参及评分标准
一．填空题（本大题满分56分） 2011.12.31
1. ；2. 理，文； 3. 理，文；4. ；5. 理，文4；6.；7.理0，文1；8.理0.35，文0.30； 9. 80；10. ；
11.理 在圆外，文1；12. 理，文；13. 理 ，文； 14. 理49，文
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题
15. C ； 16. A ； 17. A ； 18.B；
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题
19. 【解】 设异面直线与所成角的大小， 底边长为,
则依题意得 ……4分
故 ，
……7分
∥，故直线与所成角的大小为所求 ……9分
． ……12分
（其他解法,可根据上述【解】的评分标准给分）
20.理:
（1）【解1】.
由 得 ，故, ……2分
由正弦定理得 ……4分
……5分
……7分
【解2】. 由，
余弦定理得
整理得，
．
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）
（2）即 ……10分
又, ……12分
故 所以，为等边三角形． ……14分
文:
【解1】. 由 ,
由正弦定理得 ……4分
……5分
． ……7分
【解2】. 由，
余弦定理得
整理得，
．
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）
21. （1）【解】
①（理）若是“函数”，则存在实数对，使得，
即时，对恒成立 ……2分
而最多有两个解，矛盾，
因此不是“函数” ……-3分
（文）若是“函数”，则存在实数对，使得，
即时，对恒成立 ……2分
而最多有两个解，矛盾，
因此不是“函数” ……3分② 答案不唯一：如取，恒有对一切都成立， ……5分
即存在实数对，使之成立，所以，是“函数”． ……6分
一般地：若是“函数”，则存在实数对，使得
即存在常数对满足，故是“函数”．
（2）解 函数是一个“函数”
设有序实数对满足，则恒成立
当时，，不是常数； ……8分
因此，当时，
则有， ……10分
即恒成立，
所以 ……13分
当时，
满足是一个“函数”的实数对
……14分
22. 理:
（1）【解】由，得 ……3分
（2）【解】由 得 ……8分
所以，是首项为1，公差为的等差数列 ……9分
（3）【解】由（2）得 ……-10分
当时 ，，当时，上式同样成立， ……12分
所以
因为，所以对一切成立， ……14分
又随递增，且，所以，
所以， ……16分
文:
(1) 【解】. 由得 所以 准线为 ……3分
(2) 【解】. 由得 所以,焦点坐标为 ……4分
由作准线 的垂线,垂足为 ,当且仅当三点共线时,
的最小值，为, ……7分
此时点的坐标为 ……9分
(3)【解1】
设点的坐标为,边所在的方程为(显然存在的), ① ……10分
又的斜率为,则有 ,既代入① ……14分
故点轨迹为 (注:没写扣1分) ……16分【解2】
设点的坐标为,由边所在的方程过定点, ……10分
……12分
,
所以, , 既 ……16分
(注:没写扣1分)
23. 理:
(1) 【解】. 由得 所以,焦点坐标为 ……3分
(2) 【解1】设点的坐标为,边所在的方程为(显然存在的),与抛物线交于
则得, ……5分
又点在抛物线上,故有,
或(舍)
-------① ……7分
又的斜率为,则有 ,既代入①
故点轨迹为 (注:没写扣1分) ……9分
另解:由上式①过定点, ,
所以, , 既
【解2】设点的坐标为,方程为,由得方程为
,则得, 同理可得
方程为恒过定点,
,
所以, , 既
(注:没写扣1分)
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）
(3) 【解1】
若存在边所在直线的斜率为的正三角形,设,
(其中不妨设), 则 , ------① ……11分
令,则,即
将①代入得,,
-----------------② ……13分
线段的中点为,由①, ②得的横坐标为,
的纵坐标为 ……15分
又设 由得
点在抛物线上,则,即,
又因为 , ……18分
【解2】
设,
的三边所在直线的斜率分别是
------① ……12分
若边所在直线的斜率为,边所在直线和轴的正方向所成角为
,则,
所以 ……14分
即-----②
又--------------③ ……16分
所以,
将②, ③代入上式得边长 ……18分
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）
文:
（1）【解】由，得 ……3分
（2）【解】由 得 ……8分
所以，是首项为1，公差为的等差数列 ……9分
（3）【解】
由（2）得 ……11分
当时 ，，当时，上式同样成立， ……13分
所以
因为，所以对一切成立， ……16分
又随递增，且，所以，
所以， ……18分下载本文
