数    学

（满分150分，时间：120分钟）

第Ⅰ卷

A卷（100分）

一、选择题（每小题3分，共30分, 在下面每一个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.）

1．计算的结果为（　A　）

A．3    B．﹣3    C．6    D．﹣9

2．下列运算正确的是（　C　）

A．a+a=a2    B．a3÷a=a3    C．a2•a=a3    D．（a2）3=a5

3．如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　B　）

A．    B．    C．    D．

4．把0.0813写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则n为（　B ）

A．1    B．﹣2    C．2    D．8.13

5．谜语：干活两腿脚，一腿勤，一腿懒，一脚站，一脚转．打一数学学习用具，谜底为（D　）

A．量角器    B．直尺    C．三角板    D．圆规

6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：

A．1.70、0.25    B．1.75、3    C．1.75、0.30    D．1.70、3

7．将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是（C）

A．    B．    C．    D．

8．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实根，则m的取值范围是（　D　）

A．m＜3    B．m≤3    C．m＜3且m≠2    D．m≤3且m≠2

9．如图：有一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是（　B　）

A．30°    B．25°    C．20°    D．15°

10．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则的长度为（　B　）

A．π    B．2π    C．5π    D．10π

第Ⅱ卷

二、填空题（每小题4分，共16分）

11．因式分解：　          　．

12．如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是　   　．

13．如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8 cm，△FCB的周长为20cm，则FC的长为　 6 　cm．

14. 把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是　 m＞1  　．

三、解答题（本题共54分）

15. （每小题6分，共12分）

（1）计算：

解：

（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

解：

将原不等式组解集在数轴上表示如下：    数轴表示……2分

16、（本小题6分）先化简，再求值：，其中．

解：            

17、（本小题8分）为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪 CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）

解：设AE=x，

在Rt△ACE中，CE==1.1x，………………………………2分

在Rt△AFE中，FE==0.55x，………………………………2分

由题意得，CF=CE﹣FE=1.1x﹣0.55x=12，………………………………2分

解得：x=，………………………………1分

故AB=AE+BE=+1.5≈23米．

答：这个电视塔的高度AB为23米．………………………………1分

18、（本小题8分）某销售公司年终进行业绩考核，人事部门把考核结果按照A，B，C，D四个等级，绘制成两个不完整的统计图，如图1，图2．

（1）参加考试人数是　   　，扇形统计图中D部分所对应的圆心角的度数是　   　，请把条形统计图补充完整；

（2）若考核为A等级的人中仅有2位女性，公司领导计划从考核为A等级的人员中选2人交流考核意见，请用树状图或表格法，求所选人员恰为一男一女的概率；

（3）为推动公司进一步发展，公司决定计划两年内考核A等级的人数达到30人，求平均每年的增长率．（精确到0.01，=2.236）

解：（1）参加考试的人数是：24÷48%=50人；………………………………1分

扇形统计图中D部分所对应的圆心角的度数是：360°×=36°；…………………………………1分

C等级的人数是：50﹣24﹣15﹣5=6人，补图如下：

………………………………1分

故答案为：50，36；

（2）树状图或表格

因为共有20种可能，其中满足一男一女的情况有12种，………………………………2分

∴P（一男一女）=；………………………………1分

（3）设增长率是x，依题意列方程得：

24（1+x）2=30，………………………………1分

解得：x1=﹣1+≈0.12，x2=﹣1﹣（舍去），

答：每年增长率为12%．………………………………1分

19、（本小题10分）如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．

（1）求直线AB和反比例函数的解析式；

（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；

（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．

解：（1）设反比例函数解析式为y=，

把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，

∴反比例函数解析式为y=；………………………………1分

把A（3，m）代入y=，可得3m=6，

即m=2，

∴A（3，2），………………………………1分

设直线AB 的解析式为y=ax+b，

把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，

解得，

∴直线AB 的解析式为y=x﹣1；………………………………1分

（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；…………………2分

（3）存在点C．………………………………1分

如图所示，延长AO交双曲线于点C1，

∵点A与点C1关于原点对称，

∴AO=C1O，

∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，

此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；………………………………1分

如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，

∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，

由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y=x，

可设直线C1C2的解析式为y=x+b'，

把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，………………………………1分

解得b'=，

∴直线C1C2的解析式为y=x+，

解方程组，可得C2（，）；………………………………1分

如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，

设直线AC3的解析式为y=x+b“，

把A（3，2）代入，可得2=×3+b“，

解得b“=﹣，

∴直线AC3的解析式为y=x﹣，

解方程组，可得C3（﹣，﹣）；………………………………1分

综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（，），（﹣，﹣）．

20、（本小题10分）如图， ⊙O的外接圆，，，过点的直线是 ⊙O的切线，点是直线上一点，过点作交延长线于点,连结，交⊙O于点,连结BF、CD交于点G.

（1）∽；

（2）当时，求的值；

（3）若CD平分，=2，连结CF,求线段CF的长.

（1）                          

（2）

（3）

B卷（50分）

一、填空题（每小题4分，共20分）

21.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是　11 　小时．

22.若是关于的二元一次方程的一个解，代数式的值是　24  　．

23.如图，同心圆的半径为6cm，8cm，AB为小圆的弦，CD为大圆的弦，且ABCD为矩形，若矩形ABCD面积最大时，矩形ABCD的周长为　39.2   cm．

24.如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B'C'交CD边于点G．连接BB'、CC'．若AD=7，CG=4，AB'=B'G，则=　   　（结果保留根号）．

25.在平面直角坐标系，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为　 3或﹣　  　；若点P在函数y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，实数a的取值范围为__≤a≤4．____________．

二、解答题（本题共30分）

26、（本小题8分）为进一步缓解城市交通压力，成都大力支持共享单车的推广，并规范共享单车定点停放，某校学生小明统计了周六校门口停车点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y的值表示8：00点时的存量，x=2时的y值表示9：00点时的存量…以此类推，他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．

（1）m=　   　，解释m的实际意义：　   　；

（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；

（3）已知10：00﹣11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．

解：（1）m+7﹣5=15，

m=13，………………………………1分

则m的实际意义：7：00时自行车的存量；………………………………1分

故答案为：13，7：00时自行车的存量；

（2）由题意得：n=15+8﹣7=16，………………………………1分

设二次函数的关系式为：y=ax2+bx+c，

把（0，13）、（1，15）和（2，16）分别代入得：，………………………………1分

解得：，

∴y=﹣x2+x+13；………………………………1分

（3）当x=3时，y=﹣×32+×3+13=16，………………………………1分

当x=4时，y=﹣×42+×4=13=15，………………………………1分

设10：00﹣11：00这个时段的借车数为x，则还车数为2x﹣4，

根据题意得：16+2x﹣4﹣x=15，

x=3，………………………………1分

答：10：00﹣11：00这个时段的借车数为3辆．

27、（本小题10分）在正六边形ABCDEF中，N、M为边上的点，BM、AN相交于点P

（1）如图1，若点N在边BC上，点M在边DC上，BN=CM，求证：BP•BM=BN•BC；

（2）如图2，若N为边DC的中点，M在边ED上，AM∥BN，求的值；

（3）如图3，若N、M分别为边BC、EF的中点，正六边形ABCDEF的边长为2，请直接写出AP的长．

（1）证明：在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠BCD=120°，………………………………1分

∵BN=CM，

∴△ABN≌△BCM，

∴∠ANB=∠BMC，………………………………1分

∵∠PBN=∠CBM，

∴△BPN∽△BCM，

∴=，

∴BP•BM=BN•BC；………………………………1分

（2）延长BC，ED交于点H，延长BN交DH于点G，取BG的中点K，连接KC，………………1分

在正六边形ABCDEF中，∠BCD=∠CDE=120°，

∴∠HCD=∠CDH=60°，∴∠H=60°，∴DC=DH=CH，

∵DC=BC，∴CH=BC，

∵BK=GK，∴2KC=GH，KC∥DH，………………………………1分

∴∠GDN=∠KCN，

∵CN=DN，∠DNG=∠CNK，

∴△DNG≌△CNK，

∴KC=DG，

∴DG=DH=DE，

∵MG∥AB，AM∥BG，

∴四边形MABG是平行四边形，………………………………1分

∴MG=AB=ED，

∴ME=DG=DE，即=，………………………………1分

（3）如图3，过N作NH⊥AB，交AB的延长线于H，………………………………1分

∵∠ABC=120°，

∴∠NBH=60°，

Rt△NBH中，∠BNH=30°，BN=1，

∴BH=BN=，

∴NH==，

Rt△ANH中，AN===，

连接FC，延长FC与AN交于G，设FC与BM交于K，

易证△ANB≌△GNC，

∴CG=AB=2，AN=NG=，FC=2AB=4，

∴FG=FC+CG=6，

∵EF∥BC，

∴，

∴，

∵FK+KC=4，

∴FK=，KC=，KG=+2=，

∵KG∥AB，

∴，

∴=，………………………………1分

设PG=7x，AP=3x，

由PG+AP=AG=2得：7x+3x=2，

x=，

∴AP=3x=．………………………………1分

28、（本小题12分）如图，直线：与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B,交x轴正半轴于点C．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2））已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；

（3）将点A绕原点旋转得点A′，连结CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？

解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，………………………………1分

∴y=3，

∴B（0，3），

把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，………………………………1分

∴3=a+4，

∴a=﹣1，

∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；………………………………1分

（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，

∴0=﹣x2+2x+3，

∴x=﹣1或3，………………………………1分

∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，

∵M在抛物线上，且在第一象限内，

∴0＜m＜3，

令y=0代入y=﹣3x+3，

∴x=1，

∴A的坐标为（1，0），

由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），………………………………1分

S=S四边形OAMB﹣S△AOB

=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB

=×m×3+×1×（﹣m2+2m+3）﹣×1×3………………………………1分

=﹣（m﹣）2+………………………………1分

∴当m=时，S取得最大值．可知：M′的坐标为（，）；………………………………1分

（4）取点………………………………1分

    ………………………………1分

    ………………………………1分

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