重庆市巴蜀中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题含解析_动视

重庆市巴蜀中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题含解析

2025-09-27 23:24:42 责编:小OO

点击下载本文 文档为doc格式

重庆巴蜀中学2021-2022高一下学期月考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.已知()()2,3,,4a b m == ，若a b ⊥

，则m =（

）A.-6

B.6

D.-2

2.在△ABC 中，sin 455

A AC

B ==∠= ，则B

C =（）

A. B.

C. D.

3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ；若()

sin sin sin a A b B A c C +=，则C =（

）

A.30°

B.60︒

C.120︒

D.150︒

4.已知()4,1,0a b ==- ，且()

2a b b +⊥ ，则a 与b

的夹角为（

）

A.30°

B.60︒

C.120︒

D.150︒

5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos cos +=B a C c A b ，

lg sin lg 3lg 22

C =

-，则△ABC 的形状为()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

6.已知1tan 43

πα⎛⎫-= ⎪⎝

⎭，则2

sin 22cos 1αα+-=()

A.1

C.15

7.已知πsin α123⎛⎫-

= ⎪⎝

⎭，则πsin 2α3⎛⎫+= ⎪⎝⎭

（）

3 B.3

13 D.1

8.在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=

（）

A.-6

B.-8

C.-9

D.-12

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）

A.若//,//a b b c

，则//

a c

B.若a b = ，则23a b

C.对任意非零向量a

，a a

是和它共线的一个单位向量D.零向量没有方向

10.在△ABC 中，下列说法正确的是（

）

A.若2sin a b A =，则6

B π=

B.若A B >，则sin sin A B

C.45AB B ∠︒==

，若AC =

，则这样的三角形有两个

D.若222b c a +>，则△ABG 为锐角三角形11.下列说法正确的是（

）

A.在△ABC 中，12BD DC = ，E 为AC 的中点，则1263

DE AC AB

B.已知非零向量AB 与AC

满足()0AB AC BC AB AC

+⋅=

，则△ABC 是等腰三角形C.已知(1,2),(,1)a b λ=-= ，若a 与b

的夹角是钝角，则2

λAE BF ⋅=

12.已知函数(

)()2

cos ωcosωω0f x x x x =+

>，则下列说法正确的有（

）

A.若1ω2=

，则f （x ）的对称中心为ππ,06k k Z

⎛

⎫-∈ ⎪⎝

⎭B.若f （x ）向左平移

个单位后，关于y 轴对称则ω的最小值为1C.若f （x ）在（0，π）上恰有3个零点，则ω的取值范围是（32，116

]D.已知f （x ）在[

3π，2π]上单调递增，且ω为整数，若f （x ）在[m ，n ]上的值域为[1

2-，1]，则n m -的取值范围是[6π，3

]

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知()()3,40,1a b ==-

，则a 在b 上的投影向量是___________.

14.

2sin 35cos5sin 5

=________.15.李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多A 游客打卡拍照.阿伟为了测量李子坝站站台距离地面的高度AB ，采取了以下方法：在观最台的D 点处测得站台A 点处的仰角为45 ；后退15米后，在F 点处测很站台A 点处的仰角为30 ，已知阿伟的眼睛距离地面高度为 1.5CD EF ==米，则季子

坝站站台F 的高度AB 为___________米.

16.在 ABC 中，AB a AC b ==

，点D 在边AC 上，且满足2CD DA =，E 为AB 中点，CE 和BD 交于

点F ，G 是 ABC 的重心，则GF =___________（用a b

，表示）

四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向量()()()

2,1,3,4,1,2a b c =-=-=

（1）若c a b λμ=+

，求实数λ，u 的值；

（2）若()

//ma b c + ，求mb c + 与a

夹角的余弦值.

18.在①sin sin sin B C b a A b c +-=-；②cos cos 2C c

B a b

=-；这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以

解答.

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足.

（1）求角C ；

（2）若8a =，5b =，D 在线段AB 上，且满足37

AD AB =

，求线段CD 的长度

19.已知()32

cosαsin αβ5

=-=

，

,(0,)2παβ∈（1）求πcos 2α4⎛

⎫

⎪⎝

⎭

的值：（2）求()sin βa +的值.

20.为了庆祝重庆市直辖25周年，重庆市计划在部分主干道两旁的路灯杆上悬挂宣传板.该宣传板由两个三角形AB C 和PBC 拼接而成（如图），其中901ACB CPB AB CH AB ∠∠===⊥ ，，设

πα0,3CBA ∠⎛⎫=∈ ⎪

⎝⎭

，（1）若要达到最好的宣传效果，则需要满足PBC CBA ∠∠=，且CA PB +达到最大值，求α为多少时，

CA PB +达到最大值，最大值为多少？

（2）若要让宣传板达到最佳稳定性，则需要满足120PCH ∠= ，且CH CP +达到最大值，求a 为多少时，CH CP +达到最大值，最大值为多少？

21.已知向量()ππcos ω,sin 2ω,4sin ω,262a x x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭ ，其中0>ω，记()f x a b =⋅ ，且()f x 的最小正周期为π

（1）求()f x 的单调递增区间；

（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足222223a c b b

a c

b ⎧+=-⎨-=--⎩

，求()f C 的值.

22.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =

且

222223a c b cosA bc AD ⎛⎫

+-=-= ⎪⎝⎭

，（1）求△ABC 的面积；

（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，

求AG EF ⋅

的最小值.

高2024届高一（下）月考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

已知()()2,3,,4a b m == ，若a b ⊥

，则m =（

）

A.-6

B.6

-2

【1题答案】【答案】A 【解析】

【分析】由a

b ⊥

，得0a b ⋅= ，列方程可求出m 的值【详解】因为(2,3),(,4),a

b m a b ==⊥

，

所以

2120a b m ⋅=+=

，解得6m =-，故选：A

2.在△ABC

中，sin

455

A AC

B =

=∠= ，则BC =（）

【2题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理直接计算即可.

【详解】由正弦定理知，

sin sin BC AC

A B

,sin sin 2

AC A

BC B

∴=

，故选：D 3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c

；若

()

sin sin sin a A b B A c C +=，则C =（

）

30°

60︒ C.

120︒

150︒

【3题答案】【答案】D 【解析】

【分析】利用正弦定理将已知式转化为边的形式，然后再利用余弦定理可求得结果

【详解】因为sin (sin )sin a A b B A c C +=，

所以由正弦定理得2

()a b b c

++=，

化简得2

22a b c +-=，

所以由余弦定理得

222cos 222

a b c C ab ab +-===-

，因为(0,)C π∈，所以56

π=

，即

150C =︒故选：D

4.已知

()4,1,0a b ==- ，且()

2a b b +⊥ ，则a 与b

的夹角为（

）

30°

60︒

120︒

150︒

【4题答案】【答案】C 【解析】

【分析】由

(

)2a b b +⊥

，得()

20a b b +⋅= ，化简可得两向量的夹角

【详解】由(1,0)b =-

，得1b = ，

因为

(

)2a b b +⊥

，所以()

20a b b +⋅= ，

所以

20a b b ⋅+= ，

所以

cos ,20a b a b b

+= ，

因为

4a =

，

所以4cos ,20a b += ，所以1

cos ,2

a b =- ，

因为,[0,]a b π∈ ，所以2,3

a b π= ，即,120a b =︒ 故选：C

5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知

()2cos cos cos +=B a C c A b ，1

lg sin lg 3lg 22

C =-，则△ABC

的形状为()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

【5题答案】【答案】C 【解析】

【分析】结合

()2cos cos cos +=B a C c A b ，根据正弦定理边化角和三角恒等变换可求角B ；根据1

lg sin lg 3lg 22

C =-即可

求出C ，由此可判断三角形的形状.【详解】∵()2cos acos ccos B

C A b +=，

∴根据正弦定理得，()2cos sin cos cos sin sin B

A C A C

B +=，

()2cos sin sin +=B A C B ，

()2cos sin sin B B B π-=，

2cos sin sin B B B ⋅=，

()0,,sin 0B B π∈∴≠ ，1cos 2B ∴=

，3

B π∴=；

∵1lg sin lg 3lg 22C =

-，∴lg sin lg 2

C =，∴sin 2C =，()0,C π∈ ，3C π∴=

或23π，2,,333

B C C πππ

=∴≠∴= ，3

A B C π∴===

，∴△ABC 为等边三角形.

故选：C.

6.已知1tan 43πα⎛

⎫-=

⎪⎝

⎭，则2sin 22cos 1αα+-=(

)

A.1

【6题答案】【答案】B 【解析】

【分析】根据

1tan 43πα⎛

⎫-=

⎪⎝

⎭，结合正切的差角公式求出tan α，

222222

22sin cos cos 2tan 1tan s 2sin s t i in 1n 2cos a 1s n co ααα

αααα

αααα++-+-++=-=

，代值计算即可.

【详解】tan 11tan 3tan 31tan tan 2

41tan 3παααααα-⎛

⎫-==⇒-=+⇒=

⎪+⎝⎭

，

2222222

2sin cos cos 2tan 1tan s 2sin s t i in 1n 2cos a 1s n co ααα

αααα

αααα++-+-++=-=＝2

222121125

⨯+-=

+.故选：B.

7.已知πsin

α123⎛⎫-= ⎪⎝

⎭，则πsin 2α3⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）

【7题答案】【答案】C 【解析】

【分析】根据二倍角的余弦公式可得1

cos(2

)63

πα-=，利用诱导公式二、五可得

sin(2cos(236

ππ

αα+=-，进而得出结果.

【详解】因为sin(

123

πα-

=，

所以21cos(2cos[2()]12sin ()612123πππααα-=-=--=，

所以1

sin(2)cos[(2)]cos(2)]cos(2323663

πππππαααα+=-+=-=-=.

故选：C

8.在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅= （

）

A.-6

B.-8

C.-9

D.-12

【8题答案】【答案】A 【解析】

【分析】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFA

CFB βα

∠=∠=.由余弦定理得到

22cos 2r r α=-，和22

cos 8r r β=-.把

CF AB ⋅ 整理为CF AB ⋅ 22

cos cos r r βα=-，整体代入即可.

【详解】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFA

CFB βα

∠=∠=

由余弦定理得：

2222cos BC BF CF BF CF α

=+- ，即222cos r r α=-,所以22cos 2

r r α=-2222cos AC AF CF AF CF β=+- ，即228

cos r r β=-.所以2

2cos 8r

r β=-.

所以()

CF AB CF AF FB

+⋅=⋅

CF AF CF FB

=+⋅⋅ 22cos cos cos cos r FC FA FC FB FC FA FC F r B βαβα

=⋅⋅⋅⋅-=-=-

因为2

2cos 2r r α=-，22

cos 8r r β=-，

所以()

2222

cos cos 826CF AB r r r r βα⋅=-=---=- .

故选：A

【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：

(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法错误的是（）

A.若//,//a b b c

，则

// a c

B.若a

，则23a

C.对任意非零向量a

，

a a

是和它共线的一个单位向量 D.零向量没有方向

【9题答案】【答案】ABD 【解析】

【分析】对于A ，举例判断即可，对于B ，向量不能比较大小，对于C ，由单位向量的定义判断，对于D ，由向量的定义判断【详解】对于A ，当0b

时，满足//,//a b b c

，而a 与c 不一定共线，所以A 错误，

对于B ，因为向量是有方向和大小的量，所以向量不能比较大小，所以B 错误，

对于C ，因为a

是非零向量，所以

a a

是和它共线的一个单位向量，所以C 正确，

对于D ，因为向量是有方向和大小的量，所以零向量是有方向的，它的方向是任意的，所以D 错误，故选：ABD

10.在△ABC 中，下列说法正确的是（

）

A.若

2sin a b A =，则6

B π=

若A B >，则sin sin A B >

45AB B ∠︒==

，若AC =，则这样的三角形有两个

D.若2

22b c a +>，则△ABG 为锐角三角形

【10题答案】【答案】BC 【解析】

【分析】由正弦定理对选项ABC 进行变形求解，由余弦定理判断D ．

【详解】选项A ，

2sin a b A =由正弦定理得sin 2sin sin A B A =，三角形中sin 0A ≠，所以1

sin 2

B =

，而(0,)B π∈，所以

6B π

或56

B π=，A 错；选项B ，

△ABC 中，sin sin a b

A B

，所以sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，B 正确；选项C ，由于sin sin AB AC

C B

，sin 3C π

=，又

AC AB <，所以C B >，C 角可能为锐角也可能为钝角，三角

形有两解，C 正确；选项D ，2

22b c a +>，由余弦定理得cos 0A >，A 为锐角，但,B C 两个角大小不确定，不能得出其为锐角三角形，D 错．故选：BC ．

11.下列说法正确的是（

）

在△ABC 中，12BD DC = ，E 为AC 的中点，则1263

DE AC AB

已知非零向量AB 与AC

满足()0AB AC BC AB AC

+⋅=

，则△ABC 是等腰三角形

C.已知

(1,2),(,1)a b λ=-= ，若a 与b

的夹角是钝角，则2

λ3BE EC

=，点F 是CD 中点，则

AE BF ⋅=

【11题答案】【答案】AB 【解析】

【分析】对于A ，利用平面向量基本定理根据题意将DE

用

AB ，AC

表示出来再判断，对于B ，由向量的加法法则判断，对于C ，由题意可知，

a b ⋅<

，且两向量不共线，从而可求出λ的范围，对于D ，如图，以A 为原点建立直角坐标，表示,AE BF ，然后利用数量积的万物复苏示运算求解

【详解】对于A ，因为△ABC 中，12

BD DC =

，E 为AC 的中点，

所以2132

DE DC CE BC CA

=+=+ 21()32

AC AB AC =--

1263

AC AB =-

,所以A 正确，对于B ，因为AB 与AC

是非零向量，所以AB AC AB AC

所在的直线平分BAC ∠，

因为()0AB AC BC AB AC

+⋅=

，所以)AC

BC AC +⊥

，所以△ABC 是等腰三角形，所以B 正确，对于C ，因为a 与b

的夹角是钝角，所以

0a b ⋅< ，且两向量不共线，由0a b ⋅< ，得20λ-<，得2λ<，当a 与b 共线时，112

λ=

-，得12λ=-，所以当a 与b 的夹角是钝角时，2λ<且1

λ≠-，所以C 错误，

对于D ，如图，以A 为原点建立直角坐标，则由题意可得

(0,0),(4,0),(4,3),(2,4)A B E F ，

所以

(4,3),(2,4)AE BF ==- ，所以8124AE BF ⋅=-+=

，所以D 错误，

故选：AB

12.已知函数

()()2cos ωcosωω0f x x x x =+>，则下列说法正确的有（

）

A.若1ω2=

，则f （x ）的对称中心为ππ,06k k Z

⎛

⎫-∈ ⎪⎝⎭

B.若f （x ）向左平移

个单位后，关于y 轴对称则

ω的最小值为1

C.若f （x ）在（0，π）上恰有3个零点，则

ω的取值范围是（

32，116

]D.已知f （x ）在[

3π，2π]上单调递增，且ω为整数，若f （x ）在[m ，n ]上的值域为[12

-，1]，则n m -的取值范围是[6π，3π]

【12题答案】【答案】BCD 【解析】【分析】把

()f x 为化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的性质判断各选项．

【详解】

1cos 21

()sin 2sin(2)2262

x f x x x ωπωω+=

+=++,

选项A ，

12ω=

，1()sin(62

f x x π=++，6x k ππ+=，

6x k ππ=-

，对称中心是1

(,),62k k Z ππ-∈，A 错；选项B ，若f （x ）图象向左平移6π

个单位后得解析式为()sin[2()66g x x ππω=++sin(236

x ωππω=++，它的图象关于y 轴

对称，则362k ωππππ+=+，k Z ∈，

1ω=时，362

ωπππ

+=，满足题意，B 正确；

选项C ，f （x ）在（0，π）上恰有3个零点，即在(0,)π上1

sin(262

x πω+=-有三个解，

0x =时，266x ππω+=，且0>ω，因此

19232666πππωπ<+≤，解得311

ω<≤，C 正确；选项D ，

,32x ππ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

时，()f x 是增函数，0>ω，

22[,[,636622x k k k Z πωπππππωωπππ+

∈++-+∈，23

ωπωππ-≤，3ω≤，正整数ω只能取1，2，3，

1ω=，257[,[,]36666ωπππππωπ++=，不合题意，

2ω=，231335[,][,[,3662622ωπππππππ

ωπ++=⊆，满足题意，3ω=，21119[,][,]36666

ωπππππ

ωπ++=，不合题意，所以2ω=，1462f (x )sin(x )π=++，11

sin(4)1262

x π-≤++≤，

则11sin(4)62

x π-≤+≤，74666k x k πππ

ππ-

+≤+≤+，k Z ∈，由周期性，不妨取0k =，03x π

-≤≤，其中()16

f π-=-，

因此为了满足题意，必须有：

m π

时，06n π-≤≤或36m ππ-≤≤-

，

0n =，

因此

n m ππ

≤-≤，D 正确．故选：BCD ．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知()()3,40,1a b ==- ，则a 在b 上的投影向量是___________.

【13题答案】【答案】()0,4【解析】

【分析】根据平面向量投影向量的运算公式进行计算.【详解】a 在b 上的投影向量为()()()()3,40,10,10,411a b b b

b ⋅--⋅⋅=⨯= 故答案为：()

0,414.2sin 35cos5sin 5-

=________.【14题答案】

【分析】利用两角和的正弦公式求解.【详解】解：2sin 35cos5sin 5- ，

()2sin 305cos5sin 5+-=

，

12cos55cos522sin 5

⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭==

，

15.李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多A 游客打卡拍照.阿伟为了测量李子坝站站台距离地面的高度AB ，采取了以下方法：在观最台的D 点处测得站台A 点处的仰角为45 ；后退15米后，在F 点处测很站台A 点处的仰角为30 ，已知阿伟的眼睛距离地面高度为1.5CD EF ==米，则季子坝站站台F 的高度AB 为___________米

【15题答案】

【答案】182

【解析】

【分析】假设AG 长度，AGC 使用勾股定理，AEC △使用正弦定理，解出AG 高度，进而求出AB 高度.

【详解】假设AG 高度为x 米，则AC

米，对AEC △使用正弦定理得：sin sin AC CE AEC CAE

=行，

所以sin 30sin(4530)AC CE =-o o ，

所以15sin 30sin 45cos30cos 45sin 30=-o o o o o

，

所以1

解得151)2

x =+，

所以151318222

）==AB +，

故答案为：

182.

16.在 ABC 中，AB a AC b == ，点D 在边AC 上，且满足2CD DA =，E 为AB 中点，CE 和BD 交于点F ，G 是 ABC 的重心，则GF

=___________（用a b ，表示）【16题答案】【答案】

121515a b - 【解析】【分析】根据C ，F ，E 共线，设CF CE = λ，用,AB AC 表示AF ，同理由B ，F ，D 共线，设BF BD μ= ，用,AB AC 表示AF ，利用向量相等，求得AF

，再根据G 为重心，得到AG ，由GF AF AG =- 求解.【详解】解：如图所示：

因为C ，F ，E 共线，设CF CE = λ，

则()

12AF AC AE AC AB AC λλ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭

，所以()112

AF AB AC λλ=+-

，因为B ，F ，D 共线，设BF BD μ= ，则()

13AF AB AD AB AC AB μμ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭

，所以()113

AF AB AC μμ=-+

，所以()()111123AB AC AB AC λλμμ+-=-+

，

则112113λμμλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得453

5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，所以2155

AF AB AC =+

，又因为G 为重心，所以2113233

AB AC AG AB AC +=⨯=+ ，所以211112553315

15GF AF AG AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭ ，即121515

GF a b =-

，故答案为；121515

a b -

.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向量()()()

2,1,3,4,1,2a b c =-=-= （1）若c

a b λμ=+ ，求实数λ，u 的值；（2）若()

//ma b c + ，求mb c + 与a 夹角的余弦值.【17~18题答案】【答案】（1）2,1λμ==（2）45

-．【解析】【分析】（1）由平面向量线性运算的坐标表示求解；

（2）由平面向量共线的坐标表示求出参数

m 的值，然后由向量夹角的坐标表示计算．

【小问1详解】(23,4)a b λμλμλμ+=--+ ，所以23142λμλμ-=⎧⎨-+=⎩，解得21λμ=⎧⎨=⎩

；【小问2详解】

(23,4)ma b m m +=--+ ，()

//ma b c + ，则2(23)(4)0m m ---+=，解得2m =，(5,10)mb c +=-

，

()4cos ,5mb c a mb c a mb c a

+⋅<+>==-+ ．18.在①sin sin sin B C b a A b c +-=-；②cos cos 2C c B a b

=-；这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足

.（1）求角C ；

（2）若8a =，5b =，D 在线段AB 上，且满足

37AD AB = ，求线段CD 的长度

【18~19题答案】【答案】（1）3C π=；（2）7

CD =【解析】【分析】（1）选择条件①：利用正弦定理和余弦定理得到1cos 2C

=，即可求出角C ；选择条件②：把

cos cos 2C c B a b =-整理为2cos cos cos a C c B b C =+，利用正弦定理和诱导公式得到1cos 2C =，即可求出角C.（2）用向量表示3477CD CB CA =+

，利用数量积求模长.【小问1详解】选择条件①：

sin sin sin B C b a A b c

+-=-.由正弦定理得：b c b a a b c +-=-，即222b c ab a -=-，所以222b a c ab +-=.由余弦定理得：2221cos 222

a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈,所以3C π

=.选择条件②：cos cos 2C c B a b

=-.所以2cos cos cos a C b C c B -=，即2cos cos cos a C c B b C

=+由正弦定理得：

2sin cos sin cos sin cos A C C B B C =+，即()2sin cos sin +A C C B =.因为A B C π++=，所以B C A +=π-,所以()()sin sin sin B C A A π+=-=.

因为

()0,A π∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2C =.因为()0,C π∈,所以3C π

【小问2详解】

因为D 在线段AB 上，且满足37AD AB = ，所以()33347777CD CA AD CA AB CA CB CA CB CA ==+==

.所以22227234934169.774974CD CB CA CB CB CA CA ⎛⎫== ⎪++⨯⎝⎭

+ 2

2934116858549772249

=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯1459

所以7CD

19.已知()3cosαsin αβ52

=-=，,(0,)2παβ∈（1）求πcos 2α4⎛⎫- ⎪⎝⎭

的值：

（2）求()sin βa +的值.【19~20题答案】【答案】（1）50（2）50【解析】

【分析】（1）先由cos α，求出sin α，再利用二倍角公式可求出cos 2,sin 2αα，然后利用两角差的余弦公式化简计算，

（2）由sin()αβ-，可求出cos()αβ-，而2()αβααβ+=--，利用两面三刀角和的正弦公式化简计算

【小问1详解】因为3cos ,0,52παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭

，

所以4sin 5α===，所以4324sin 22sin cos 25525

ααα==⨯⨯=，2167cos 212sin 122525

αα=-=-⨯=-，所以cos 2cos 2cos 2sin 444πππααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭

72425225250

=-⨯+⨯=，【小问2详解】因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭

因为sin()2αβ-=，

所以()cos 2αβ-==，

所以sin()sin[2()]

αβααβ+=--sin 2cos()cos 2sin()

ααβααβ=---

24725225250

⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭

20.为了庆祝重庆市直辖25周年，重庆市计划在部分主干道两旁的路灯杆上悬挂宣传板.该宣传板由两个三角形AB C 和PBC 拼接而成（如图），其中901ACB CPB AB CH AB ∠∠===⊥ ，，设πα0,3CBA ∠⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭

，（1）若要达到最好的宣传效果，则需要满足

PBC CBA ∠∠=，且CA PB +达到最大值，求α为多少时，CA PB +达到最大值，最大

值为多少？（2）若要让宣传板达到最佳稳定性，则需要满足120PCH ∠= ，且CH CP +达到最大值，求a 为多少时，CH CP +达到最大值，最大值为多少？

【20~21题答案】【答案】（1）详见解析；

（2）详见解析.【解析】【分析】（1）分别在

Rt ABC 和Rt PBC △中，利用三角函数的定义得到22cos sin sin sin 1CA PB αααα+=+=-++求解；（2）由2211ABC S AC B BC A CH =⋅⋅= ，得到sin cos CH αα=⋅，由()cos 12090PC BC α⎡⎤=⋅--⎣⎦ ，得到

CH CP +13sin 2234πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭求解.【小问1详解】解：如图所示：

在

Rt ABC 中，sin sin ,cos cos CA AB CB AB αααα=⋅=⋅=，

在Rt PBC △中，2cos cos PB CB αα=⋅=，所以22cos sin sin sin 1CA PB αααα+=+=-++，

令3sin 0,2t α⎛=∈ ⎝⎭

，

则21y t t =-++，

21524

t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当12t =，即6πα=时，CA PB +达到最大值，最大值为54；【小问2详解】因为22

11ABC S AC B BC A CH =⋅⋅= ，又sin ,cos AC BC αα==，所以sin cos CH αα

=⋅，

()cos 12090PC BC α⎡⎤=⋅--⎣⎦ ，

()cos 30BC α=⋅+ ，

()cos cos 30αα=⋅+

，

21sin cos 22ααα=-⋅，

所以21cos sin cos 22

CH CP ααα=+⋅+

，12sin 2444

αα=++

，1sin 2234

πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，所以2,33ππαπ⎛⎫+

∈ ⎪⎝⎭，

所以sin 23πα⎛

⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当232

ππα+=，即12πα=时，CH CP +

达到最大值，最大值为

24+.21.已知向量()ππcos ω,sin 2ω,4sin ω,262a x x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭ ，其中0>ω，记()f x a b =⋅ ，且()f x 的最小正周期为π

（1）求()f x 的单调递增区间；

（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足222223

a c

b b a

c b ⎧+=-⎨-=--⎩，求()f C 的值.

【21~22题答案】【答案】（1）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）1-【解析】

【分析】（1）由向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简变形可得()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝

⎭，再由周期为π，可求出1ω=，从而可求得函数解析式，再由222,262

k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，可求出其增区间，

（2）先解已知的方程组可得221134241344a b b c b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

，然后利用余弦定理可求出角C ，从而可求出()f C 的值【小问1详解】因为()cos ,sin 2,4sin ,262a x x b x ππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭

()4sin cos 2sin 262f x a b x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=⋅=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

4sin cos cos sin sin 2cos 266x x x x ππωωωω⎛⎫=++ ⎪⎝

⎭14sin sin 2cos 222x x x x ωωωω⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝

⎭

2cos 2sin

2cos 2x x x x

ωωωω=+

+2cos 21x x ωω=++2sin 216x πω⎛⎫=++ ⎪⎝

⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝

⎭，由222,262

k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得,36

k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦

，【小问2详解】

由2

22223a c b b a c b ⎧+=-⎨-=--⎩，解得2211342413

44a b b c b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以2222

()()cos 22a b c

a c a c

b C ab ab +-+-+==

22111322221132424b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

=⎛⎫-- ⎪⎝⎭32321131

413222

b b b b b b -++==---因为()0,C π∈，所以23C π=，所以223()2sin 212sin 113362f C f ππππ⎛⎫⎛⎫==⨯++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

22.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =

且

222223a c b cosA bc AD ⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭

，（1）求△ABC 的面积；

（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅ 的最小值.

【22~23题答案】【答案】（1）245（2）4825

【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理求得b =6.设ADB θ∠=,则ADC πθ∠=-，利用余弦定理可得：表示出()cos ,cos πθθ-，

列方程解得边长5a

.求出4sin 5A =,即可求得△ABC 的面积；（2）设AE m = ，AF n = 由△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，得到6mn =.利用平面向量的运算表示出()()26mn mn AG AB AC m n m n =

+++ ，62n m EF AC AB =-

,得到24812156AG EF m ⎛⎫⋅=-+ ⎪+⎝⎭

，利用函数求最值.【小问1详解】

由余弦定理得：2222cos a c b ac B =+-，所以222223a c b cosA bc ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭可化为：22cos 23ac B cosA bc ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，即1cos .3a B bcosA b +=由正弦定理得：1 sin cos sin sin 3A B

BcosA A +=，所以1sin sin 3A B B +=（）因为C A B π++=，所以C A B π+=-，所以sin sin C sinC A B π+=-=，

即1sinC

sin 3B =.由正弦定理得：c 13

b =.因为2

c =，所以b =6.在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，所以62CD AC BD AB ==,不妨设,3BD t CD t ==.设ADB θ∠=,则ADC πθ∠=-.

由余弦定理可得：22222225cos 25

t AD BD AB AD BD θ⎛⎫+- ⎪+-==⋅，(

)(

)222222365cos 25

t AD CD AC AD CD πθ⎛⎫+- ⎪+--==⋅因为()cos cos πθθ-=-

(

)22222223655055

t t ⎛⎫⎛+-+- ⎪ ⎪

，解得：5t =.

所以边长45a t ==.

由余弦定理可得：2

222222653cos 2265

AB AC BC A ⎛+- +-⎝⎭===⨯⨯,且()0,A π∈，

所以4sin 5A ===,所以△ABC 的面积为11424sin 622255

bc A =⨯⨯⨯=.【小问2详解】设AE m = ，AF n = .

因为△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，所以

11412sin 2255mn A mn =⨯=，所以6mn =.因为AD 为∠BAC 的角平分线，所以31CD BD =，所以3144AD AB AC =+ 设3134444AG AD AB AC AB AC λλλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭

因为E 、F 、G 三点共线，所以()()1126m n AG AE AF AB AC μμμμ=+-=+-

所以()342146

m n λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去λ，得到n m n μ=+.所以()()26mn mn AG AB AC m n m n =+++

.而62

n m EF AC AB =- ,所以()()2662mn mn n m AG EF AB AC AC AB m n m n ⎡⎤⎛⎫=+⋅-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦

()12362mn n m AB AC AC AB m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

()2222186mn m n n m AB AC AC AB m n -⎛⎫=-++⋅ ⎪+⎝⎭

.而336cos 2655AC AB AC AB A ⋅=⨯⨯=⨯⨯= .

所以()()()

836222655mn n m mn n m AG EF n m m n m n --⎛⎫⋅=-+⨯= ⎪++⎝⎭

因为6mn =，02,06m n <≤<≤，所以606m

<≤，解得：12m ≤≤，所以()()2228488121656565m m m AG EF m m m m ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭⋅===-+ ⎪+⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝

⎭ .因为12m ≤≤，所以214m ≤≤，所以27610m ≤+≤，所以21111067

m ≤≤+，所以21212121067m ≤≤+，所以2212511067

m ≤-+≤+，所以248481248125567m ⎛⎫≤-+≤ ⎪+⎝⎭，所以AG EF ⋅ 的最小值为4825

.【点睛】（1）在几何图形中进行向量运算:①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.

（2）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择．下载本文

显示全文

全部频道