①∵BE平分∠DBC

∴EC=EJ，

∴△DJE≌△ECF

∴DE=FE

∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°

∴∠HFE==22.5°

∴∠EHF=180°﹣67.5°﹣22.5°=90°

∵DH=HF，OH是△DBF的中位线

∴OH∥BF

∴OH=BF

②∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，

∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，

∵CE=CF，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF，

∴∠EBC=∠CDF=22.5°，

∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°，

∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，

∴OH是CD的垂直平分线，

∴DH=CH，

∴∠CDF=∠DCH=22.5°，

∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°，

∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故②正确；

③∵OH是△BFD的中位线，

∴DG=CG=BC，GH=CF，

∵CE=CF，

∴GH=CF=CE

∵CE＜CG=BC，

∴GH＜BC，故此结论不成立；

④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分线，

∴∠DBH=22.5°，

由②知∠HBC=∠CDF=22.5°，

∴∠DBH=∠CDF，

∵∠BHD=∠BHD，

∴△DHE∽△BHD，

∴=

∴DH=HE•HB，故④成立；

所以①②④正确．

故选C．

∴AC==BC=6，

∴S△ABC=AC•BC=6，

∵D1E1⊥AC，

∴D1E1∥BC，

∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，

∵D1是斜边AB的中点，

∴D1E1=BC，CE1=AC，

∴S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC；

∴在△ACB中，D2为其重心，

∴D2E1=BE1，

∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC•BC=S△ABC，

∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…；

∴Sn=S△ABC；

∴S2013=×6=．

故选C．

用反证法证明②∠GAC≠∠GCA，假设∠GAC=∠GCA，则有△AGC为等腰三角形，F为AC的中点，又BF⊥AC，可证得AB=BC，与题设不符；

由①知△BEG≌△AEC 所以GE=CE 连接ED、四边形ABED为平行四边形，

∵∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，

∴∠GED=∠CED=45°，

∴△GED≌△CED，

∴DG=DC；

④设AG为X，则易求出GE=EC=2﹣X 因此，S△AGC=SAEC﹣SGEC=﹣+x=﹣（x2﹣2x）

=﹣（x2﹣2x+1﹣1）=﹣（x﹣1）2+，当X取1时，面积最大，所以AG等于1，所以G是AE中点，

故G为AE中点时，GF最长，故此时△AGC的面积有最大值．

故正确的个数有3个．

故选C．

∴∠DFB=∠DBF，

∵AD∥BC，DE=BC，

∴∠DEC=∠DBC=45°，

∴∠DEC=2∠EFB，

∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，

∴CG=BC=DE，

∵DE=DC，

∴∠DEG=∠DCE，

∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，

∠DGE=180°﹣（∠BGD+∠EGF），

=180°﹣（∠BGD+∠BGC），

=180°﹣（180°﹣∠DCG）÷2，

=180°﹣（180°﹣45°）÷2，

=112.5°，

∴∠GHC=∠DGE，

∴△CHG≌△EGD，

∴∠EDG=∠CGB=∠CBF，

∴∠GDH=∠GHD，

∴S△CDG=S▭DHGE．

故选D．

∴△BCE≌△DCF，∠ECF=∠DFC=90°，

∴CD=BC=5，DF∥CE，

∴∠ECD=∠CDF，

∵∠EMC=∠DMF，

∴△ECM∽△FDM，

∴DM：MC=DF：CE，

∵DF==4，

∴DM：MC=DF：CE=4：3．

故选C．

∴平行四边形ABC1O1的面积为，

∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，

∴平行四边形ABC2O2的面积为×=，

…，

依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．

故选B．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴M′H=M′N′，

∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），

∵AB=4，∠BAC=45°，

∴BH=AB•sin45°=6×=3．

∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=3．

故选C．

∴PM=BC，PN=BC，

∴PM=PN，正确；

②在△ABM与△ACN中，

∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，

∴△ABM∽△ACN，

∴，正确；

③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，

∴∠ABM=∠ACN=30°，

在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，

∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，

∴PM=PN=PB=PC，

∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，

∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等边三角形，正确；

④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，

∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，

∴BN=CN，

∵P为BC边的中点，

∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形

∴BN=PB=PC，正确．

故选D．

∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，

∵∠MDN=90°，

∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF．

在△AED与△CFD中，

∵，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE=CF，

在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB==BD=BC．

故①正确；

设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a﹣x．

∵S△AEF=AE•AF=x（a﹣x）=﹣（x﹣a）2+a2，

∴当x=a时，S△AEF有最大值a2，

又∵S△ABC=×a2=a2，

∴S△AEF≤S△ABC．

故②正确；

EF2=AE2+AF2=x2+（a﹣x）2=2（x﹣a）2+a2，

∴当x=a时，EF2取得最小值a2，

∴EF≥a（等号当且仅当x=a时成立），

而AD=a，∴EF≥AD．

故④错误；

由①的证明知△AED≌△CFD，

∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=AD2，

∵EF≥AD，

∴AD•EF≥AD2，

∴AD•EF＞S四边形AEDF

故③错误；

当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．

故⑤正确．

综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．

故选C．

∴∠GAD=∠ADO=45°，

由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，

故①正确．

∵tan∠AED=，

由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，

∴AE=EF＜BE，

∴AE＜AB，

∴tan∠AED=＞2，

故②错误．

∵∠AOB=90°，

∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，

∴S△AGD＞S△OGD，

故③错误．

∵∠EFD=∠AOF=90°，

∴EF∥AC，

∴∠FEG=∠AGE，

∵∠AGE=∠FGE，

∴∠FEG=∠FGE，

∴EF=GF，

∵AE=EF，

∴AE=GF，

故④正确．

∵AE=EF=GF，AG=GF，

∴AE=EF=GF=AG，

∴四边形AEFG是菱形，

∴∠OGF=∠OAB=45°，

∴EF=GF=OG，

∴BE=EF=×OG=2OG．

故⑤正确．

∴其中正确结论的序号是：①④⑤．

故选：A．

②由△EGD≌△DFE，EF=GD，再由△HDE为等腰三角形，∠DEH=30°，得出△HGF为等腰三角形，∠HFG=30°，可求得GF∥DE，此结论正确；

③由图可知2（OH+HD）=2OD=BD，所以2OH+DH=BD此结论不正确；

④如图，过点G作GM⊥CD垂足为M，GN⊥BC垂足为N，设GM=x，则GN=x，进一步利用勾股定理求得GD=x，BG=x，得出BG=GD，此结论不正确；

⑤由图可知△BCE和△BCG同底不等高，它们的面积比即是两个三角形的高之比，由④可知△BCE的高为（x+x）和△BCG的高为x，因此S△BCE：S△BCG=（x+x）：x=，此结论正确；

故正确的结论有①②⑤．

故选C．

∵BD为正方形ABCD的对角线，

∴∠ADB=∠CDF=45°．

∵AD=CD，DF=DF，

∴△ADF≌△CDF．

∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．

∵∠ALH+∠LAF=90°，

∴∠LHC+∠DAF=90°．

∵∠ECF=∠DAF，

∴∠FHC=∠FCH，

∴FH=FC．

∴FH=AF．

（2）∵FH⊥AE，FH=AF，

∴∠HAE=45°．

（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，

∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，

∴∠AFO=∠GHF．

∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，

∴△AOF≌△FGH．

∴OA=GF．

∵BD=2OA，

∴BD=2FG．

（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，

根据△MEC≌△CIM，可得：CE=IM，

同理，可得：AL=HE，

∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．

∴△CEH的周长为8，为定值．

故（1）（2）（3）（4）结论都正确．

故选D．

在梯形GDBE中，S△DGE=S△GEB（同底等高的两三角形面积相等），

同理S△GKE=S△GFE．

∴S阴影=S△DGE+S△GKE，

=S△GEB+S△GEF，

=S正方形GBEF，

=4×4

=16

故选D．

∴AE⊥BC，即②正确．

∵∠MBE=45°，

∴BE=ME．

在△ABE与△CME中，

∵∠BAE=∠MCE，∠AEB=∠CEM=90°，BE=ME，

∴△ABE≌△CME，

∴AB=CM，即①正确．

∵∠MCE=∠BAE=90°﹣∠ABE＜90°﹣∠MBE=45°，

∴∠MCE+∠MBC＜90°，

∴∠BMC＞90°，即③⑤错误．

∵∠AEB=∠CEM=90°，F、G分别是AB、CM的中点，

∴EF=AB，EG=CM．

又∵AB=CM，

∴EF=EG，即④正确．

故正确的是①②④．

S△AA1C=3S△ABC=3，

S△AA1C1=2S△AA1C=6，

所以S△A1B1C1=6×3+1=19；

同理得S△A2B2C2=19×19=361；

S△A3B3C3=361×19=6859，

S△A4B4C4=6859×19=130321，

S△A5B5C5=130321×19=2476099，

从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n次后，得到△AnBnCn，

则其面积Sn=19n•S1=19n故答案是：2476099；19n．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB．AC⊥DB，

∵∠DAB=60°，

∴△ADB是等边三角形，

∴DB=AD=1，

∴BM=，

∴AM==，

∴AC=，

同理可得AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，

按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1

故答案为（）n﹣1．

∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，

根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A1+∠A1BC=∠A1CD，

∴∠A1+∠A1BC=∠A1+∠ABC=（∠A+∠ABC），

整理得，∠A1=∠A=，

同理可得，∠A2=∠A1=×=，

…，

∠A2012=．

故答案为：．

根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1=BC，CE1=AC，S1=S△ABC；

∴在△ACB中，D2为其重心，

∴D2E1=BE1，

∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=S△ABC，

∵D2E2：D1E1=2：3，D1E1：BC=1：2，

∴BC：D2E2=2D1E1：D1E1=3，

∴CD3：CD2=D3E3：D2E2=CE3：CE2=3：4，

∴D3E3=D2E2=×BC=BC，CE3=CE2=×AC=AC，S3=S△ABC…；

∴Sn=S△ABC．

∴S1=S△D1E1A=S△ABC，

根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1=BC，CE1=AC，S1=S△ABC；

∴在△ACB中，D2为其重心，

又D1E1为三角形的中位线，∴D1E1∥BC，

∴△D2D1E1∽△CD2B，且相似比为1：2，

即=，

∴D2E1=BE1，

∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=S△ABC，

∴D3E3=BC，CE3=AC，S3=S△ABC…；

∴Sn=S△ABC．

故答案为：，．

∴AM=AP，AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短

∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CAB

∴AP：AC=AB：BC

∴AP：8=6：10

∴AP最短时，AP=4.8

∴当AM最短时，AM=AP÷2=2.4．

∴AB=，

又因为CA1⊥AB，

∴AB•CA1=AC•BC，

即CA1===．

∵C4A5⊥AB，

∴△BA5C4∽△BCA，

∴，

∴==．

所以应填和．

∴==，==，

又∵A1B1∥A2B2∥A3B3，

∴===，==，

∴OA1=A1A2，B1B2=B2B3

继而可得出规律：A1A2=A2A3=A3A4…；B1B2=B2B3=B3B4…

又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，

∴S△A1B1A2=，S△A2B2A3=2，

继而可推出S△A3B3A4=8，S△A，4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A6B6A7=512，S△A7B7A8=2048，

故可得小于2011的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，△A6B6A7，共6个．

故答案是：；6．

①将点A1（a，1）代入直线1中，可得，

所以a=．

②△A1B1B2的面积为：S==；

因为△OA1B1∽△OA2B2，所以2A1B1=A2B2，又因为两线段平行，可知△A1B1B2∽△A2B2B3，所以△A2B2B3的面积为S1=4S；

以此类推，△A4B4B5的面积等于S=．

∵∠BAC=∠BOC=90°，

∴ABCO四点共圆，

∴∠OAG=∠OBC=45°

∴△AGO是等腰直角三角形，

∴2AG2=2GO2=AO2==72，

∴OG=AG=6，

∵∠BAH=∠0GH=90°，∠AHB=∠OHG，

∴△ABH∽△GOH，

∴AB/OG=AH/（AG﹣AH），

∵AB=4，OG=AG=6，

∴AH=2.4

在直角△OHC中，∵HG=AG﹣AH=6﹣2.4=3.6，OG又是斜边HC上的高，

∴OG2=HG×GC，

而OG=6，GH=3.6，

∴GC=10．

∴AC=AG+GC=6+10=16．

故AC边的长是16．

∴∠2+∠3=90°，

∴∠HEF=90°，

同理四边形EFGH的其它内角都是90°，

∴四边形EFGH是矩形．

∴EH=FG（矩形的对边相等）；

又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，

∴∠1=∠5（等量代换），

同理∠5=∠7=∠8，

∴∠1=∠8，

∴Rt△AHE≌Rt△CFG，

∴AH=CF=FN，

又∵HD=HN，

∴AD=HF，

在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理得HF=，

∴HF=5，

又∵HE•EF=HF•EM，

∴EM=，

又∵AE=EM=EB（折叠后A、B都落在M点上），

∴AB=2EM=，

∴AD：AB=5：=．

故答案为：．

其面积分别是S1、S2、S3，

∴S1=，S2=，S3=

∵S1+S3=4S2，

∴AD2+BC2=4AB2

过点B作BK∥AD交CD于点K，

∵AB∥CD

∴AB=DK，AD=BK，∠BKC=∠ADC

∵∠ADC+∠BCD=90°

∴∠BKC+∠BCD=90°

∴BK2+BC2=CK2

∴AD2+BC2=CK2

∴CK2=4AB2

∴CK=2AB

∴CD=3AB．

故答案为91．

∵△ADF与△DEF同底等高，

∴S△ADF=S△DEF

即S△ADF﹣S△DPF=S△DEF﹣S△DPF，

即S△APD=S△EPF=15cm2，

同理可得S△BQC=S△EFQ=25cm2，

∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=15+25=40cm2．

故答案为40．

∵以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1，

∴AB=AE=BE，

∴△AEB是等边三角形，

∴边AB上的高线为EN=，

延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线，

则EM=1﹣EN=1﹣，

∴NF=EM=1﹣，

∴EF=1﹣EM﹣NF=﹣1．

故答案为﹣1．

∵AB=2，BC=4，

在△ABC中，根据三角形的三边关系，4﹣2＜AC＜2+4，即2＜AC＜6．

∴﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13，

在△ACD中，根据三角形的三边关系，得CD﹣AC＜AD＜CD+AC，

∴1＜AD＜13．

故AD的取值范围是1＜AD＜13．