2013届高三开学检测
数 学 试 题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．）
1．若全集，集合，则集合∁U M= ．
2．若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为 ．
3．某校高一、高二、高三学生共有3200名，其中高三800名，如果通过分层抽样的方法从全体学生中抽取一个160人的样本，那么应当从高三的学生抽取的人数是
4．在平面直接坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，终
边在直线上，且，则 ．
5．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为 ．
6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为 ．
7．“”是“函数在其定义域上为奇函数”的 条
件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
8．已知实数满足线性约束条件，目标函数，若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数的取值范围是 ．
9．已知是双曲线-的左焦点，是双曲线的虚轴，是的中点，过的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率是 ．
10．若正实数满足，则的最大值是 ．
11．已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，，，若存在常数对任意正整数都有，则 ．
12．如图，线段的长度为1，端点在边长不小于1的正方形
的四边上滑动，当沿正方形的四边滑动一周时，的
中点所形成的轨迹为，若的周长为，其围成的面积为，
则的最大值为 ．
13．在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，点处的切线与两个坐标轴交于两点,则的面积的最小值为 .
14．记，对于任意实数，的最大值与最小值的和是 .
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）内角的对边分别为，若，，，且，试求角和角.
16. (本小题满分14分)
如图，四棱锥中，，∥，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）线段上是否存在点，使// 平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
17. (本小题满分14分)
如图，现有一个以为圆心角、湖岸与为半径的扇形湖面.现欲在弧上取不同于的点，用渔网沿着弧（弧在扇形的弧上）、半径和线段（其中），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若，，.
（1）用表示的长度；
（2）求所需渔网长度（即图中弧、半径和线段长度之和）的取值范围.
18. (本小题满分16分)
已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
19. (本小题满分16分)
已知：函数，在区间上有最大值4，最小值1，设函数．
（1）求、的值及函数的解析式；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；
（3）如果关于的方程有三个相异的实数根，求实数的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知各项均为正数的数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足.
（1）求p的值及数列的通项公式；
（2）①问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，指出的关系，若不存在，请说明理由.
②若成等差数列，求正整数的值.
数学Ⅱ（附加题）
注意事项：考试时间30分钟，由选考物理的考生作答。
21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B. 已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
C. 在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），判断直线和圆的位置关系．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.（本小题满分10分）
甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.
23. （本小题满分10分）
已知，n∈N*.
(1) 若，求中含项的系数；
(2) 若是展开式中所有无理项的系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明： ≥(1＋)(1＋)…(1＋)．
参
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．）
1.； 2.； 3.40； 4.； 5.； 6.126； 7.充分不必要；
8.； 9.； 10.； 11.6； 12.； 13.； 14.4
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
16. (本小题满分14分)
（Ⅰ）证明：取中点，连结，．
因为，所以． ……………2分
因为∥，，
所以∥，．
又因为，所以四边形为矩形，
所以． …………4分
因为，所以平面． …………6分
所以 ． …………7分
（Ⅱ）解：点满足，即为中点时，有// 平面．…………8分
证明如下：取中点，连接，． ……………9分
因为为中点，所以∥，．
因为∥，，所以∥，．
所以四边形是平行四边形，所以∥． ……………12分
因为平面，平面， ……………13分
所以// 平面． ………14分
17. (本小题满分14分)
解：(1) 由CD∥OA，∠AOB＝，∠AOC＝θ，得∠OCD＝θ，
∠ODC＝，∠COD＝－θ.
在△OCD中，由正弦定理，
得CD＝sin，θ∈(6分)
(2) 设渔网的长度为f(θ)．由(1)可知，
f(θ)＝θ＋1＋sin.(8分)
所以f′(θ)＝1－cos，因为θ∈，所以－θ∈，
令f′(θ)＝0，得cos＝，所以－θ＝，所以θ＝.
| θ | |||
| f′(θ) | ＋ | 0 | － |
| f(θ) | 极大值 |
故所需渔网长度的取值范围是.(14分)
18. (本小题满分16分)
解:（Ⅰ）依题意，由已知得，，由已知易得,
解得. …………………3分
则椭圆的方程为. ………………4分
()当直线的斜率不存在时，由解得.
设，，则为定值. ………6分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.
将代入整理化简，得.…7分
依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，，
则，. ……………………9分
又，，
所以 ………………………10分
.…….………………15分
综上得为常数2. .…….………………16分
19. (本小题满分16分)
解：（1），由题意得：
得或 得（舍）
，
，…………4分
（2）不等式，即，
设， ， ， …………10分
（3），即．
令，则
记方程的根为、，当时，原方程有三个相异实根，
记，由题可知，
或．…………14分
时满足题设．…………16分
20. (本小题满分16分)
解：（1）n=1时，，即，.
当时，.将n=2代入，得..与条件矛盾.
当时，.①
将n=2代入，得..
由①，得②
②-①，得
则，即
.则③
则④
④-③，得
数列是等比数列，则，符合题意. …………8分
(2) ①假设存在正整数，使得成等差数列.
则，当且仅当且成立.
即时取等号，与矛盾.
假设不成立，则不存在正整数，使得成等差数列.
②若成等差数列，即成等差数列.
由①知， …………16分
附加题答案
21. B．解：矩阵M的特征多项式为
=………………………1分
因为方程的一根，所以………………………3分
由得，…………………………………5分
设对应的一个特征向量为,
则得…………………………………………8分
令,
所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为………10分
C．消去参数，得直线的直角坐标方程为；…………… 2分
即，
两边同乘以得，
得⊙的直角坐标方程为：, …………………… 6分
圆心到直线的距离，
所以直线和⊙相交． …………………………………………………… 10分
22. (1)是“个人命中,个人未命中”的概率.其中的可能取值为0，1，2，3.
,
,
,
.
所以的分布列为
. ……………5分
(2),
,
.
由和，得,即的取值范围是. …… 10分
23. (1) 解：g(x)中含x2项的系数为C＋2C＋3C＝1＋10＋45＝56.(3分)
(2) 证明：由题意，pn＝2n－1.(5分)
① 当n＝1时，p1(a1＋1)＝a1＋1，成立；
② 假设当n＝k时，pk(a1a2…ak＋1)≥(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)成立，
当n＝k＋1时，
(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)(1＋ak＋1)≤2k－1(a1a2…ak＋1)(1＋ak＋1)
＝2k－1(a1a2…akak＋1＋a1a2…ak＋ak＋1＋1)．(*)
∵ ak＞1，a1a2…ak(ak＋1－1)≥ak＋1－1，即a1a2…akak＋1＋1≥a1a2…ak＋ak＋1，
代入(*)式得(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)(1＋ak＋1)≤2k(a1a2…akak＋1＋1)成立．
综合①②可知，pn（a1a2…an＋1）≥（1＋a1）（1＋a2）…（1＋an）对任意n∈N*成立．（10分）下载本文
