一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.计算()53-⨯的结果等于（

）A.2

- B.2 C.15- D.15

【答案】C

【解析】

【分析】根据有理数的乘法法则运算即可求解．

【详解】解：由题意可知：()5315-⨯=-，

故选：C ．

【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，属于基础题，运算过程中注意符号即可．

2.tan 30︒的值等于（）

A.3

B.2

2 C.1 D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据30°的正切值直接求解即可．【详解】解：由题意可知，3tan 303

︒=

，故选：A ．

【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．

3.据2021年5月12日

《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（

）A.6

0.14117810⨯ B.51.4117810⨯ C.414.117810⨯ D.3141.17810⨯【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变

【详解】解：141178=1.41178×105，

故选：B．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．

4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．

【详解】A．是轴对称图形，故本选项符合题意；

B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．

故选A．

【点睛】本题考查判断轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．

5.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A. B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据三视图中的主视图定义，从前往后看，得到的平面图形即为主视图．

【详解】解：从正面看到的平面图形是3列小正方形，从左至右第1列有1个，第2列有2个，第3列有2个，

故选：D ．

【点睛】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据主视图的概念由立体图形得到相应的平面图形．

6.的值在(

)A.2和3之间

B.3和4之间

C.4和5之间

D.5和6之间【答案】C

【解析】

【分析】估算无理数的大小．

【详解】因为2224<5<,的值在4和5之间．

故选C ．

7.方程组234x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（）

A.02

x y =⎧⎨=⎩ B.11x y =⎧⎨=⎩ C.22x y =⎧⎨=-⎩ D.33

x y =⎧⎨=-⎩【答案】B

【解析】

【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可．

【详解】234x y x y +=⎧⎨+=⎩

①②，②-①得：32x y x y +--=，即22x =，

∴1x =．

将1x =代入①得：12y +=，

∴1y =．

故原二元一次方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩

．故选B ．

【点睛】本题考查解二元一次方程组．掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解答本题的关键．8.如图，ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()()()2,0,1,2,2,2---，则顶点D 的坐标是（

）

A.()4,1-

B.()4,2-

C.()4,1

D.()

2,1【答案】C

【解析】

【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．

【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

点B 的坐标为(-2，-2)，点C 的坐标为(2，-2)，

∴点B 到点C 为水平向右移动4个单位长度，

∴A 到D 也应向右移动4个单位长度，

∵点A 的坐标为(0，1)，

则点D 的坐标为(4，1)，

故选:C ．

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键．

9.计算

33a b a b a b ---的结果是（）A.3 B.33a b + C.1 D.6a

a b

-【答案】A

【解析】

【分析】先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式3，最后约分化简即可．【详解】原式33a b a b

-=

-，3()

a b a b -=-3=．

故选A ．

【点睛】本题考查分式的减法．掌握分式的减法运算法则是解答本题你的关键．

10.若点()()()1235,,1,,5,A y B y C y -都在反比例函数5y x =-

的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（）

A.123

y y y << B.231y y y << C.132y y y << D.312

y y y <<【答案】B

【解析】【分析】将A 、B 、C 三点坐标代入反比例函数解析式，即求出123、、y y y 的值，即可比较得出答案．

【详解】分别将A 、B 、C 三点坐标代入反比例函数解析式得：

1515y =-=-、2551y =-=-、3515

y =-=-．则231y y y <<．

故选B ．

【点睛】本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键．11.如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）

A.ABC ADC

∠=∠ B.CB CD = C.DE DC BC += D.AB CD

∥【答案】D

【解析】【分析】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，即可求出60ADC ∠=︒，由于60ABC ∠<︒，则可判断ABC ADC ∠≠∠，即A 选项错误；由旋转可知CB CE =，由于CE CD >，即推出CB CD >，即B 选项错误；由三角形三边关系可知DE DC CE +>，即可推出DE DC CB +>，即C 选项错误；由旋转可知DC AC =，再由60ADC ∠=︒，即可证明ADC 为等边三角形，即推出60ACD ∠=︒．即可求出180ACD BAC ∠+∠=︒，即证明

//AB CD ，即D 选项正确；

【详解】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，

∵点A ，D ，E 在同一条直线上，

∴18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒，

∵60ABC ∠<︒，

∴ABC ADC ∠≠∠，故A 选项错误，不符合题意；

由旋转可知CB CE =，

∵120EDC ∠=︒为钝角，

∴CE CD >，

∴CB CD >，故B 选项错误，不符合题意；

∵DE DC CE +>，

∴DE DC CB +>，故C 选项错误，不符合题意；

由旋转可知DC AC =，

∵60ADC ∠=︒，

∴ADC 为等边三角形，

∴60ACD ∠=︒．

∴180ACD BAC ∠+∠=︒，

∴//AB CD ，故D 选项正确，符合题意；

故选D ．

【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

12.已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应

的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；③7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（

）A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可

【详解】∵抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．

∴c =1＞0，a -b +c =-1,

4a -2b +c ＞1，∴a -b =-2,

2a -b ＞0，∴2a -a -2＞0，

∴a ＞2＞0，

∴b =a +2＞0，

∴abc ＞0，

∵230ax bx c ++-=,

∴△=24(3)b a c --=28b a +＞0,

∴230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；

∵b =a +2，a ＞2，c =1，

∴a +b +c =a +a +2+1=2a +3，

∵a ＞2，

∴2a ＞4，

∴2a +3＞4+3＞7，

故选D ．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.计算42a a a +-的结果等于_____．

【答案】5a

【解析】

【分析】根据合并同类项的性质计算，即可得到答案．

【详解】()424215a a a a a

+-=+-=故答案为：5a ．

【点睛】本题考查了整式加减的知识；解题的关键是熟练掌握合并同类项的性质，从而完成求解．

14.计算1)+的结果等于_____．

【答案】9

【解析】

【分析】根据二次根式的混合运算法则结合平方差公式计算即可．

【详解】21)19+=-=．

故答案为9．

【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解答本题你的关键．

15.不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．【答案】

37【解析】

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【详解】解：∵袋子有7个球，其中红球有3个，

∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是

37

，故答案为37．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现

m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n

．16.将直线6y x =-向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_____．

【答案】62

y x =--【解析】

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．

【详解】将直线y =-6x 向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为y =-6x -2．

故答案为y =-6x -2．

【点睛】本题考查一次函数图象的平移变换．掌握其规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．17.如图，正方形ABCD 的边长为4，对角线,AC BD 相交于点O ，点E ，F 分别在,BC CD 的延长线上，且2,1CE DF ==，G 为EF 的中点，连接OE ，交CD 于点H ，连接GH ，则GH 的长为________．

【答案】

2

【解析】【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH 和MG 的长，再求出MH 的长，最后利用勾股定理求解即可．

【详解】解:如图,作OK ⊥BC ，垂足为点K ，

∵正方形边长为4，

∴OK =2，KC =2，

∴KC =CE ，

∴CH 是△OKE 的中位线∴112

CH OK ==，

∴GM是△FCE的中位线，

∴

11

2

GM CE

==，()()

1115

41

2222

MC FC CD DF

==+=⨯+=，

∴

53

1

22 MH MC HC

=-=-=，

在Rt△MHG中，

2

GH===，

故答案为：

2．

【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等．

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC

的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．

（Ⅰ）线段AC 的长等于_____；

（Ⅱ）以AB 为直径的半圆的圆心为O ，在线段AB 上有一点P ，满足AP AC =，请用无刻度．．．

的直尺，在如图所示的网格中，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）_____．

【答案】

①.②.见解析

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算即可；

（Ⅱ）现将ACB △补成等腰三角形，然后构建全等三角形即可．

【详解】解：（Ⅰ）∵每个小正方形的边长为1，

∴AC ==

，

；

（Ⅱ）如图，取BC 与网格线的交点D ，则点D 为BC 中点，连接OD 并延长，与半圆相交于点E ，连接BE 并延长，与AC 的延长线相交于点F ，则OE 为BFA V 中位线，且AB AF =，连接AE 交BC 于点G ，连接FG 并延长，与AB 相交于点P ，因为FAP BAC ≌，则点P

即为所求．【点睛】本题主要考查复杂作图能力，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，掌握以上知识点并与已知图形结合是解决本题关键．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19.解不等式组43,65 3.x x x +≥⎧⎨≤+⎩①②

请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得_______________；

（Ⅱ）解不等式②，得_______________；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为___________．

【答案】（Ⅰ）1x ≥-；（Ⅱ）3x ≤；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析；（Ⅳ）13x -≤≤．

【解析】

【分析】根据解一元一次不等式组的步骤和不等式组的解集在数轴上的表示方法即可解答．

【详解】（Ⅰ）解不等式43x +≥，得：1x ≥-．

故答案为：1x ≥-；

（Ⅱ）解不等式653x x ≤+，得：3x ≤．

故答案为：3x ≤；（Ⅲ）在数轴上表示为：

；

（Ⅳ）原不等式的解集为13x -≤≤．

故答案为：13x -≤≤．

【点睛】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集．掌握解一元一次不等式组的步骤是解答本题的关键．

20.某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t ）

．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为________，图①中m的值为_______；

（Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．

【答案】（Ⅰ）50，20；（Ⅱ）这组数据的平均数是5.9；众数为6；中位数为6．

【解析】

【分析】（Ⅰ）利用用水量为5t的家庭个数除以其所占百分比即可求出本次接受调查的家庭个数；利用用水量为6.5t的家庭个数除以本次接受调查的家庭个数即得出其所占百分比，即得出m的值．

（Ⅱ）根据加权平均数的公式，中位数，众数的定义即可求出结果．

【详解】（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数=

850 16%=，

由题意可知10100%% 50

m

⨯=，

解得20

m=．

故答案为50，20．（Ⅱ）观察条形统计图，

∵

58 5.512616 6.51074 5.9

50

x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯

==，

∴这组数据的平均数是5.9．

∵在这组数据中，6出现了16次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数为6．

∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6，

即有666 2

+

=，

∴这组数据的中位数为6．

【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，加权平均数，中位数以及众数．从条形统计图与扇形统计图中找到必要的数据和信息是解答本题的关键．

21.已知ABC 内接于,,42O AB AC BAC =∠=︒ ，点D 是O 上一点．

（Ⅰ）如图①，若BD 为O 的直径，连接CD ，求DBC ∠和ACD ∠的大小；

（Ⅱ）如图②，若CD //BA ，连接AD ，过点D 作O 的切线，与OC 的延长线交于点E ，求E ∠的大小．

【答案】（Ⅰ）48DBC ∠=︒，21ACD ∠=︒；（Ⅱ）36E ∠=︒．

【解析】

【分析】（Ⅰ）由圆周角定理的推论可知90BCD ∠=︒，42BDC BAC ∠=∠=︒，即可推出9048DBC BDC ∠=︒-∠=︒；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出69ABC ACB ∠=∠=︒，从而求出21ACD BCD ACB ∠=∠-∠=︒．

（Ⅱ）连接OD ，由平行线的性质可知42ACD BAC ∠=∠=︒．由圆内接四边形的性质可求出

180111ADC ABC ∠=︒-∠=︒．再由三角形内角和定理可求出27DAC ∠=︒．从而由圆周角定理求出254DOC DAC ∠=∠=︒．由切线的性质可知90ODE ∠=︒．即可求出9036E DOE ∠=︒-∠=︒．

【详解】（Ⅰ）BD 为O 的直径，

∴90BCD ∠=︒．

∵在O 中，42BDC BAC ∠=∠=︒，

∴9048DBC BDC ∠=︒-∠=︒；

∵42AB AC BAC =∠=︒，∴1180692

()ABC ACB BAC ∠=∠=︒-∠=︒．∴21ACD BCD ACB ∠=∠-∠=︒．

（Ⅱ）如图，连接OD ．

∵CD BA ，

∴42ACD BAC ∠=∠=︒．

∵四边形ABCD 是圆内接四边形，69ABC ∠=︒，

∴180111ADC ABC ∠=︒-∠=︒．

∴18027DAC ACD ADC ∠=︒-∠-∠=︒．

∴254DOC DAC ∠=∠=︒．

∵DE 是O 的切线，

∴DE OD ⊥，即90ODE ∠=︒．

∴9036E DOE ∠=︒-∠=︒．

【点睛】本题为圆的综合题．考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，圆的内接四边形的性质以及切线的性质．利用数形结合的思想以及连接常用的辅助线是解答本题的关键．

22.如图，一艘货船在灯塔C 的正南方向，距离灯塔257海里的A 处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C 的南偏东40︒方向上，同时位于A 处的北偏东60︒方向上的B 处，救生船接到求救信号后，立即

前往救援．求AB 的长（结果取整数）．参考数据：tan 400.84︒≈取1.73．

【答案】AB 的长约为168海里．

【解析】

【分析】如图，过点B 作BH ⊥CA ，垂足为H ,解直角三角形即可

【详解】如图，过点B 作BH ⊥CA ，垂足为H ．

根据题意，60,40,257BAC BCA CA ∠=︒∠=︒=．

∵在Rt BAH △中，tan BH BAH AH ∠=，cos AH BAH AB ∠=，∴tan 603,2cos60AH BH AH AB AH =⋅︒===︒．

∵在Rt BCH 中，tan BH BCH CH ∠=

，

∴tan 40tan 40BH CH ==︒︒

．又CA CH AH =+，

∴257tan 40AH =+︒

．可得

AH =

．∴22570.84168

1.730.84AB ⨯⨯=≈=+．答：AB 的长约为168海里．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造高线构造出直角三角形，并灵活解之是解题的关键．23.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km ，陈列馆离学校20km ．李华从学校出发，匀速骑行0.6h 到达书店；在书店停留0.4h 后，匀速骑行0.5h 到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h 后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离km y 与离开学校的时间h x 之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）填表离开学校的时间/h

0.10.50.813

离学校的距离/km

212（Ⅱ）填空：

①书店到陈列馆的距离为________km ；

②李华在陈列馆参观学的时间为_______h ；

③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______km/h ；

④当李华离学校的距离为4km 时，他离开学校的时间为_______h ．

（Ⅲ）当0 1.5x ≤≤时，请直接写出y 关于x 的函数解析式．

【答案】（Ⅰ）10，12，20；（Ⅱ）①8；②3；③28；④

15或316；（Ⅲ）当00.6x ≤≤时，20y x =；当0.61x <≤时，12y =；当1 1.5x <≤时，1y x =-．

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据函数图象，利用待定系数法，分段写出函数解析式，根据表格中x ，代入相应的解析式，得到y ；

（Ⅱ）①根据图象进行分析即可；

②根据图象进行分析即可；

③根据4.55x <≤时的函数解析式可求；

④分00.6x ≤≤和5 5.5x <≤两种情况讨论，将距离为4km 代入相应的解析式求出时间x ；（Ⅲ）根据函数图象，利用待定系数法，分段写出函数解析式即可．

【详解】对函数图象进行分析：

①当00.6x ≤≤时，设函数关系式为y kx =，由图象可知，当x =0.6时，y =12，则12=0.6k ，解得20

k =∴当00.6x ≤≤时，设函数关系式为20y x

=②由图象可知，当0.61x <≤时，12

y =③当1 1.5x <≤时，设函数关系式为y kx b =+，由图象可知，当x =1时，y =12；当x =1.5时，y =20，则121.520k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1

k b =⎧⎨=-⎩∴当1 1.5x <≤时，设函数关系式为1

y x =-④由图象可知，当1.5 4.5x ≤≤时，20

y =⑤当4.55x <≤时，设函数关系式为y kx b =+，由图象可知，当x =4.5时，y =20；当x =5时，y =6，则 4.52056k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得28146

k b =-⎧⎨=⎩∴当4.55x <≤时，设函数关系式为28146

y x =-+⑥当5 5.5x <≤时，设函数关系式为y kx b =+，由图象可知，当x =5时，y =6；当x =5.5时，y =0，

则565.50k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1266

k b =-⎧⎨=⎩∴当5 5.5x <≤时，设函数关系式为1266

y x =-+（Ⅰ）∵当00.6x ≤≤时，函数关系式为20y x

=∴当x =0.5时，200.510y =⨯=．故第一空为10．

当0.61x <≤时，12y =．故第二空为12．

当1.5 4.5x ≤<时，20y =．故第二空为20．

（Ⅱ）①李华从学校出发，匀速骑行0.6h 到达书店；在书店停留0.4h 后，匀速骑行0.5h 到达陈列馆．由图象可知书店到陈列馆的距离2012=8-；

②李华在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校．由图象可知李华在陈列馆参观学的时间4.5 1.53-=；③当4.55x <≤时，设函数关系式为28146y x =-+，所以李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为28；

④当李华离学校的距离为4km 时，00.6x ≤≤或5 5.5

x <≤由上对图象的分析可知：

当00.6x ≤≤时，设函数关系式为20y x

=令4y =，解得1

5

x =当5 5.5x <≤时，设函数关系式为1266

y x =-+令4y =，解得31

6

x =∴当李华离学校的距离为4km 时，他离开学校的时间为

15或316．（Ⅲ）由上对图象的分析可知：

当00.6x ≤≤时，20y x =；

当0.61x <≤时，12y =；

当1 1.5x <≤时，1y x =-．【点睛】本题考查函数的图象与实际问题．解题的关键在于读懂函数的图象，分段进行分析．24.在平面直角坐标系中，O 为原点，OAB 是等腰直角三角形，90,OBA BO BA ∠=︒=，顶点()4,0A ，

点B 在第一象限，矩形OCDE 的顶点7,02E ⎛⎫-

⎪⎝⎭

，点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第二象限，射线DC 经过点B ．

（Ⅰ）如图①，求点B 的坐标；

（Ⅱ）将矩形OCDE 沿x 轴向右平移，得到矩形O C D E ''''，点O ，C ，D ，E 的对应点分别为O '，C '，D ¢，E '，设OO t '=，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积为S ．

①如图②，当点E '在x 轴正半轴上，且矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分为四边形时，D E ''与OB 相交于点F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；②当

5922t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）点B 的坐标为()2,2；（Ⅱ）①21717228S t t =-+-，t 的取值范围是1142t ≤<；②236388S ≤≤．【解析】

【分析】(I)过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ，由等腰三角形的“三线合一”性质得到122OH OA =

=，再由∠BOH =45°得到△OBH 为等腰直角三角形，进而2BH OH ==，由此求得B 点坐标；

(II)①由平移知，四边形O C D E ''''是矩形，得790,2O E D O E OE '''''∠=︒==

，进而得到72FE OE t '==-'，再由重叠部分面积OAB FOE S S S '=-即可求解；②画出不同情况下重叠部分的图形，分5722t ≤≤和7922

t <≤两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t 的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解．

【详解】解：(I)如图，过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ．

由点()4,0A ，得4OA =．

∵,90BO BA OBA =∠=︒，∴122

OH OA ==．又∠BOH =45°，

∴△OBH 为等腰直角三角形，

∴2BH OH ==．

∴点B 的坐标为()2,2．

(II)①由点7,02E ⎛⎫- ⎪⎝⎭

，得72OE =．由平移知，四边形O C D E ''''是矩形，得790,2O E D O E OE '''''∠=︒==．∴72OE OO O E t '''='=--

，90FE O ∠='︒．∵BO BA =，90OBA ∠=︒，

∴45BOA BAO ∠=∠=︒．

∴9045OFE BOA ∠=︒-∠='︒

∴FOE OFE ∠=∠''．∴72FE OE t '==-

'．∴2117222FOE S OE FE t '⎛⎫=⋅=- ⎪⎝'⎭

' ．∴211742222OAB FOE S S S t '⎛⎫=-=⨯⨯-- ⎪⎝⎭

．整理后得到：21717228

S t t =-+-．当'O 与A 重合时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时4OO t '==，

当'D 与B 重合时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到'E 与A 点重合，如下图(2)所示：

此时''

711222t OO DD ===+=，∴t 的取值范围是1142t ≤<，故答案为：21717228S t t =-+-，其中：1142t ≤<；②当5722t ≤≤时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积如下图3所示：此时'4AO t =-，∠BAO =45°，'AO F 为等腰直角三角形，

∴''4AO FO t ==-，

∴22'111''(4)48222AO F S AO FO t t t =

×=-=-+ ，∴重叠部分面积22'114(48)4422

AOB AO F S S S t t t t =-=--+=-+- ，∴S 是关于t 的二次函数，且对称轴为4t =，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将72

t =代入，得到最大值217731(442228S =-´+´

-=，将52t =代入，得到最小值2

1

5523(442228S =-´+´

-=，当7922t <≤时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积如下图4所示：

此时''4'AO OA OO t FO =-=-=，7'''2

OE EE EO t ME =-=-='AO F 和'OE M 均为等腰直角三角形，∴22'111''(4)48222AO F S AO FO t t t =

×=-=-+ ，22'1171749''(222228OE M S OE ME t t t =×=-=-+ ，∴重叠部分面积222''1174915814(48)()222828AOB OE M AO F S S S S t t t t t t =--=--+--+=-+- ，∴S 是关于t 的二次函数，且对称轴为154t =，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将154t =代入，得到最大值21515158163()424816S =-+´-=，将92t =代入，

得到最小值291598127()22288S =-+

´-=，∵272388>，6331168>，∴S 的最小值为238，最大值为6316，故答案为：2363816S ≤≤．【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论．

25.已知抛物线22y ax ax c =-+（a ，c 为常数，0a ≠）经过点()0,1C -，顶点为D ．

（Ⅰ）当1a =时，求该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）当0a >时，点()0,1E a +，若DE =，求该抛物线的解析式；

（Ⅲ）当1a <-时，点()0,1F a -，过点C 作直线l 平行于x 轴，(),0M m 是x 轴上的动点，()3,1N m +-

是直线l 上的动点．当a 为何值时，FM DN +的最小值为，并求此时点M ，N 的坐标．

【答案】（Ⅰ）抛物线的顶点坐标为(1,2)-；（Ⅱ）2112

y x x =--或23312y x x =--；（Ⅲ）点M 的坐标为7,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，点N 的坐标为11,16⎛⎫- ⎪⎝⎭

【解析】

【分析】（Ⅰ）结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得到答案

（Ⅱ）根据题意，得抛物线的解析式为221y ax ax =--；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D 的坐标为(1,1)a --；过点D 作DG y ⊥轴于点G ，根据勾股定理和一元二次方程的性质，得112a =，232

a =，从而得到答案；

（Ⅲ）当1a <-时，将点(1,1)D a --向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得(2,)D a '--；作点F 关于x 轴的对称点F '，当满足条件的点M 落在线段F D ''上时，根据两点之间线段最短的性质，得FM DN +最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得152

=-a ，从而得直线F D ''的解析式，通过计算即可得到答案．

【详解】（Ⅰ）当1a =时，抛物线的解析式为22y x x c =-+．

∵抛物线经过点(0,1)

C -∴001

c -+=-解得：1

c =-∴抛物线的解析式为221

y x x =--∵2221(1)2

y x x x =--=--∴抛物线的顶点坐标为(1,2)-；

（Ⅱ）当0a >时，由抛物线22y ax ax c =-+经过点(0,1)C -，可知1

c =-∴抛物线的解析式为221

y ax ax =--∴抛物线的对称轴为：1

x =当1x =时，1

y a =--∴抛物线的顶点D 的坐标为(1,1)a --；

过点D 作DG y ⊥轴于点G

在Rt DEG △中，1DG =，1(1)22EG a a a =+---=+，

∴2222

1(22)DE DG EG a =+=++在Rt DCG 中，1DG =，1(1)CG a a =----=，

∴22221DC DG CG a =+=+．

∵DE =，即228DE DC =，

∴()221(22)81a a

++=+解得：112a =，232

a =∴抛物线的解析式为2112

y x x =--或23312y x x =--．（Ⅲ）当1a <-时，将点(1,1)D a --向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得(2,)D a '--．作点F 关于x 轴的对称点F '，得点F '的坐标为(0,1)

a -当满足条件的点M 落在线段F D ''上时，FM DN +最小，

此时，FM DN F D '='+=过点D ¢作D H y '⊥轴于点H

在Rt FD H ' 中，2D H '=，(1)12F H a a a '=---=-，

∴22222(12)4F D F H D H a '-''=+=+．

又240F D ''=，即2(12)440a -+=．解得：152=-a ，272

a =（舍）∴点F '的坐标为70,2⎛

⎫- ⎪⎝⎭，点D ¢的坐标为52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭

．

∴直线F D ''的解析式为732y x =--

．当0y =时，76x =-

．∴76m =-，1136m +=∴点M 的坐标为7,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，点N 的坐标为11,16⎛⎫- ⎪⎝⎭

．【点睛】本题考查了二次函数、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、勾股定理、一元二次方程、平移的性质，从而完成求解．下载本文