数学（广东卷）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．已知集合{}

5Z A x x =∈<，{|24}≥x

B x =，则A B = （）

A ．(2,5)

B ．[2,5)

C ．{2,3,4}

D ．{3,4,5}2．已知点(4,9)A -，(6,3)B -，则以线段AB 为直径的圆的方程为（）

A ．(4)(6)(9)(3)61x x y y +-+-+=

B ．(4)(6)(9)(3)0x x y y +-+-+=

C ．(4)(6)(9)(3)61

x x y y -+++-=D ．(4)(6)(9)(3)0

x x y y -+++-=3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（

）

A ．y x x

=B ．1y x x =+

C ．x x

y e e -=-D ．2log y x

=4．已知正六边形ABCDEF 中，AB CD EF ++=

（）

A ．AF

B ．BE

C ．CD

D ．0

5．若5

(12)2(,)Q a b a b +=+∈，则a b +=（）

A ．60

B ．70

C ．80

D ．90

6．曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”可得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”可得羽音.则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（）

A ．2

3B ．

C ．

1627

D ．

81

7．已知函数()sin()ωϕf x A x =+（A ，ω，ϕ均为正常数），相邻两个零点的差为2

π

-

，对任意x ，2()3

π

≥f x f ⎛⎫

⎪⎝⎭

恒成立，则下列结论正确的是（）

A ．(2)(2)(0)

f f f <-f f f <<-

D ．(2)(0)(2)

f f f <<-8．若函数21

()x

ax f x e +=(e 为自然对数的底数)是减函数，则实数a 的取值范围是（

）

A ．0

≤a B ．1

≤a C ．0

a >D ．01

≤≤a 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾，经分拣以后统计数据如下表(单位：t)．根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（）

“厨余垃圾”箱

“可回收垃圾”箱

“其他垃圾”箱

厨余垃圾400100100可回收垃圾3024030其他垃圾

20

20

60

A ．厨余垃圾投放正确的概率为

2

3

B ．居民生活垃圾投放错误的概率为

3

10

C ．该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾

D ．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为1800010．函数()()R a

f x x a x

=+

∈的大致图像可能是（）

A

B

C D

11．已知方程2

2

sin sin 21θθx y -=，则（

）

A ．存在实数θ，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为

43

πB ．存在实数θ，该方程对应的图形是平行于x 轴的两条直线

C ．存在实数θ，该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线，且双曲线的离心率为

D ．存在实数θ，该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆，且椭圆的离心率为

33

12．三棱锥V ABC -中，ABC △是等边三角形，顶点V 在底面ABC 的投影是底面的中心，侧面VAB ⊥侧面VAC ，则（）

A ．二面角V BC A --的大小为

3

π

B C ．点V 到平面ABC 的距离与VC 的长之比为

33D ．此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为

3

9π

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．复数1i

2i

z +=

-的虚部是．

14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*

1(2)N n n S S n +=∈，则242n a a a +++=

．

15．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其表面积与体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为，该圆锥的内切球体积为．（第一空2分，第二空3分)

16．据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁．

已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过

天，蝗虫数量会达到4000亿只．（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}n a 满足：*

1(1)22,N ≥n n a a n n -+=∈，13a =．（1）求证：数列ln(1{})n a -是等差数列，（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．

18．（12分）已知等腰三角形ABC ，AB AC =，D 为边BC 上的一点，90DAC ∠=︒，再从条件①、条

件②、条件③中选择两个作为已知，求ABD △的面积及BD 的长．条件①6AB =；条件②1cos 3

BAC ∠=-；

条件③CD =．

注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分．

19．（12分）如图，在直角梯形AEFB 中，AE EF ⊥，且24BF EF AE ===，直角梯形11D EFC 可以通过直角梯形AEFB 以直角EF 为旋转轴得到．（1）求证：平面11C D EF ⊥平面1BC F ；（2）若二面角1C EF B --为

3

π

，求直线1C E 与平面1ABC

所成角的正弦值．20．（12分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y (单位：3

g /m )与样本对原点的距离x (单位：m )的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计理的

值．（表中1i i u x =，9119i i u u ==∑）．

x

y

u

9

2

1

()

i

i x x =-∑9

2

1

()

i

i u

u =-∑9

2

1

()

i

i y y =-∑91

()()i

i

i x x y y =--∑9

1

()()i

i i u

u y y =--∑6

97.900.21600.1414.1226.13

1.40

-（1）利用样本相关系数的知识，判断y a bx =+与d

y c x

=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型?

（2）根据（1）的结果回答下列问题：（i ）建立y 关于x 的回归方程；

（ii ）样本对原点的距离20x =时，金属含量的预报值是多少?

（3）已知该金属在距离原点 m x 时的平均开采成本W （单位：元）与x ，y 关系为1000(ln )

W y x =-(1100)≤≤x ，根据（2）的结果回答，x 为何值时，开采成本最大?

附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n t s t s t s

，其线性相关系数()

n

i

i t

t s s r --=

∑，

其回归直线αβs t =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1

2

1

()

ˆ()β

n

i

i i n

i

i t

t s s t

t ==--=-∑∑，ˆˆα

βs t =-．21．（12分）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为B ，直线:10m x y --=过椭圆C 的右焦点

F ，点B 到直线m 的距离为

2

2

．（1）求椭圆C 的方程；

（2）椭圆C 的左顶点为A ，M 是椭圆位于x 轴上方部分的一个动点，以点F 为圆心，过点M 的圆与x 轴的右交点为T ，过点B 作x 轴的垂线l 交直线AM 于点N ，过点F 作直线FE MT ⊥，交直线l 于点

E ．求

BE EN

的值．

22．（12分）已知函数()1ln x a

f x x

-=-，R a ∈．（1）讨论()f x 的零点个数；

（2）记方程ln 1x x =的根为0c ，如果关于x 的方程()f x a =有两个大于1的不等实数根，求a 的取值范围．

2021届高三年级综合能力测试（CAT ）（一）

数学（广东卷）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．已知集合{}

5Z A x x =∈<，{|24}≥x

B x =，则A B = （）

A ．(2,5)

B ．[2,5)

C ．{2,3,4}

D ．{3,4,5}

1．答案：C

解析：{}

5{4,3,2,1,0,1,2,3,4}A x x =∈<=----Z ，{|24}{|2}x

B x x x ==≥≥，所以{2,3,4}A B = ．

2．已知点(4,9)A -，(6,3)B -，则以线段AB 为直径的圆的方程为（）

A ．(4)(6)(9)(3)61x x y y +-+-+=

B ．(4)(6)(9)(3)0x x y y +-+-+=

C ．(4)(6)(9)(3)61x x y y -+++-=

D ．(4)(6)(9)(3)0

x x y y -+++-=2．答案：B

解析：在圆上任取一点(,)P x y ，则AP BP ⊥，

(4,9)(6,3)(4)(6)(9)(3)0AP BP x y x x y x y y ⋅=+-⋅-+=+-+-+=

，

当点P 与A 或B 重合时，上式仍然成立，所以圆的方程为(4)(6)(9)(3)0x x y y +-+-+=．3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（）

A ．y =

B ．1y x x

=+

C ．x

x

y e e

-=-D ．2log y x

=3．答案：C

解析：选项A ，y =[0,)+∞，不关于原点对称，所以不是奇函数；选项B ，1

y x x

=+

是奇函数，但是在区间(0,1)上单调递减；选项C ，设()x

x

f x e e

-=-，定义域为R ，且()()x

x f x e

e f x --=-=-，()f x ∴为奇函数，

又因为x

y e =是增函数，x

y e -=是减函数，所以()x

x

f x e e -=-在R 上单调递增；故C 正确．

选项D ，2log y x =是偶函数．

4．已知正六边形ABCDEF 中，AB CD EF ++=

（）

A ．AF

B ．BE

C ．C

D D ．0

4．答案：D

解析：如图，设正六边形的中心为O ，则EF OA = ，CD BO = ，

所以0AB CD EF AB BO OA ++=++=

．

5．若5

(1,)Q a a b +=+∈，则a b +=（

）

A ．60

B ．70

C ．80

D ．90

5．答案：B

解析：5

2

3

4

5

(1110105(4129a +=+⋅+⋅+⋅+=++41a ∴=，29b =，70a b +=．

6．曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”可得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”可得羽音.则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（）

A ．

2

3B ．

C ．

1627

D ．

81

6．答案：C 解析：11124216

11133333327

⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+

⋅-=⨯⨯=

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭．7．已知函数()sin()ωϕf x A x =+（A ，ω，ϕ均为正常数），相邻两个零点的差为2

π

-

，对任意x ，2()3

π

≥f x f ⎛⎫

⎪⎝⎭

恒成立，则下列结论正确的是（）

A ．(2)(2)(0)f f f <-<

B ．(0)(2)(2)f f f <<-

C ．(2)(0)(2)f f f -<<

D ．(2)(0)(2)

f f f <<-7．答案：A

解析：设函数()f x 的最小正周期为T ，则22T π=，T π∴=，22T

πω==，当23

x π

=

时，函数()f x 取得最小值，取 3.14π≈，则()f x 在[0.52,2.09]上单调递减，在[2.09,3.66]上单调递增，(2)(1.14)f f ∴-=，(0)(3.14)(1.04)f f f ==，(1.04)(1.14)(2)f f f >> ，

(0)(2)(2)f f f ∴>->，故选A

8．若函数21

()x

ax f x e +=(e 为自然对数的底数)是减函数，则实数a 的取值范围是（

）

A ．0≤a

B ．1

≤a C ．0

a >D ．01

≤≤a 8．答案：D

解析：依题意可知212()0x

ax f x e

ax +--'=≤恒成立，2

210ax ax ∴-+≥恒成立，当0a =时，该式显然成立；

当0a ≠时，2

01440a a a a >⎧⇒<⎨∆=-⎩

≤≤．综上可知，实数a 的取值范围是[0,1]．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾，经分拣以后统计数据如下表(单位：t)．根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（）

“厨余垃圾”箱

“可回收垃圾”箱

“其他垃圾”箱

厨余垃圾400100100可回收垃圾3024030其他垃圾

20

20

60

A ．厨余垃圾投放正确的概率为

2

3

B ．居民生活垃圾投放错误的概率为

310

C ．该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾

D ．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为180009．答案：ABC

解析：选项A ，厨余垃圾投放正确的概率为

4002

4001001003

=++，故正确；

选项B ，居民生活垃圾投放错误的概率为100100303020203

=100010

+++++，故正确；

可回收垃圾投放正确的概率为240424030305=++，其他垃圾圾投放正确的概率为603

6020205

=++，所以

该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾，故C 正确；选项D ，设1400x =，2100x =，3100x =，则200x =，

方差2

2221

[(400200)(100200)(100200)]200003

s =

-+-+-=，故D 错误．10．函数()()R a

f x x a x

=+∈的大致图像可能是（

）

A

B C D

10．答案：ABD

解析：当0a =时，()f x x =，对应选项A ；

当0a >时，当0x >时，()a f x x x =+为对勾函数的一部分，当0x <时，()a

f x x x =-+单调递减，对应选项B ；

当0a <时，当0x >时，()a f x x x =+

单调递增，当0x <时，()a a f x x x x x ⎛

⎫=-+=-- ⎪⎝

⎭，其中a x x -为对勾函数的一部分，对应选项D ．故选ABD ．11．已知方程2

2

sin sin 21θθx y -=，则（

）

A ．存在实数θ，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为

43

π

B ．存在实数θ，该方程对应的图形是平行于x 轴的两条直线

C ．存在实数θ，该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线，且双曲线的离心率为

D ．存在实数θ，该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆，且椭圆的离心率为33

11．答案：CD

解析：2

2

2sin sin cos 1x y θθθ-=⋅，

选项A ，若该方程对应的图形是圆，则必有2cos 1θ-=，1cos 2θ=-

，此时sin 2

θ=，方程为22

233x y +=

，此时圆的面积为23

3

π，故A 错误；选项B ，要使该方程对应的图形是平行于x 轴的两条直线，则必有sin 0θ=，但此时sin 20θ=，方程不

成立，故B 错误；

，则

11

sin 2sin cos θθθ

=，解得1

cos 2θ=，且sin 2θ=．此时方程为22

122

-=，故C 正确．

该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆，且椭圆的离心率为

3

3，则c a =222

a b c =+，可得2223b a =，可取212sin cos a θθ=-，2

1sin b θ=，2222cos 3b a θ=-=，解得1cos 3θ=-，22sin 3

θ=

，此时方程为

22

2242139

x y +=，故D 正确．12．三棱锥V ABC -中，ABC △是等边三角形，顶点V 在底面ABC 的投影是底面的中心，侧面VAB ⊥

侧面VAC ，则（）A ．二面角V BC A --的大小为

3

π

B

C ．点V 到平面ABC 的距离与VC 的长之比为

33D

．此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为

9π

12．答案：BCD

解析：将该三棱锥放在正方体当中，如图所示，设正方体的棱长为1，

选项A ，取BC 中点D ，连接AD ，VD ，则ADV ∠即为二面角V BC A --

的平面角，

tan AV ADV DV ∠=

=3

ADV π

∠≠，故A 错误；选项B ，此三棱锥的侧面积为1331122⨯⨯⨯=，

底面积为233

42

⨯=

，

侧面积与底面面积之比为，故B 正确；

在ADV △中，过点V 作VE AD ⊥，垂足为E ，易证得VE ⊥平面ABC ，2

1323AV DV

VE AD

⨯

⋅=

=，

所以C 正确；此三棱锥的体积111111326V ⎛⎫=

⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭

，外接球的半径32R =，外接球的体积3

24332V R π==，

所以

129V V π

=

．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．复数1i

2i

z +=-的虚部是．

13．答案：35

解析：1i (1i)(2i)13i

2i (2i)(2i)5

z ++++=

==

--+，其虚部为35．

14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*

1(2)N n n S S n +=∈，则242n a a a +++=

．

14．答案：

41

3

n -解析：由*

1(2)N n n S S n +=∈，可知数列{}n S 是首项为11S =，公比为2的等比数列，所以1

2n n S -=，

当1n =时，212S S =，即1212a a a +=，211a a ∴==，当2n ≥时，11

22222n n n n n n S a S ----=-=-=，

所以2

1

242141444

14413

n n n n a a a --+++=+++==-- ．15．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其表面积与体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为

，

该圆锥的内切球体积为．（第一空2分，第二空3分)15

．答案：，36π

解析：设圆锥的底面半径为r

，则高h =

，母线长2l r =，根据题意可得221

3

r h rl r πππ=+，

即

3

2223233

r r r r ππππ=+=，

解得r =，该三棱锥的内切球半径即为截面正三角形内切圆的半径，为

13333h r ==，所以内切球的体积343363

V ππ=⨯=．16．据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁．

已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过天，蝗虫数量会达到4000亿只．（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）．

16．答案：54

解析：设经过x 天，蝗虫数量x

y a =（单位：亿只），则15x =时，10y =，所以15

10a

=，1

15

10a =，

1510x y ∴=，令15

104000x =，则

lg 40002lg 23 3.615

x

==+≈，15 3.654x =⨯=天．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}n a 满足：*

1(1)22,N ≥n n a a n n -+=∈，13a =．（1）求证：数列ln(1{})n a -是等差数列，（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．

17．解析：（1）证明：（1）因为112(2,3,)n n a a n -+== ，则121n n a a -=-………………………1分所以1111122

ln(1)ln(1)ln

ln ln 211

n n n n n n a a a a a a ---------===--，2,3,n = ，…………………………4分

所以数列ln(1{})n a -是以首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列．……………………………………5分（2）由（1）得1ln(1)ln(1)(1)ln 2ln 2n

n a a n -=-+-=，…………………………………………7分则21n

n a =+………………………………………………………………………………………………8分

所以12(12)

2212

n n n S n n +-=

+=+-- (10)

分

18．（12分）已知等腰三角形ABC ，AB AC =，D 为边BC 上的一点，90DAC ∠=︒，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求ABD △的面积及BD 的长．条件①6AB =；条件②1cos 3

BAC ∠=-；

条件③CD =．

注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分．

18．选择①②，

因为AB AC =，6AB =，1cos 3

BAC ∠=-，所以,2BAC ππ⎛⎫

∠∈

⎪⎝⎭

，B C ∠=∠，2222··cos 96BC AB AC AB AC BAC =+-∠=．

所以BC =sin sin 3

C B ==

=

．……………………………………5分因为90DAC ∠=︒，所以1

sin sin cos 23

BAD BAC BAC π⎛⎫∠=∠-

=-∠= ⎪

⎝

⎭．………………7分

在Rt ACD △中，

cos AC DC C =

==分

所以BD BC CD =-=…………………………………………………………………………10分

所以ABD △的面积为1

sin 2

BD AB B ⨯⨯=……………………………………………………12分选择①③

因为90DAC ∠=︒，AB AC =，6AB =，CD =，所以6

cos cos 3

AC B C DC ==

=

…………………………………………………………………………5分

所以2

2

2

2cos AB BC AC BC AC C =+-⋅⋅，即BC =…………………………………………9分

所以BD BC CD =-=………………………………………………………………………………10分

所以ABD △的面积为1

sin 2

BD AB B ⨯⨯=……………………………………………………12分选择②③

因为AB AC =，1cos 3

BAC ∠=-，

所以sin sin 3

C B ==

………………………………………………………………5分

因为90DAC ∠=︒，CD =，所以·cos 6AC DC C ==……………………7分

所以BC =

………………………………………………9分

所以BD BC CD =-=10分

所以ABD △的面积为

1

sin 2

BD AB B ⨯⨯=………………………………………………………12分19．（12分）如图，在直角梯形AEFB 中，AE EF ⊥，且24BF EF AE ===，直角梯形11D EFC 可以通过直角梯形AEFB 以直角EF 为旋转轴得到．（1）求证：平面11C D EF ⊥平面1BC F ；（2）若二面角1C EF B --为

3

π

，求直线1C E 与平面1ABC 所成角的正弦值．

19．（1）证明：在直角梯形AEFB 中，AE EF ⊥，且直角梯形11D EFC 是通过直角梯形AEFB 以直线EF 为轴旋转而得，………………………………………………………………………………………………1分

分

（2）解：由（1）可知BF EF ⊥，1C F EF ⊥，因为二面角1C EF B --为3

π，所以13

C FB π

∠=

…………………………………………………………………………………………6分过点F 作平面AEFB 的垂线，如图，建立空间直角坐标系F xyz -．

由24BF EF AE ===，可得：(4,0,0)E

，1(0,2,C ，(0,4,0)B ，(4,2,0)A ，

所以(4,2,0)AB =-

，1(0,2,C B =-

，1(4,2,EC =-

，……………………………………9分设平面1ABC 的法向量为(,,)n x y z = ，则10

n AB n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

，即

420

20

x y y -+=⎧⎪⎨

-=⎪⎩，令1z =

，则y =，3

2x =

．于是32n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ………………………………………………11分所以直线1C E 与平面1ABC

所成角的正弦值为1

1

114

38

n EC n EC ⋅=

=

⋅

…………………12分20．（12分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y (单位：3

g /m )与样本对原点的距离x (单位：m )的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计理的

值．（表中1i i u x =，91

19i i u u ==∑）．

x

y

u

9

2

1

()

i

i x x =-∑9

2

1

()

i

i u

u =-∑9

2

1

()

i

i y y =-∑91

()()i

i

i x x y y =--∑9

1

()()i

i i u

u y y =--∑6

97.900.21600.1414.1226.13

1.40

-（1）利用样本相关系数的知识，判断y a bx =+

与d

y c x

=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型?

（2）根据（1）的结果回答下列问题：（i ）建立y 关于x 的回归方程；

（ii ）样本对原点的距离20x =时，金属含量的预报值是多少?

（3）已知该金属在距离原点 m x 时的平均开采成本W （单位：元）与x ，y 关系为1000(ln )

W y x =-(1100)≤≤x ，根据（2）的结果回答，x 为何值时，开采成本最大?

附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n t s t s t s ，其线性相关系数()

n

i

i t

t s s r

--=

∑，

其回归直线αβs t =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1

2

1

()

ˆ()β

n

i

i i n

i

i t

t s s t

t ==--=-∑∑

，ˆˆα

βs t =-．20．解析：（1）由题意知(,)i i x y 的线性相关系数为()()

9

10.8i

i

x x y y r --=

∑，………1分

(),i i u y 的线性相关系数为9

2()

0.996i

i u

u y y r --=

-∑，…………………………………2分

因为12r r <，故d

y c x

=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型……3分(i)令1

u x

=

，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于()()

()

9

1

9

2

1

1.40ˆ100.14

i

i i i i u

u y y d

u

u ==---==

=--∑∑，ˆ97.90100.21100c y du

=-=+⨯=，所以y 关于u 的线性回归方程为ˆ10010y

u =-，因此y 关于x 的回归方程为10

ˆ100y x

=-…………6分

(ii)由(i)知，20x =时，金属含量的预报值是10

ˆ10099.520

y

=-=……………………………………8分根据（2）的结果知，吸附物质储存成本W 的预报值

10ˆ()1000(ln )1000100ln (1100)W W x y x x x x ⎛⎫==-=-- ⎪

⎝⎭≤≤，………………………………9分故2210110ˆ()10001000(120)x W x x x x x -⎛⎫

'=-=⋅

⎪⎝⎭

≤≤，令()0W x '=，得10x =()W x 与()W x '在区间[1,100]的情况如下：

x [1,10)

10ˆ()W x '＋0

－ˆ()W

x ↗

1000(99ln10)

-↘

………………11分

所以，当10x =时，()W x 取得最大值．故10x =时，开采成本最大．……………………………12分

21．（12分）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为B ，直线:10m x y --=过椭圆C 的右焦点

F ，点B 到直线m 的距离为

2

2

．（1）求椭圆C 的方程；

（2）椭圆C 的左顶点为A ，M 是椭圆位于x 轴上方部分的一个动点，以点F 为圆心，过点M 的圆与x 轴的右交点为T ，过点B 作x 轴的垂线l 交直线AM 于点N ，过点F 作直线FE MT ⊥，交直线l 于点

E ．求

BE EN

的值．

21．解析：（1）由题意可知(,0)B a ．因为直线:10m x y --=过椭圆C 的右焦点F ，

所以点F 的坐标为(1,0)……………………………………………………………………………………1分

因为点B 到直线m 的距离为

22=．解得2a =．…………………………………2分又因为2

2

2

a b c =+，可以解得2

3b =．……………………………………………………………………3分

所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=．…………………………………………………………………………4分

（2）由（1）可知(2,0)A -，因为直线FE MT ⊥，由题意可知EF 平分MFB ∠．

所以点E 到直线MF 的距离d BE =．……………………………………………………………………5分设直线AM 为(2)(0)y k x k =+>，则(2,4)N k ．设(2,)E t ，00(,)M x y ．

由22(2)14

3y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(43)1616120k x k x k +++-=，

所以0∆>，20216243k x k -=-+，所以20283k x k -+=+，02

1243

k

y k =+．…………………………………7分①当MF x ⊥轴时，01,x =此时1

,2

k =

所以(2,2)N ．因为EF 平分MFB ∠，所以4

EFB π

∠=，可得(2,1)E ，所以1BE EN =．………………………………8分②当MF 不与x 轴垂直时，此时12k ≠

，02

04114MF y k

k x k ==--．所以直线MF 的方程为2

4(41)40kx k y k +--=．……………………………………………………9分因为点E 在直线MF 的右侧，所以2

8(41)40kx k t k +-->，所以点E 到直线MF

的距离2d =

=

．

284142kx k t k k +--=．所以2t k =．所以

1BE EN

=………………………………………11分

综上，

1BE EN

=．…………………………………………………………………………………………12分

22．（12分）已知函数()1ln x a

f x x

-=-，R a ∈．（1）讨论()f x 的零点个数；

（2）记方程ln 1x x =的根为0c ，如果关于x 的方程()f x a =有两个大于1的不等实数根，求a 的取值范围．

22．（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞ ，且ln ()ln x a x

f x x

--=

．

令()ln m x x a x =--，则()f x 的零点个数等价于()m x 在(0,1)(1,)+∞ 的零点个数…………1分由于11()1x m x x x

-'=-

=，所以()m x 在区间(0,1)单调递减，区间(1,)+∞单调递增，

且min ()(1)1m x m a ==-……………………………………………………………………………………3分所以当1a ≤时，()0m x ≥恒成立，即()f x 的零点个数为0；…………………………………………4分当1a >时，注意到1111

ln 0a a a a m a e e e e

⎛⎫⎛⎫=--=>

⎪ ⎝⎭⎝⎭，(1)0m <，()ln 220a a a a m e e a e e a ea a =--=->->，从而()f x 的零点个数为2．………………………5分

（2）解：由题意可知22

ln ln 1()(ln )(ln )

x a a

x x x x f x x x --

-+'=

=，因为当2

max{,}x e a >-时，ln 1ln 110a

x x x

-+

>-->，所以(),(1,)f x x '∈+∞不可能恒为负数……………………………………………………………………6分．若()0f x '≥在区间(1,)+∞上恒成立，即当(1,)x ∈+∞时，ln 10a

x x

-+≥恒成立，即ln a x x x -≥恒成立．

令()ln h x x x x =-，则()ln 0h x x '=-<，从而()h x 在区间(1,)+∞单调递减．

又因为(1)1h =，所以当()0f x '≥在区间(1,)+∞上恒成立时，1a ≥……………………………………7分

因为当1a <时，ln 1a

x x -+不可能恒为0，所以(),(1,)f x x '∈+∞的值有正有负，令()ln 1a g x x x =-+，则当1,(1,)a x <∈+∞时，22

1()0a x a

g x x x x

-'=-=>，所以(),(1,)g x x ∈+∞是增函数．

所以(),(1,)f x x '∈+∞有唯一零点，不妨设为0x ，……………………………………………………8分如果关于x 的方程()f x a =有两个大于1的不等实数根，则0()f x a <，因为00ln 10a

x x -+

=，所以000

11ln x a x a x --=-<，即01x a <+．所以ln(1)101a a a +-+

>+，即1

ln(1)1

a a +>+……………………………………………………9分因为方程ln 1x x =的根为0c ，所以0c e <，且01,c a <+即01c a -<．所以011c a -<<…………10分

又因为取12

101min ,a

x x e -⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭

时，112ln a x ->，所以1111120ln ln x a a a x x ---->->．

取122max 1,x a e ⎧⎫>+⎨⎬⎩⎭时21,2ln x >，所以222

1120ln ln x a a x x --->->……………………11分因此()f x 在0(1,)x ，0(),x +∞上各有且只有一个根，满足题意．所以a 的取值范围为0(1)1,c -……12分下载本文