太窝中学 饶财盛
教学目标：
1、完成对一元二次方程的知识点的梳理，构建知识体系。
2、通过对典型例题、易错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点。
3、通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法。
4、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用。
教学重点：运用知识，技能解决问题
教学难点：解题分析能力的提高
教师准备：制作课件
教学过程：
一、考点概况
考点1 一元二次方程的概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax (a 、b 、c 为常数，a ≠0）
例1.（2011甘肃兰州）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是
A ．2210x x +=
B ．20ax bx c ++=
C ．(1)(2)1x x -+=
D ．223250x xy y --= 分析：本题是考查一元二次方程的概念.一元二次方程的概念是含有一个未知数且未知数的次数是二次的整式方程.
解： C
考点2 ： 一元二次方程的解法
1、直接开方法
2、配方法
3、公式法
4、因式分解法 直接开方法：形如 或 的方程可以用直接开方解其根 配方法：
配方法解一元二次方程的解题过程
1、二次项系数化为1
2、移项：把含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边。
3、配方：方程的两边同加上一次项系数一半的平方
4、变形：方程变形为(x+m)2=n(n ≥0)的形式
5、利用直接开平方的方法去解
公式法：
公式法解一元二次方程的解题过程 )0(2>•=b a b ax ()
)0,0(2≥≠==a m a n mx
1、把方程化成一元二次方程的一般形式
2、写出方程各项的系数
3、计算出b2-4ac 的值，看b2-4ac 的值与0的关系，若b2-4ac 的值小于0，则此方程没有实数根 。
4、当b2-4ac 的值大于、等于0时， 代入求根公式 计算出方程的值 因式分解法：
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1、先化成一元二次方程的一般形式；
2、对含未知数的二次三项式进行因式分解；
3、令每个因式为0，求出一元二次方程的根
例2(2011江苏南京)解方程x 2－4x ＋1=0
分析：本题考查解一元二次方程.方法有多种，可以灵活选择方法.
解：解法一：移项，得2
41x x -=-．
配方，得24414x x -+=-+， 2(2)3x -=
由此可得2x -=
12x =
22x =解法二：1,4, 1.a b c ==-=
224(4)411120b ac -=--⨯⨯=>
，422
x ±==±
12x =
，22x =考点3 一元二次方程根的判别式
一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax 根的情况决定于一元二次方程的判别式ac b 42-。
若2
4b ac -＞0，方程有两个不相等的实数根；
若24b ac -＝0，方程有两个相等的实数根；
若24b ac -＜0，方程没有实数根；
注意：以上讨论是在一元二次方程(a≠0)的前提条件下，还要注意各项系数及符号。 例3.（2011江西）试写一个．．
有两个不相等实根的一元二次方程: 分析：此题是一个开放性试题，写出的方程满足根的判别式大于0即可.
解：答案不唯一.如：2450x x +-= 240a
ac ≥±-2-b b x=（）
考点四：一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠当24b ac -≥0时，方程有实数根，设这两个实数根为21,x x ，这两个根与系数的关系：a c x x a b x x =⋅-
=+2121, 例4.（2011四川南充市）关于的一元二次方程x 2+2x +k +1=0的实数解是x 1和x 2。
（1）求k 的取值范围；
（2）如果x 1+x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值。
分析：本题把根的判别式及根与系数的关系结合在一起分析.都是在不解方程的前提下，运用判别式及根与系数的关系代入方程的系数而得.
解：∵（1）方程有实数根.∴⊿=22-4（k +1）≥0解得：k ≤0 K 的取值范围是k ≤0.
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=-2,x 1x 2=k +1.
x 1+x 2-x 1x 2=-2-（ k +1）
由已知，得：-2-（k +1）＜-1.解得：k ＞-2.
又由（1）k ≤0∴ -2＜k ≤0∵ k 为整数 ∴k 的值为-1和0.
考点五：一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
1、审题
2、设未知数
3、列方程
4、解方程
5、检验
6、答
例5.（2011广西桂林）某市为争创全国文明卫生城，2008年市对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同．
（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；
（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？
分析：本题考查有关增长率的问题. 如果用a 表示变化前的量，b 表示变化后的量，n 表示连续变化的时间次数，x 表示变化的百分率，那么可以表示为(1)n
a x
b ±=.如果是求第n 年的量可以直接用公式求得，若是求连续n 年的和那么要分析是几次的和，再相加.当实际问题是增长，那么是用“+”，若是减少，那么用“-”.本题在分析时抓住关键词：以后每一年都比前一年增长x %.按公式可求.
解：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x ，则
2000（1+x ）2=2420．
解得：x =10%（负值已舍）．
即该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%．
（2）2012年需投入的资金为2420·（1+10%）2=2928.2万元．
二、疑难点与易错点
1、（2011四川南充市） 方程(x +1)(x －2)=x +1的解是（ ）
分析：本题考查解方程.学生容易在方程的两边同时除以（x+1）而导致丢解.
解：D
2、（2011贵州黔南）已知三角形的两边的长分别为3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）
A.11
B.13
C.11或13
D.11和13
分析：本题把三角形的三边关系与方程结合在一起解决问题.学生易忽略隐含条件：满足三角形的三边关系求出周长.
解：B
3、（2011重庆江津）已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )
A.a<2 B,a>2 C.a<2且a≠1 D.a<－2·
分析：本题考查根的判别式，学生容易忽略二次项系数不为0这一限定条件.
解：C
三、练习
1、（2011台北，20）若一元二次方程式
)2
)(
1
(
)1
(＋
＋
＋
＋x
x
x
ax bx
＋2
)2
(＝
＋
x的
一元二次方程的定义、一元二次方程的标准形式、一元二次方程的根的意义；解一元二次方程、根的判别式以及根与系数的关系；用代数式表示实际问题的数量关系，找实际问题中的相等关系、根据相等关系列出一元二次方程、运用一元二次方程的思想解决实际问题.
五、作业
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