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参与试题解析

一、填空题（每题5分）

1．（5分）++++++++．

【分析】通过分析式中数据发现：=+，=+，=+=+，所以可将式中的后四个分数拆分后根据加法结合律进行巧算．

【解答】解：++++++++

=++++++++++++，

=++++++++++++，

=（++）+（+）+（++）+（++）+（），

=1+1+1+1+1，

=5．

2．（5分）小鹏同学在一个正方体盒子的每一个面上都写上一个字，分别是：我、喜、欢、数、学、课，正方体的平面展开图如右图所示，那么在该正方体盒子中，和“我”相对的面所写的字是　学　．

【分析】如图，根据正方形展开图的11种特征，属于“1﹣3﹣2”型，折叠成正方体后，“我”与“学”相对，“喜”与“数”相对，“欢”与“课”相对．

【解答】解：如图，

折叠成正方体后，“我”与“学”相对，“喜”与“数”相对，“欢”与“课”相对．

故答案为：学．

3．（5分）1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有　228　个．

【分析】1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有个，3和7的倍数有个，5和7的倍数有个，3、5和7的倍数有个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数共有133﹣19+95﹣19+57﹣19=228个．

【解答】解：根据题干分析可得：1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有个，

3和7的倍数有个，

5和7的倍数有个，

3、5和7的倍数有个．

所以恰好是3、5、7中两个数的倍数共有133﹣19+95﹣19+57﹣19=228（个）

答：恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 228个．

故答案为：228．

4．（5分）一项机械加工作业，用4台A型机床，5天可以完成；用4台A型机床和2台B型机床3天可以完成；用3台B型机床和9台C型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作5天后，剩下A、C型机床继续工作，还需要　3　天可以完成作业．

【分析】把这项任务看作单位“1”，根据工作量÷工作时间=工作效率，分别求出A、B、C三种机床每台每天的工作效率，再求出3种机床各取一台工作5天后，剩下的工作量，然后用剩下的工作量除以A、C两种机床的工作效率和即可．据此解答．

【解答】解：：设A型机床每天能完成x，B型机床每天完成y，C型机床每天完成z，则根据题目条件有以下等式：

则，

若3种机床各取一台工作5天后完成：

（）×5

=

=，

剩下A、C型机床继续工作，还需要的天数是：

（1）

=

=

=3（天）；

答：还需要3天完成任务．

故答案为：3．

二、填空题（每题6分）

5．（6分）2008年1月，我国南方普降大雪，受灾严重．李先生拿出积蓄捐给两个受灾严重的地区，随着事态的发展，李先生决定追加捐赠资金．如果两地捐赠资金分别增加10%和5%，则总捐资额增加8%；如果两地捐赠资金分别增加15%和10%，则总捐资额增加13万元．李先生第一次捐赠了　100　万元．

【分析】两地捐赠资金分别增加10%和5%，则总捐资额增加8%，如果再在这个基础上两地增加第一次捐资的5%，那么两地捐赠资金分别增加到15%和10%，总量增加到8%+5%=13%，所以第一次李先生捐资13÷13%=100万．

【解答】解：10%﹣5%=5%

15%﹣10%=5%

13÷（8%+5%）

=13÷13%

=100（万元）

答：第一次捐了100万元．

故答案为：100．

6．（6分）有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这5个数中最小数的最小值为多少？

【分析】设中间数是a，则它们的和为5a，中间三数的和为3a．因为5a是平方数，所以平方数的尾数一定是5或者0；再由中间三数为立方数，所以a﹣1+a+a+1=3a，所以立方数一定是3的倍数．中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．

【解答】解：设设中间数是a，五个数分别是a﹣2，a﹣1，a，a+1，a+2；

明显可以得到a﹣2+a﹣1+a+a+1+a+2=5a，

由于5a是平方数，所以平方数的尾数一定是5或者0，

再由3a是立方数，所以a﹣1+a+a+1=3a，所以立方数一定是3的倍数．

所以这个数a一定是32×53=1125，

所以最小数是1125﹣2=1123．

答：这5个数中最小数的最小值为1123．

7．（6分）从1，2，3，…，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为　108　．

【分析】被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66…，中只要取到两个相邻的，这两个数的差为13，如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为x的序列，都最多能取个数，即从第1个数起隔1个取1个

基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为或，两个长度差为1的序列，能够被取得的数的个数也不会超过1，所以能使57个数任意两个数都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，当n取最小值时在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个分配了4个数，5个分配了5个数，这13个序列8个长度为8，5个长度为9，那么n=8×8+9×5=109，所以要使57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108．

【解答】解：基于以上分析，n个数分成13个序列，每条序列的长度为或，两个长度差为1的序列，能够被取得的数的个数也不会超过1，所以能使57个数任意两个数都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，当n取最小值时在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个分配了4个数，5个分配了5个数，这13个序列8个长度为8，5个长度为9，那么n=8×8+9×5=109，所以要使57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108．

故答案为：108．

8．（6分）如图边长为10cm的正方形，则阴影表示的四边形面积为　48　平方厘米．

【分析】图中阴影部分的面积是正方形的面积减去4个空白三角形的面积，据此解答．

【解答】解：如图所示，设左上角小长方形的长为a，右下角小长方形的长为b，

四个空白三角形的面积是：

[（10﹣b）（10﹣a）+（6﹣a）b+（a+4）（b+1）+（9﹣b）a]÷2

=[100﹣10a﹣10b+ab+6b﹣ab+ab+a+4b+4+9a﹣ab]÷2

=104÷2

=52（平方厘米）

阴影部分的面积是

10×10﹣52

=100﹣52

=48（平方厘米）

答：阴影部分的面积是48平方厘米．

故答案为：48．

9．（6分）新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有　17　人．

【分析】用韦恩图可以清晰的呈现各个集合之间的数量关系：设只参加合唱的有x人，那么只参加跳舞的人数为3x，由50人没有参加演奏，10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为50﹣10=40，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人”，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有：40﹣10﹣10﹣3=17人．

【解答】解：只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为：50﹣10=40（人），

所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，

所以参加了合唱的人中同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有：40﹣10﹣10﹣3=17（人），

答：同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有17人．

故答案为：17．

三、填空题（每题6分）

10．（6分）皮皮以每小时3千米的速度登山，走到途中A点，他将速度降为每小时2千米．在接下来的1小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到A点上方200米的地方．如果他下山的速度是每小时4千米，下山比上山少用了42分钟．那么，他往返共走了　11.2　千米．

【分析】首先关注“在接下来的1小时中”，这一小时中，下山比上山少200米，设上山时间为x小时，则下山的时间为1﹣x小时；然后根据下山比上山少200米，可得2x﹣4（1﹣x）=0.2，解得x=0.7小时，即42分钟，这42分钟，行程1.4公里；最后根据“下山比上山少用了42分钟”，可得以每小时4千米的速度下山的时间和以每小时3千米的速度登山时间相等，所以下山距离与A点以下路程之比为3：4，所以A点以上距离是下山距离的，所以往返一共走了千米，据此解答即可．

【解答】解：设速度降为每小时2千米后的1小时中，上山时间为x小时，下山为1﹣x小时，

所以2x﹣4（1﹣x）=0.2，

6x﹣4=0.2

6x﹣4+4=0.2+4

6x=4.2

6x÷6=4.2÷6

x=0.7

0.7小时=42分钟，

因为“下山比上山少用了42分钟”，

所以以每小时4千米的速度下山的时间和以每小时3千米的速度登山时间相等，

所以下山距离与A点以下路程之比为3：4，

所以A点以上距离是下山距离的，

所以往返一共走了：

0.7×2÷×2

=1.4

=5.6×2

=11.2（千米）

答：他往返共走了11.2千米．

故答案为：11.2．

11．在一个3×3的方格表中填有1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数，每格中只填一个数，现将每行中放有最大数的格子染成红色，最小数的格子染成绿色．设M是红格中的最小数，m是绿格中的最大数，则M﹣m可以取到　8　个不同的值．

【分析】共有三行，三个红色方格中所填的数都是它们所在行中最大的数，因此它们不可能是1和2．又因为M是红格中的最小数，所以它们不可能是8和9，即M不可能是1、2、8、9．同理，m也不可能是1、2、8、9．这样M与m都介于3与7之间．因此M﹣m的差就介于3﹣7与7﹣3之间（包括﹣4与4）．据此解答即可．

【解答】解：三个红色方格中所填的数都是它们所在行中最大的数，因此它们不可能是1和2．

又因为M是红格中的最小数，所以它们不可能是8和9，即M不可能是1、2、8、9．

同理，m也不可能是1、2、8、9．

这样M与m都介于3与7之间．因此M﹣m的差就介于3﹣7与7﹣3之间（包括﹣4与4）．

因此，考虑正负可以取到：﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、1、2、3、4．

所以，共有8种不同的值．

答：M﹣m可以取到8个不同的值．

故答案为：8．

12．在1，2，3，…，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有　1728　种．

【分析】这8个数之间如果有公因数，那么无非是2或3．

8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”，即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况．

奇数的排列一共有4！=24种，对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插，再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有4×3×2=24种，一共有24×3×24=1728种．

【解答】解：这8个数之间如果有公因数，那么无非是2或3．

8个数中的4个偶数一定不能相邻，考虑使用“插入法”，

即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况．

奇数的排列一共有：4！=24（种），

对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插，再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有4×3×2=24（种），

综上所述，一共有：24×3×24=1728（种）．

答：使得相邻两数互质的排列方式共有 1728种．

故答案为：1728．

13．如果自然数a的各位数字之和等于10，则a称为“和谐数”．将所有的“和谐数”从小到大排成一列，则2008排在第　119　个．

【分析】本题根据自然数的排列规律及数位知识进行分析即可．

一位数的和谐数个数为0，

二位数的和谐数有：19、28、…91，共9个．

三位数的和谐数有：

（以1开头，以0、1、2…9作十位的，分别有且仅有一个和谐数，共10个）

以1开头的有109、118、127、136、…、190，共10个．

同理，以2开头的9个：208，217，…271．

…

以9开头的2个．

则三位数和谐数共有：10+9+8+…+2=54个．

四位和谐数：

同理，以1为千位：分别讨论，对以0、1…9为百位的有10+9+8…+1=55个．

综上共9+54+55=118个．

2008是2开头的第一个，因此是第119个．

【解答】解：一位数的和谐数个数为0，

三位数和谐数共有：10+9+8+…+2=54个．

1000至2000，和谐数共有10+9+8…+1=55个．

综上共9+54+55=118个．

2008是2开头的第一个，因此是第119个．

故答案为：119．

14．由0，0，1，2，3五个数码可以组成许多不同的五位数，所有这些五位数的平均数为　21111　．

【分析】以1为开头的5位数，后4位数一共有4×3=12种方法，其中在每一位上，2和3各出现3次，所以1为开头的5位数的和为10000×12+（2+3）×3333=136665，同样的，以2为开头的5位数的和为20000×12+（1+3）×3333=253332，以3为开头的5位数的和为30000×12+（2+1）×3333=369999，它们的和为759996，进而求出平均数．

【解答】解：以1为开头的5位数，后4位数一共有4×3=12种方法，其中在每一位上，2和3各出现3次，所以1为开头的5位数的和为10000×12+（2+3）×3333=136665，

同样的，以2为开头的5位数的和为20000×12+（1+3）×3333=253332，

以3为开头的5位数的和为30000×12+（2+1）×3333=369999，

（136665+253332+369999）÷（4×3×3）

=759996÷36

=21111．

答：所有这些五位数的平均数为 21111；

故答案为：21111．

四、填空题（每题10分）

15．一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数2，3，4，…，2007，2008，一名裁判现在随意擦去其中的一个数，然后由小聪和小明轮流擦去其中的一个数（即小明先擦去一个数，小聪再擦去一个数，如此下去），若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜；否则判小明胜．问：小聪和小明谁有必胜策略？说明理由．

【分析】（1）小聪采用如下策略：先擦去2008，然后将剩下的2006个自然数分为1003组，（2，3）（4，5），…（2006，2007），小明擦去哪个组的一个数，小聪接着就擦去同一组的另个数，这样最后剩下的两个数是相邻的两个数，而相邻的两个数是互质的，所以小聪必胜；

（2）小明必胜的策略：①当小聪始终擦去偶数时，小明留下一对不互质的奇数，例如，3和9，而擦去其余的奇数；②当小聪从某一步开始擦去奇数时，乙可以跟着擦去奇数，这样最后给乙留下的三个数有两种情况，一种是剩下一个偶数和两个奇数3和9，此时乙擦掉那个偶数，另一种是至少两个偶数，此时已留下两个偶数就可以了．

【解答】解：（1）小聪采用如下策略：先擦去2008，然后将剩下的2006个自然数分为1003组，（2，3）（4，5），…（2006，2007），

小明擦去哪个组的一个数，小聪接着就擦去同一组的另个数，这样最后剩下的两个数是相邻的两个数，而相邻的两个数是互质的，

所以小聪必胜；

（2）小明必胜的策略：

①当小聪始终擦去偶数时，小明留下一对不互质的奇数，例如，3和9，而擦去其余的奇数；

②当小聪从某一步开始擦去奇数时，小明可以跟着擦去奇数，

这样最后给小明留下的三个数有两种情况，

一种是剩下一个偶数和两个奇数3和9，此时小明擦掉那个偶数，

另一种是至少两个偶数，

此时小明留下两个偶数就可以了．

16．将一张正方形纸片，横着剪4刀，竖着剪6刀，裁成尽可能大的形状大小一样的35张长方形纸片．再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片．如果小正方形边长为2厘米，那么长方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由．

【分析】大正方形纸片被横着剪四刀，坚着剪六刀，所以横着裁成5份，坚着裁成7份，所以裁成的长方形纸片的长宽比为7：5，把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸块，则正方形纸块的边长应该为长、宽的公约数，而5，7的公约数是1，所以长方形纸片的宽是小正方形纸块的边长的5倍，2×5=10厘米，所以长方形纸片的宽是10厘米，依此可求长方形纸片的长，再根据长方形的面积公式：s=长×宽，即可求出长方形纸片的面积．

【解答】解：根据题意可知：裁成的长方形纸片的长宽比为7：5，则正方形纸块的边长应该为长、宽的公约数，

而5，7的公约数是1，

所以长方形纸片的宽是小正方形纸块的边长的5倍，

则长方形纸片的宽为：2×5=10（厘米）

又因为长方形纸片的长宽比为7：5，

所以长方形纸片的长是：10×7÷5=14（厘米）

所以长方形纸片的面积是14×10=140（平方厘米）

答：长方形纸片的面积应是140平方厘米．下载本文