一、选择题（本大题共16小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题，各2分）

1．下列各对数是互为倒数的是（　　）

A．4和﹣4    B．﹣3和    C．﹣2和    D．0和0

2．如图，∠1=40°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（　　）

A．160°    B．140°    C．60°    D．50°

3．如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为（　　）

A．    B．    C．    D．

4．下列计算，正确的是（　　）

A．a2•a2=2a2    B．a2+a2=a4    C．（﹣a2）2=a4    D．（a+1）2=a2+1

5．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

6．函数y=中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

7．若等腰三角形中有一个角等于70°，则这个等腰三角形的顶角的度数是（　　）

A．70°    B．40°    C．70°或40°    D．70°或55°

8．如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的2倍少15°，设∠ABD与∠DBC的度数别为x°、y°，根据题意，下列的方程组正确的是（　　）

A．    B．

C．    D．

9．小华班上比赛投篮，每人5次，如图是班上所有学生的投篮进球数的扇形统计图，则下列关于班上所有学生投进球数的统计量正确的是（　　）

A．中位数是3个    B．中位数是2.5个

C．众数是2个    D．众数是5个

10．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（　　）

A． =    B． =    C． =    D． =

11．（2分）定义新运算：a※b=，则函数y=3※x的图象大致是（　　）

A．    B．    

C．    D．

12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，以A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB、AO于点C、D，再分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE并延长交y轴于点F，则下列说法正确的个数是（　　）

①AF是∠BAO的平分线；

②∠BAO=60°；

③点F在线段AB的垂直平分线上；

④S△AOF：S△ABF=1：2．

A．1    B．2    C．3    D．4

13．（2分）如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10的度数为（　　）

A．60°    B．65°    C．70°    D．75°

14．（2分）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（　　）

A．4    B．    C．5    D．

15．（2分）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A．    B．    

C．    D．

16．（2分）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是（　　）

A．（2n﹣1，2n﹣1）    B．（2n，2n﹣1）    C．（2n﹣1，2n+1）    D．（2n﹣1，2n）

二、填空题（本小题共3小题，每小题3分，共9分）

17．人类的遗传物质就是DNA，人类的DNA是很长的链，最短的22号染色体也长达30000000个核苷酸，30 000 000用科学记数法表示为　   　．

18．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是　   　cm．

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是　   　．

三、解答题（本题共69分）

20．（4分）计算：（﹣1）0+2﹣1﹣+|1﹣|

21．（5分）如图，在4×5网格图中，其中每个小正方形边长均为1，梯形ABCD和五边形EFGHK的顶点均为小正方形的顶点．

（1）以B为位似中心，在网格图中作四边形A′BC′D′，使四边形A′BC′D′和梯形ABCD位似，且位似比为2：1；

（2）求（1）中四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长．（结果保留根号）

22．（9分）如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（取1.73）

（1）求楼房的高度约为多少米？

（2）过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．

23．（9分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：

（1）①表中a的值为　   　； ②频数分布直方图补充完整；

（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是　   　．

（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．

24．（10分）四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．

（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．

（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．

①连结OE，求△OBE的面积．

②求扇形AOE的面积．

25．（10分）如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．

（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；

（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；

（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．

26．（10分）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：

（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；

（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

27．（12分）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t=1时，KE=　   　，EN=　   　；

（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？

（3）当点K到达点N时，求出t的值；

（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？

河北省石家庄市中考数学二模试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共16小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题，各2分）

1．下列各对数是互为倒数的是（　　）

A．4和﹣4    B．﹣3和    C．﹣2和    D．0和0

【考点】17：倒数．

【分析】根据倒数的定义可知，乘积是1的两个数互为倒数，据此求解即可．

【解答】解：A、4×（﹣4）≠1，选项错误；

B、﹣3×≠1，选项错误；

C、﹣2×（﹣）=1，选项正确；

D、0×0≠1，选项错误．

故选C．

【点评】主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用．

2．如图，∠1=40°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（　　）

A．160°    B．140°    C．60°    D．50°

【考点】JA：平行线的性质．

【分析】先根据邻补角的定义计算出∠2=180°﹣∠1=140°，然后根据平行线的性质得∠B=∠2=140°．

【解答】解：如图，

∵∠1=40°，

∴∠2=180°﹣40°=140°，

∵CD∥BE，

∴∠B=∠2=140°．

故选：B．

【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

3．如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】U2：简单组合体的三视图．

【分析】直接利用组合体结合主视图以及俯视图的观察角度得出答案．

【解答】解：由几何体所示，可得主视图和俯视图分别为：

和．

故选：B．

【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．

4．下列计算，正确的是（　　）

A．a2•a2=2a2    B．a2+a2=a4    C．（﹣a2）2=a4    D．（a+1）2=a2+1

【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式．

【分析】根据同底数幂相乘判断A，根据合并同类项法则判断B，根据积的乘方与幂的乘方判断C，根据完全平方公式判断D．

【解答】解：A、a2•a2=a4，故此选项错误；

B、a2+a2=2a2，故此选项错误；

C、（﹣a2）2=a4，故此选项正确；

D、（a+1）2=a2+2a+1，故此选项错误；

故选：C．

【点评】本题主要考查了幂的运算、合并同类项法则及完全平方公式，熟练掌握其法则是解题的关键．

5．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

6．函数y=中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；E4：函数自变量的取值范围．

【分析】根据负数没有平方根求出x的范围，表示在数轴上即可．

【解答】解：由函数y=，得到3x+6≥0，

解得：x≥﹣2，

表示在数轴上，如图所示：

故选A

【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及函数自变量的取值范围，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．

7．若等腰三角形中有一个角等于70°，则这个等腰三角形的顶角的度数是（　　）

A．70°    B．40°    C．70°或40°    D．70°或55°

【考点】KH：等腰三角形的性质．

【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．

【解答】解：①70°是底角，则顶角为：180°﹣70°×2=40°；

②70°为顶角；

综上所述，顶角的度数为40°或70°．

故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

8．如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的2倍少15°，设∠ABD与∠DBC的度数别为x°、y°，根据题意，下列的方程组正确的是（　　）

A．    B．

C．    D．

【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．

【分析】因为AB⊥BC，所以∠ABC=90°，则x+y=90°；∠ABD的度数比∠DBC的度数的2倍少15°，则x=2y﹣15；由此联立得出方程组即可．

【解答】解：设∠ABD与∠DBC的度数分别为x，y，根据题意得

．

故选：B．

【点评】此题考查二元一次方程组的运用，注意此题的等量关系：第一个等量关系从垂直定义可得∠ABD+∠DBC=90°，第二个是∠ABD的度数=∠DBC的度数×2倍﹣15．

9．小华班上比赛投篮，每人5次，如图是班上所有学生的投篮进球数的扇形统计图，则下列关于班上所有学生投进球数的统计量正确的是（　　）

A．中位数是3个    B．中位数是2.5个

C．众数是2个    D．众数是5个

【考点】VB：扇形统计图；W4：中位数；W5：众数．

【分析】根据中位数和众数的定义，结合扇形统计图，选出正确选项即可．

【解答】解：由图可知：班内同学投进2球的人数最多，故众数为2；

因为不知道每部分的具体人数，所以无法判断中位数．

故选C．

【点评】本题考查了扇形统计图的知识，通过图形观察出投进2球的人数最多是解题的关键．

10．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（　　）

A． =    B． =    C． =    D． =

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．

【解答】解：∵AB∥CD∥EF，

∴=，A错误；

=，B错误；

=，

∴=，C正确；

=，D错误，

故选：C．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

11．定义新运算：a※b=，则函数y=3※x的图象大致是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象．

【分析】先根据新定义运算列出y的关系式，再根据此关系式及x的取值范围画出函数图象即可．

【解答】解：根据新定义运算可知，y=3※x=，

（1）当x≥3时，此函数解析式为y=2，函数图象在第一象限，以（3，2）为端点平行于x轴的射线，故可排除C、D；

（2）当x＜3时，此函数是反比例函数，图象在二、四象限，可排除A．

故选B．

【点评】此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，以A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB、AO于点C、D，再分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE并延长交y轴于点F，则下列说法正确的个数是（　　）

①AF是∠BAO的平分线；

②∠BAO=60°；

③点F在线段AB的垂直平分线上；

④S△AOF：S△ABF=1：2．

A．1    B．2    C．3    D．4

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KF：角平分线的性质；KG：线段垂直平分线的性质．

【分析】根据角平分线的作法可得①正确，再直线的斜率可得∠BAO=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确，根据直角三角形的性质得出AF=2OF，再由AF=BF得出BF=2OF，进而可得④正确．

【解答】解：由题意可知AF是∠BAO的平分线，故①正确；

∵一次函数y=x+1

∴k=，

∴∠BAO=60°，故②正确；

∵∠BAO=60°，

∴∠ABO=30°，

∵AF是∠BAO的平分线，

∴∠BAF=30°，

∴∠BAF=∠ABO，

∴AF=BF，

∴点F在AB的垂直平分线上，故③正确；

∵∠OAF=30°，

∴AF=2OF．

∵AF=BF，

∴BF=2OF，

∴S△AOF：S△ABF=1：2，故④正确．

故选D．

【点评】此题考查的是作图﹣基本作图，角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC度数是解题关键．

13．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10的度数为（　　）

A．60°    B．65°    C．70°    D．75°

【考点】L3：多边形内角与外角．

【分析】如图，作辅助线，首先证得=⊙O的周长，进而求得∠A3OA10==150°，运用圆周角定理问题即可解决．

【解答】解：设该正十二边形的中心为O，如图，连接A10O和A3O，

由题意知， =⊙O的周长，

∴∠A3OA10==150°，

∴∠A3A7A10=75°，

故选D．

【点评】此题主要考查了正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理，作出恰当的辅助线，灵活运用有关定理来分析是解答此题的关键．

14．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（　　）

A．4    B．    C．5    D．

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．

【分析】根据点A、B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，可设出点B坐标为（，m），再根据B为线段AC的中点可用m表示出来A点的坐标，由AD∥x轴、BE∥x轴，即可用m表示出来点D、E的坐标，结合梯形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：∵点A、B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，

设点B的坐标为（，m），

∵点B为线段AC的中点，且点C在x轴上，

∴点A的坐标为（，2m）．

∵AD∥x轴、BE∥x轴，且点D、E在反比例函数y=（x＞0）的图象上，

∴点D的坐标为（，2m），点E的坐标为（，m）．

∴S梯形ABED=（﹣+﹣）×（2m﹣m）=．

故选B．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及梯形的面积，解题的关键是用m表示出来A、B、E、D四点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，只要设出一个点的坐标，再由该点坐标所含的字母表示出其他点的坐标即可．

15．如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】E7：动点问题的函数图象．

【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

【解答】解：∵△ABC是正三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°，

∴∠BPD=∠CAP，

∴△BPD∽△CAP，

∴BP：AC=BD：PC，

∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y，

∴x：4=y：（4﹣x），

∴y=﹣x2+x．

故选C．

【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD∽△CAP是关键．

16．在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是（　　）

A．（2n﹣1，2n﹣1）    B．（2n，2n﹣1）    C．（2n﹣1，2n+1）    D．（2n﹣1，2n）

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；D2：规律型：点的坐标．

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得知点Bn是线段CnAn+1的中点，由此即可得出点Bn的坐标．

【解答】解：观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），…，

∴An（2n﹣1，2n﹣1﹣1）．

观察图形可知：点Bn是线段CnAn+1的中点，

∴点Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．

故选A．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“An（2n﹣1，2n﹣1﹣1）”是解题的关键．

二、填空题（本小题共3小题，每小题3分，共9分）

17．人类的遗传物质就是DNA，人类的DNA是很长的链，最短的22号染色体也长达30000000个核苷酸，30 000 000用科学记数法表示为　3×107　．

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：30 000 000=3×107．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

18．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是　5　cm．

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系．

【分析】根据题意得到MN=BC，当正方形纸片卷成一个圆柱时，EF卷成一个圆，线段卷成圆上一段弧，该段弧所对的圆心角为×360°，要求圆柱上M，N两点间的距离即求弦MN的长．

【解答】解：根据题意得：EF=AD=BC，MN=2EM=EF，

把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段EF形成一直径为10cm的圆，线段EF为圆上的一段弧．

所对的圆心角为：×360°=120°，

所以圆柱上M，N两点间的距离为：2×5×sin60°=5cm．

故答案为：5．

【点评】此题实质考查了圆上弦的计算，需要先找出圆心角再根据弦长公式计算，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是　1.2　．

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．

【分析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽△ABC，得到=求出FM即可解决问题．

【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小）

∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，

∴△AFM∽△ABC，

∴=，

∵CF=2，AC=6，BC=8，

∴AF=4，AB==10，

∴=，

∴FM=3.2，

∵PF=CF=2，

∴PM=1.2

∴点P到边AB距离的最小值是1.2．

故答案为1.2．

【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型．

三、解答题（本题共69分）

20．计算：（﹣1）0+2﹣1﹣+|1﹣|

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．

【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．

【解答】解：（﹣1）0+2﹣1﹣+|1﹣|

=1+﹣3+﹣1

=﹣2

【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

21．如图，在4×5网格图中，其中每个小正方形边长均为1，梯形ABCD和五边形EFGHK的顶点均为小正方形的顶点．

（1）以B为位似中心，在网格图中作四边形A′BC′D′，使四边形A′BC′D′和梯形ABCD位似，且位似比为2：1；

（2）求（1）中四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长．（结果保留根号）

【考点】SD：作图﹣位似变换；KQ：勾股定理．

【分析】（1）分别延长BA、BC、BD到A′、C′、D′，使BA′=2BA，BC′=2BC，BD′=2BD，然后顺次连接A′BC′D′即可得解；

（2）根据网格图形，重叠部分正好是以格点为顶点的平行四边形，求出两邻边的长的，然后根据平行四边形的周长公式计算即可．

【解答】解：（1）如图所示：四边形A′BC′D′就是所要求作的梯形；

（2）四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分是平行四边形EFGD′，ED′=FG=1，

在Rt△EDF中，ED=DF=1，

由勾股定理得EF==，

∴D′G=EF=，

∴四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长=ED′+FG+D′G+EF，

=1+1++，

=2+2．

故答案为：2+2．

【点评】本题考查了利用位似变换作图，关键是根据位似变换的定义找出点A、C、D的对应点的位置．

22．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（取1.73）

（1）求楼房的高度约为多少米？

（2）过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．

【考点】T8：解直角三角形的应用．

【分析】（1）在Rt△ABE中，由tan60°==，即可求出AB=10•tan60°=17.3米；

（2）假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H．由∠BFA=45°，可得AF=AB=17.3米，那么CF=AF﹣AC=0.1米，CH=CF=0.1米，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，故小猫仍可以晒到太阳．

【解答】解：（1）当α=60°时，在Rt△ABE中，

∵tan60°==，

∴AB=10•tan60°=10≈10×1.73=17.3米．

即楼房的高度约为17.3米；

（2）当α=45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：

假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H．

∵∠BFA=45°，

∴tan45°==1，

此时的影长AF=AB=17.3米，

∴CF=AF﹣AC=17.3﹣17.2=0.1米，

∴CH=CF=0.1米，

∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，

∴小猫仍可以晒到太阳．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．

23．“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：

（1）①表中a的值为　12　； ②频数分布直方图补充完整；

（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是　44%　．

（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图．

【分析】（1）①根据各组频数之和等于总数可得a的值；②由频数分布表即可补全直方图；

（2）用成绩大于或等于80分的人数除以总人数可得；

（3）列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．

【解答】解：（1）①由题意和表格，可得：a=50﹣6﹣8﹣14﹣10=12，

②补充完整的频数分布直方图如下图所示，

故答案为：12；

（2）∵测试成绩不低于80分为优秀，

∴本次测试的优秀率是：×100%=44%，

故答案为：44%；

（3）设小明和小强分别为A、B，另外两名学生为：C、D，

则所有的可能性为：AB、AC、AD、BA、BC、BD，

所以小明和小强分在一起的概率为： =．

【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率．

24．（10分）（2017•石家庄二模）四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．

（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．

（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．

①连结OE，求△OBE的面积．

②求扇形AOE的面积．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，进而利用菱形的判定方法得出答案；

（2）①首先求出△ABD的面积进而得出S△OBE=S△ABD；

②首先求出扇形AOE的圆心角，进而利用扇形面积求出答案．

【解答】（1）证明：∵AE=EC，BE=ED，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB为直径，且过点E，

∴∠AEB=90°，即AC⊥BD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：①连结OF，

∵DC的延长线于半圆相切于点F，

∴OF⊥CF，

∵FC∥AB，

∴OF即为△ABD中AB边上的高，

∴S△ABD=AB×OF=×8×4=16，

∵点O是AB中点，点E是BD的中点，

∴S△OBE=S△ABD=4；

②过点D作DH⊥AB于点H，

∵AB∥CD，OF⊥CF，

∴FO⊥AB，

∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°，

∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4，

∵在Rt△DAH中，sin∠DAB==，

∴∠DAH=30°，

∵D点O，E分别为AB，BD中点，

∴OE∥AD，

∴∠EOB=∠DAH=30°，

∴∠AOE=180°﹣∠EOB=150°，

∴S扇形AOE==π．

【点评】此题主要考查了圆的综合以及菱形、矩形的判定方法、扇形面积求法等知识，正确掌握菱形的判定与性质是解题关键．

25．（10分）（2016•三明）如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．

（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；

（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；

（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．

【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式．

【分析】（1）根据抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2过点C（﹣1，﹣2），可以求得抛物线F的表达式；

（2）根据题意，可以求得yP的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的大小；

（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题

【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），

∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，

解得，m=﹣1，

∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；

（2）当x=﹣2时，yp=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，

∴当m=﹣2时，yp的最小值﹣2，

此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，

∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，

∵x1＜x2≤﹣2，

∴y1＞y2；

（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，

理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），

∴或或，

解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．

26．（10分）（2017•石家庄二模）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：

（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；

（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

【考点】HE：二次函数的应用．

【分析】（1）分两种情形分别代入解方程即可．

（2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可．

（3）分两种情形根据函数的性质解决问题即可．

【解答】解：（1）分两种情况

①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+x，解得x=10

②当21≤x≤30时，25=10+，解得x=28

经检验x=28是方程的解

∴x=28

答：第10天或第28天时该商品为25元/件．

（2）分两种情况

①当1≤x≤20时，y=（m﹣10）n=（20+x﹣10）（50﹣x）=﹣x2+15x+500，

②当21≤x≤30时，y=（10+﹣10）（50﹣x）=

综上所述：

（3）①当1≤x≤20时

由y=﹣x2+15x+500=﹣（x﹣15）2+，

∵a=﹣＜0，

∴当x=15时，y最大值=，

②当21≤x≤30时

由y=﹣420，可知y随x的增大而减小

∴当x=21时，y最大值=﹣420=580元

∵

∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．

【点评】本题考查二次函数的应用、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会构建函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．

27．（12分）（2017•石家庄二模）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t=1时，KE=　1　，EN=　　；

（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？

（3）当点K到达点N时，求出t的值；

（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理；LB：矩形的性质．

【分析】（1）利用△APM∽△ABC求出PM，然后求出ME，再利用△APM∽△NEM，就可以求出EN．

（2）△APM的面积与△MNE的面积相等，且两个三角形相似，所以，只有两三角形全等面积就相等，表示出三角形的面积，从而求出t值．

（3）（1）已经求出EN的值，根据EN+PE=AP的值，解出t即可．

（4）是直角三角形有两种情况，K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，在FE上的一点时也是直角三角形．利用三角形相似求出t的值．

【解答】解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1，

∵PE=2，

∴KE=2﹣1=1，

∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，

∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，

∴=， =，

∴MP=，ME=，

∴NE=；

故答案为：1；；

（2）由（1）并结合题意可得，

AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t，

∴t×t=（2﹣t）×（﹣t），

解得，t=；

（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，

由（2）得，﹣t+2=t，

解得，t=；

（4）①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，

即，0＜t≤2；

②当点k在EF上时，

则KE=t﹣2，BP=8﹣t，

∵△BPK∽△PKE，

∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，

∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），

解得t=3，t=4；

③当t=5时，点K在BC边上，∠KBP=90°．

综上，当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△PKB是直角三角形．

【点评】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理，本题综合性比较强，考查了学生对于知识的综合运用能力和空间想象能力．下载本文