求函数极限的方法与技巧

《数学分析》是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科.极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位.

灵活、快捷、准确地求出所给函数的极限，除了对于函数极限的本质有较清楚地认识外，还要注意归纳总结求函数极限的方法，本文对技巧性强、方法灵活的例题进行研究，进一步完善求函数极限的方法与技巧，有利于微积分以及后继课程的学习.

1基本方法

1.1利用定义法求极限

从定义出发验证极限，是极限问题的一个难点.做这类题目的关键是对任意给定的正数，如何找出定义中所说的.

一般地，证明的方法为：，放大不等式(为某一个常数)解出取.

例  证明.

证  ，若.

：，则，取，则当时，便有

.

定义中的正数依赖于，但不是由所唯一确定.一般来说，愈小，也愈小.用定义证明极限存在，有一先决条件，即事先要猜测极限值，然后再证明，这一般不太容易，所以对于其它方法的研究是十分必要的.

1.2 利用左、右极限求极限

.

例2  设 求.

解  因为，.

得到，所以.

例3  求函数在处的左右极限，并说明在处是否有极限. 

解  ，.

因为，所以在处的极限不存在.

例4  若，求分段点处的极限.

解  因为，.所以当时，；当时，不存在.

可见，利用左右极限是证明分段函数在其分段点处是否有极限的主要方法.

1.3 利用函数的连续性求极限

初等函数在其定义的区间内都连续.

若，初等函数当时的极限就等于其在时的函数值，即.

特别地，若是复合函数，又，且在处连续，则.

例5  求.

解  由于及函数在处连续，

所以.

例  求.

解  

 在连续.

例  求.

分析  由，设，.因为，且在点连续，故可利用函数的连续性求此极限.

解  .

1.4 利用函数极限的四则运算法则求极限

若，存在，则有:

（1）为任意常数;

（2）;

（3）其中;

（4）;

（5）若，对正整数，存在，则．

注  以上每个等式中的“”均指的同一趋向．

例8  .

分析  该函数可以看作是两个函数的和.而对于函数是分式函数，分子、分母都是多项式函数，并且当自变量时，归于前面介绍的第四种类型.对于函数，当时，，故．因此，只须再利用和的运算法则即可求得此极限．

解  ．

1.5 利用重要极限求极限

1.5.1 

可推出，.

推广:或  

利用此重要极限公式求函数的极限，通常需要利用恒等变换将函数的某一组成部分变成形如或的形式.特别注意的是这个复合函数的内函数要和分母或分子的函数相同，并且保证 ，则此部分的极限就为.

例9  求.

分析  设，当时，，故可利用恒等变换将化为

，利用此重要极限公式即可求得.

解  .

1.5.2 或

推广:  或  

对于函数或，由于函数的底数和指数位置均含有变量，因此称为幂指函数.此重要极限公式解决的是型幂指函数的极限问题，对于给定的函数，一般情况下也需要利用恒等变形后方可利用此公式.

例10  求.

分析  设函数是幂指函数，当趋于无穷大时，底，指数，是型幂指函数，需利用此重要极限公式推广形式，将函数变形为，其中，且当时，，故有.

解  .

1.6 利用洛必达法则求极限

在解决未定式的极限时，最简单的方法是约去分子、分母中趋于零的公因子.洛必达法则正是以求导的方法解决了这个问题.

洛必达法则: 设满足①在点的领域内(点可以除外)有定义，且，

.②在该领域内可导，且.③. (可为实数，也可为或)则.如果在时，仍为或型，且这时与仍满足定理中的条件，则可继续使用洛必达法则.

例11  求.

解  

.

1.7 利用无穷小求极限

1.7.1 利用无穷小量的性质求函数的极限

性质1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量.

性质2 有限个无穷小量之积是无穷小量.

性质3 任一常数与无穷小量之积是无穷小量.

性质4 无穷小量与有界变量之积是无穷小量.

例12  求.

解  ，而,所以.

1.7.2 利用等价无穷小量替换求函数的极限

若且存在，则也存在，并且

注  1. 常用的几对等价无穷小量.(当时)

.

2. 等价无穷小量替换，来源于分数的约分，只能对乘除式里的因子进行代换，在分子（分母）多项式里的单项式通常不可作等价代换.

例13  求.

分析  函数经过变形可化为的形式，当时，利用

等价无穷小来计算极限.

解  原式

.

例14  求(是实数).

解  当时，  .

1.8 利用降幂法求极限 

1.8.1 分子分母为有理式

，其中，均为多项式函数

方法:将分子、分母同除以的最高次幂.

例15  求.

分析  该函数是分式函数，分子，分母均为二次多项式函数，且自变量趋近于时均趋近于，故采取将分子、分母同除以最高次幂，即消去，有而，，再利用极限的运算法则，即可求出函数的极限.

解  .

一般地，对于(其中，均为多项式函数)，当分子的次数高于分母次数，该函数极限不存在; 当分子的次数等于分母次数，该函数极限等于分子、分母的最高次项的系数之比;当分子的次数低于分母次数，该函数极限为.即

　．

1.8.2 分子分母为无理式

(1)当时，将分子、分母同除以的最高方次.

例16  求．

解  .

.

(2)当时，若

1) ，则

2) ，则

3) 可利用有理化分子(或分母)的方法求极限.

例17  求

分析  该函数是分式函数，并且含有根式，当时，分子、分母均趋近于，故将分子、分母同乘以分母的有理化因子，有

而当时，，故可求得此极限.

解  

.

1.9 利用中值定理求极限

例18  求.

解  设，对它的应用微分中值定理得：

即 

因为 连续，所以

从而有 

例19  设函数在处连续，又设函数

求．

解  利用积分中值定理有，因为,

所以

.

1.10 利用泰勒公式求极限

若一个函数的表达式比较复杂时，我们可以将它展成泰勒公式，使其化成一个多项式和一个无穷小量的和，而多项式的计算是比较简单的，从而此方法能简化求极限的运算.

例20  计算.

分析  此题虽是型，但使用洛必达法则求极限太复杂.而分母无穷小的最低阶数为3，故写出诸函数三阶泰勒公式，便可求得结果.

解   ．

．

又

 　　　　 ．

．

所以．

.

例21  求.

解  应用的泰勒展式有

因此，于是，原式.　

例22  设在点处二阶可导，且，求并计算极限.

解  由已知条件，并利用麦克劳林公式，有

.

得.

于是

.

2 典型方法

2.1 重要极限的再推广

定理  设，则

证明  

例1  求

解  这是型极限，,

所以.

另解  对令取对数得于是有

 (型，可洛必达法则)

所以显然这样解要复杂的多.

例2  求.

解  因为所以是型极限，

有.

例3  求.

解  

.

2.2 洛必达法则的应用

例4  计算极限.

分析  对等未定式的极限，常可用洛必达法则来计算.

解  原式 

.

3 一题多解举例

每一个题目并非只能用一种方法进行求解，通常可采用多种途经去解决它.

例1  求.

[解法一]  利用重要极限

.

[解法二]  用取对数法 令，两边取对数，得

由，所以.

[解法三]  用换元法 令，则  

所以.

[解法四]  利用对数式的性质

.

例2  求.

[解法一]  用洛必达法则和重要极限

原式. 

[解法二]  三角函数公式及洛必达法则

原式

.

[解法三]  三角函数恒等变换和重要极限

原式.

[解法四]  分子分母同除以 用重要极限和洛必达法则

原式.

[解法五]  分子分母同乘

原式

.

[解法六]  变换替换后用洛必达法则

令 原式

又.

 [解法七]  用等价无穷小来代替

原式.

原式.

[解法八]  级数解法

因为 

所以.

[解法九]  连续使用两次洛必达法则

原式

.

例3  设连续，，求.

[解法一]  从 可得 所以.

又连续，因此这样可以得到:当时，;当时，作变量代换，有

以下利用已知极限，以及两次洛必达法则，即可求出极限为，

所以，原式.

[解法二]  利用等价无穷小求解，注意到这样，从

可知于是；当时，根据法一可得结果.综上所述，原式.

例4  求.

[解法一]  原式

             .

[解法二]  因为 又所以时，，

所以则.

 总之，极限的解题方法很多，这就要求我们多做练习，学会总结归纳，学会举一反三.这对拓展我们的思维，进一步学好数学是有帮助的。下载本文