一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅
C ．A
B 3|2x x ⎧⎫=<
⎨⎬⎩
⎭
D ．A
B=R
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值
D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数
3．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2
B ．i 2(1-i)
C ．(1+i)2
D ．i(1+i)
4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．
14
B ．
π8
C ．
12
D ．π 4
5．已知F 是双曲线C ：x 2
-2
3
y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标
是(1,3).则△APF 的面积为 A ．13
B ．1 2
C ．2 3
D ．3 2
6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是
7．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
则z =x +y 的最大值为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．.函数sin21cos x
y x
=
-的部分图像大致为
9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0,2）单调递增
B ．()f x 在（0,2）单调递减
C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称
D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称
10．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和
两个空白框中，
可以分别填入
A ．A >1000和n =n +1
B ．A >1000和n =n +2
C ．A ≤1000和n =n +1
D ．A ≤1000和n =n +2
11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，
a =2，c C = A ．
π12
B ．
π6
C ．
π4
D ．
π3
12．设A 、B 是椭圆C ：22
13x y m
+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，
则m 的取值范围是
A ．(0,1][9,)+∞
B ．[9,)+∞
C ．(0,1][4,)+∞
D ．[4,)+∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______________. 14．曲线2
1
y x x
=+
在点（1，2）处的切线方程为_________________________. 15．已知π(0)2
a ∈，,tan α=2，则π
cos ()4α-=__________。
16．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分）
记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。
18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为
8
3
，求该四棱锥的侧面积.
19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212
s ==≈，18.439≈，16
1
()(8.5) 2.78i i
x x i =--=-∑，
其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．
（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()
n
i
i
x x y y r --=
∑，
0.09≈．
2
4
x
上两点，A与B的横坐标之和为4.
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.
21．（12分）已知函数()
f x=e x(e x﹣a)﹣a2x．
（1）讨论()
f x的单调性；
（2）若()0
f x≥，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,
x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方
程为
4,
1,x a t t y t =+⎧⎨
=-⎩
（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l a.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；
（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.
2017年高考真题全国一卷文科数学（解析版）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧
⎫<⎨⎬⎩
⎭
B ．A B =∅
C ．A
B 3|2x x ⎧
⎫=<⎨⎬⎩
⎭
D ．A
B=R
【答案】A
【解析】由320x ->得32x <
，所以33
{|2}{|}{|}22
A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<，选A. 2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值
D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数
【答案】B
【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B 3．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．(1+i)2 D ．i(1+i)
【答案】C
【解析】由2
(1)2i i +=为纯虚数知选C.
4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
B ．
14
B ．
π8
C ．
12
D ．π 4
【答案】B
5．已知F 是双曲线C ：x 2
-2
3
y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐
标是(1,3).则△APF 的面积为 A ．13
B ．1 2
C ．2 3
D ．3 2
【答案】D
【解析】由2
2
2
4c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2
2
13
y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为
13
3(21)22
⨯⨯-=，选D. 6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是
【答案】A
【解析】由B ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由C ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由D ，AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ.故A 不满足，选A. 7．设x ，y 满足约束条件33,
1,0,x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
则z =x +y 的最大值为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】如图，目标函数z x y =+经过(3,0)A 时最大，故max 303z =+=，故选D.
8．.函数sin21cos x
y x
=
-的部分图像大致为
【答案】C
【解析】由题意知，函数sin 21cos x
y x
=-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；
当1x =时，sin 2
01cos 2
y =
>-，排除A.故选C.
9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0,2）单调递增
B ．()f x 在（0,2）单调递减
C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称
D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称
【答案】C
10．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，
可以分别填入
A ．A >1000和n =n +1
B ．A >1000和n =n +2
C ．A ≤1000和n =n +1
D ．A ≤1000和n =n +2
【答案】D
【解析】由题意选择321000n n
->，则判定框内填1000A ≤，由因为选择偶数，所以矩形框内填2n n =+，故选D.
11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，
a =2，c C = A ．
π
12
B ．
π6
C ．
π4
D ．
π3
【答案】B
【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得
sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，
即sin (sin cos )sin()04C A A C A π+=
+=，所以34
A π
=.
由正弦定理
sin sin a c A C =
得23sin sin 4
C π=，即1sin 2C =，得6
C π
=，故选B. 12．设A 、B 是椭圆C ：22
13x y m
+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，
则m 的取值范围是
A ．(0,1][9,)+∞
B ．[9,)+∞
C ．(0,1][4,)+∞
D ．[4,)+∞
【答案】A
【解析】当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则
tan 603a
b ≥=≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在
点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a
b ≥=≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______________. 【答案】7
【解析】由题得(1,3)a b m +=- 因为()0a b a +⋅= 所以(1)230m --+⨯= 解得7m = 17．曲线2
1
y x x
=+
在点（1，2）处的切线方程为_________________________. 【答案】1y x =+ 【解析】设()y f x = 则21()2f x x x
'=-
所以(1)211f '=-=
所以在(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+ 18．已知π(0)2
a ∈，,tan α=2，则π
cos ()4α-=__________。
【答案】
10
19．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 【答案】36π
【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB 因为,SA AC SB BC == 所以,OA SC OB SC ⊥⊥ 因为平面SAC ⊥平面SBC 所以OA ⊥平面SBC 设OA r =
31111
23323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=
所以3
1933
r r =⇒=
所以球的表面积为2
436r ππ=
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分）
记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。
18．（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为8
3
，求该四棱锥的侧面积.
【解析】①∵90BAP AB PA ∠=︒⇒⊥
90CDP CD PD ∠=︒⇒⊥ ∵,AB CD PA PD P ⋂=
∴AB PAD ⊥平面 ∵AB PAD ⊂平面
∴PAB PAD ⊥平面平面 ②由①知AB PAD ⊥平面 ∵90APB ∠=︒
PA PD AB DC === 取AD 中点O ，
所以OP ABCD ⊥底面
,OP AB AD =
∴18
33
P ABCD V AB -=⨯=
∴AO=2
∴PB PC BC ===∴2PAD
PAB
PBC
S S
S
S
=++例
111
2222sin60222
=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒
=2+
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈
，16
1
()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，
其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．
（1）求(,)i x i (1,2,,16)i
=⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()
n
i
i
x x y y r --=
∑，
0.09≈．
（ii ） 剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为
169.22169.979.22
10.021515
x -⨯-==
，
标
准
差
为
()162211[(10.02)9.2210.2]0.0080.09
16i i s x ==---==∑()
2
21610.029.220.0115
s --≈
20．（12分）
设A ，B 为曲线C ：y =2
4
x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.
（1）求直线AB 的斜率；
（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.
【解析】（1）
设()()1122,,,A x y B x y ，
则22
21212121214414
AB
x x y y x x K x x x x -
-+====-- （2）设2
00,
4x M x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭ ，则C 在M 处的切线斜率'00
1
12AB
y K K x x x ====- ∴02x =
则()12,1A ，又AM ⊥BM ，
22
1212121211
11442222
AM BM x x y y K K x x x x ----==
---- ()()
()1212122224
116
16
x x x x x x +++++=
=
=-
即()12122200x x x x +++= 又设AB ：y=x ＋m 代入24x y = 得2440x x m --= ∴124x x +=，124x x m =- －4m ＋8＋20=0 ∴m=7
故AB ：x ＋y=7 21．（12分）
已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），直线l 的参数方程为
4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩
（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l
a.
【解析】（1）当1a =-时，14:1x t L y t =-+⎧⎨=-⎩
（t 为参数） L 消参后的方程为430x y +-=，
曲线C 消参后为2
21x y y
+=，与直线联方方程 221430x y y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩ 解得30x y =⎧⎨=⎩ 或21252425
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ . （2）L 的普通方程为440x y a +--=， 设曲线C 上任一点为()3cos ,sin P θθ，
点到直线的距离公式，d =
d
=， max d
∴()max 5sin 417a θϕ+--=，
当()sin 1θϕ+=时最大，
即5417a --=，
16a =-，
当()sin 1θϕ+=-时最大，
即917a +=，
8a =，
综上：16a =-或8a =.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│.
（1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；
（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.
