲不在队首；

（4）甲乙丙必须在奇数位上；

（5）甲在奇数位上，乙丙在偶数位上；

（6）甲乙丙三人必须在一起；

（7）甲乙丙三人必须在一起，丙又在甲乙中间；

（8）甲乙丙三人中任意两人不排在一起；

（9）甲始终坐在乙的右侧．

例9、5男5女共10个同学排成一行，

（1）女生都排在一起，有几种排法？

（2）女生与男生相间，有几种排法？

（3）任何两个男生都不相邻，有几种排法？

（4）5名男生不排在一起，有几种排法？

（5）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？

（6）5名男生坐在一起，男生甲在乙的右侧，有几种排法？

例10、用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位数中，若2，4，6次序一定，有多少种不同的七位数？如改为1，3，5，7次序一定呢？

§16.3 计数原理2—加法原理（分类计数原理）

一、教学过程

1、加法原理

2、注意

例1、给定数字0，1，2，3，4，5，每个数字最多用一次，

（1）可以组成多少个自然数？

（2）可以组成多少个奇数？

（3）可以组成多少个四位偶数？

（4）可以组成多少个比2300大的四位数？

（5）可以组成多少个比240135大的数？

（6）可以组成多少个能被5整除的四位数？

（7）可以组成多少个能被25整除的四位数？

例2、在3000和8000之间，有多少个无重复数字的奇数？

二、课后练习

1、将、、、、、六个不同元素排成一列，其中不排在首位，不排在末位，有几种排法？

2、从9本不同的书中取出6本排在书架上，满足下列条件之一，分别有几种方法？

（1）某一本书必须排在左端或右端；

（2）某一本书不能排在两端；

（3）某两本书，不能排在左端，不能排在右端．

§16.4 组合

一、教学过程

例1、解方程：．

例2、证明：．

5、组合的应用题

例3、现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，

（1）男甲、女A都必须当选，有几种选法？

（2）男甲必须当选，女A不能当选，有几种选法？

（3）至少有一个女同学当选，有几种选法？

（4）最多有三个女同学当选，有几种选法？

例4、要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？

（1）A、B、C三人必须入选；

（2）A、B、C三人不能入选；

（3）A、B、C三人只有一人入选；

（4）A、B、C三人至少一人入选；

（5）A、B、C三人至多二人入选．

例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，

（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？

（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？

例6、（1）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷．现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？

（2）由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌，也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？

例7、计算： 

例8、解方程：

（1）                （2）

例9、求值：（1）；（2）

例10、计算：

（1）；（2）；（3）

例11、证明： 

§16.5 二项式定理

一、教学过程

例1、求的二项展开式．

例2、求的二项展开式．

例3、（1）求的二项展开式的中间项；

（2）求的展开式中第四项的系数及二项式系数；

（3）求的展开式中的系数及二项式系数；

（4）求的二项展开式中的系数．

例4、（1）求的二项展开式中的常数项；

（2）求的二项展开式中的常数项；

（3）求的二项展开式中的有理项；

（4）若的二项展开式中的系数为，求的值．

例5、已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，求二项展开式中的所有有理项．

例6、（1）设的展开式中含有非零常数项，求正整数的最小值； 

（2）若（，）且，求．

例7、计算：

（1）；

（2）；

（3）；

例8、求被7除所得的余数．

二、二项式系数性质：

例8、求证：在的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．下载本文