数学试卷
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题①A B A = ；②A B A ⋃=；③()I A C B ⋂=∅；
④A B I ⋂=中与命题A B ⊆等价的有A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．函数sin 24x y π⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
的最小正周期为（
）A ．πB ．2π
C ．4π
D ．2
π3．已知x ，y 均为正实数，且111226
x y +=++，则x y +的最小值为A ．20B ．24
C ．28
D ．32
4．已知1
tan 3
α=，则sin 2α=（）
A ．
45
B ．
35C ．
310
D ．
110
5．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；④若cos 0θ<，
θ是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．下列各组函数()f x 与()g x 的图象相同的是（）
A ．2(),()f x x g x ==
B ．0
(),()
x x f x x g x x x ≥⎧==⎨
-<⎩C ．0
()1,()f x g x x ==D ．22
(),()(1)f x x g x x ==+7．已知函数()3log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，函数()h x 是满足
()()2h x h x +=的偶函数，且当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-，若函数()()y k f x h x =⋅+有3
个零点，则实数k 的取值范围是（）
A ．()
71,2log 3B ．()
52,2log 3--
C ．()
52log 3,1--D ．71log 3,2⎛
⎫-- ⎪
⎝
⎭8．设函数32,0
()32,0x x x f x x -⎧->=⎨-+<⎩
,则下列结论错误的是
A ．函数()f x 的值域为R
B ．函数()f x 是奇函数
C ．(||)f x 是偶函数
D ．()f x 在定义域上是单调函数
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．给出下列四个命题，其中正确的命题有（）
A ．23tan 4cos 2sin 4π⎛⎫
⋅⋅- ⎪⎝
⎭的符号为正
B ．函数
y =的定义域为2,22,2,22k k k k k Z
πππππππ⎡⎫⎛⎤
+++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
C ．若()0,θπ∈
，sin cos θθ+=tan θ=D ．
()()
cos tan()1
sin αππαπα-⋅+=--10．以下函数在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上为单调函数的有（
）
A ．sin cos y x x =+
B ．sin cos y x x =-
C ．sin cos y x x
=D ．sin cos x y x
=11．给出下列结论，其中正确的结论是（
）
A ．函数21
12x y -+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的最大值为1
2
B ．已知函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是()1,2
C ．函数()f x 满足()()221f x f x x --=-，则()33
f =D ．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-内有1010个零点，则函数()f x 的零点个数为2021
12．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =，记()()sin cos g x x f x x =+⋅，
下列结论正确的是（）
A ．()g x 为奇函数
B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=
C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的零点个数为3个
D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ⋅⋅⋅，则1273
x x π<+<三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题后的横线上.
13．已知α，β均为锐角，1tan 5α=
，2
tan 3
β=，则αβ+的值为______14．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体
积V 与天数t 的关系式为：e kt V a -=⋅．已知新丸经过50天后，体积变为4
9
a ．若一个新丸
体积变为
8
27
a ，则需经过的天数为______．15．已知函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；存在[],a
b D ⊆使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数
()()
2(0x a f x log a t a =+>且1)a ≠是“半保值函数”，则t 的取值范围为________
16．函数()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则
()()()()()12320202021f f f f f +++⋅⋅⋅++=___________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．设{}
{}
2
2,430,0,1,4x U R A x x x B x
C x a x a a R x ⎧⎫-==-+≤=<=≤≤+∈⎨⎬-⎩⎭
(1)分别求(),U A B A B ⋂⋃ð(2)若B C C = ，求实数a 的取值范围
18．已知函数()x f x b a =⋅（,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,8)A ，(3,32)B （1）试求,a b 的值；
（2）若不等式11()()0x x
m a b
+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.
19．已知函数()4cos sin()16
=+-f x x x π
.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：
（Ⅱ）求()f x 在区间,ππ⎡⎤
-⎢⎣⎦
上的最大值和最小值.
20．已知函数()sin 22f x x =+，()(
)2
g x f x x =+(1)若角θ满足1
tan 3tan θθ
+
=，求()f θ；(2)若圆心角为θ，半径为2的扇形的弧长为L ，且()2g θ=，()0,θπ∈，求L .
21．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：小时)变化的函数关系式近似为316
1,0392
162,37
x
x x y x -⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：lg 20.3≈，lg15 1.17≈）
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒t 小时后空气中净化剂浓度为()g t (毫克/立方米)，其中03t <≤．①求()g t 的表达式；
②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值．
22．已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；
（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.
1．B 【分析】
直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论．【详解】
解：由A B ⊆得Venn
图，
①A B A A B ⋂=⇔⊆；②A B A B A =⇔⊆ ；③()I A C B A B =∅⇔⊆ ；④I A B I A C B =⇔⊆ ；故和命题A B ⊆等价的有①③，故选：B ．【点睛】
本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了Venn 图的应用，属于基础题．2．C 【分析】根据公式2T ω
π
=求函数的最小正周期.
【详解】
解：sin sin 2424x x y ππ⎛⎫⎛⎫
=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得函数的最小正周期2412
T π
π==，
故选：C.3．A 【详解】
分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出.详解：,x y 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫
+= ⎪++⎝⎭
(2)(2)4
x y x y ∴+=+++-116(
)[(2)(2)]422
x y x y =++++-++22
6(2)46(242022y x x y ++=+
+-≥+-=++当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20.
故选A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.4．B 【分析】
根据正切值求得正弦、余弦值，从而求得二倍角的正弦值.【详解】
由1
tan
3α=
知，sin α=cos α=或sin α=，cos α=，
则3sin 22sin cos 2
5
ααα==⨯，故选：B 5．A 【分析】
根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【详解】
对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；
对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；
对于③，若sin sin αβ=，则α与β的终边相同，或关于y 轴对称，③错误；对于④，若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角，或终边在x 负半轴上，④错误；综上，其中正确命题是②，只有1个.故选：A
【点睛】
本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.6．B 【分析】
根据相等函数的定义即可得出结果.【详解】
若函数()f x 与()g x 的图象相同则()f x 与()g x 表示同一个函数，则()f x 与()g x 的定义域和解析式相同.
A ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[0)+∞，
，故排除A ；B ：0
()0x x f x x x ≥⎧=⎨
-<⎩
，，与()g x 的定义域、解析式相同，故B 正确；C ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{0}x x ≠，故排除C ；D ：()f x 与()g x 的解析式不相同，故排除D.故选：B 7．B 【分析】
把函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，转化为()3log k x h x =-有3个不同根，画出函数3log y k x =⋅与()y h x =-的图象，转化为关于k 的不等式组求解即可.
【详解】
由函数()3log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，得()3x
g x =，函数()
h x 是最小正周期为2的偶函数，当[]0,1x ∈时，()()131x
h x g x =-=-，函数()()
y k f x h x =⋅+有3个零点，即()3log k x h x =-有3个不同根，画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象如图：
要使函数3log y k x =与
()y h x =-的图象有3个交点，则0k <，且33log 32
log 52k k >-⎧⎨<-⎩
，即522log 3k -<<-.∴
实数k 的取值范围是()52,2log 3--.
故选：B.8．D 【解析】
根据分段函数的解析式研究函数的单调性，奇偶性，值域，可得结果.【详解】
当0x >时，()32x f x =-为增函数，所以()(0)1f f x >=-，当0x <时，()32x f x -=-+为增函数，所以()(0)1f x f <=，
所以()f x 的值域为(1,)(,1)R -+∞⋃-∞=，所以选项A 是正确的；
又3log 23(log 2)32220f -=-+=-+=，3log 2
3(log 2)32220f =-=-=，所以()f x 在定义域
(,0)(0,)-∞+∞ 上不是单调函数，故选项D 是错误的；
因为当0x >时，0x -<，所以()()3232(32)()x x x f x f x ---=-+=-+=--=-，当0x <时，
0x ->，所以()32(32)()x x f x f x ---=-=--+=-，
所以()()f x f x -=-在定义域内恒成立，所以()f x 为奇函数，故选项B 是正确的；因为(||)(||)-=f x f x 恒成立，所以函数(||)f x 为偶函数，故选项C 是正确的.故选：D 【点睛】
本题考查了分段函数的单调性性，奇偶性和值域，属于基础题.
【分析】
根据角的象限以及诱导公式可知A 不正确；解不等式cos tan 0x x ≥可知B 正确；根据
1
sin cos 2θθ+=
求出1sin cos 2
θθ-=，再求出sin θ和cos θ可得tan θ，可知C 不正确；根据诱导公式化简可知D 正确.【详解】
对于A ，因为342
ππ<<
，所以tan 40>，因为22π
π<<，所以cos20<，因为
23sin sin 6sin 0444ππππ⎛⎫⎛
⎫-=-+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，所以23tan 4cos 2sin()4π⋅⋅-的符号为负，故A 不正确；
对于B ，由cos tan 0x x ≥得sin 0x ≥且x 不为y 轴上的角，所以222
k x k π
ππ≤<+或
22
2
k x k π
πππ+
<≤+，k Z ∈，所以函数y =2,22,2,22k k k k k Z πππππππ⎡⎫⎛⎤
+++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
，故B 正确；
对于C ，由1
sin cos 2θθ+=，得()2
2sin cos θθ⎫+=⎪⎪⎝⎭
，得sin cos 4θθ=-，又因为()0,θπ∈，sin 0θ>，所以cos 0θ<，所以sin θcos θ0->，所以
sin cos θθ-=
==12+=，
所以
11
22sin 22
θ-+=
=，122cos 22
θ=
=-，
所以sin tan cos θ
θθ
=
=C 不正确；对于D ，
()()
cos cos tan()tan 1sin sin απα
πααπαα
--⋅+=
⋅=--，故D 正确.故选：BD 【点睛】
关键点点睛：掌握三角函数的符号规则、诱导公式、同角公式是解题关键.10．BD
对于AB 选项，由两角和与差的正弦函数公式将函数化为()sin y A ωx φ=+形式，再由函数
()sin y A ωx φ=+的图象与性质求解即可判定；对于C 选项，由二倍角公式可得1
sin 22
y x =，
再由正弦函数的性质即可判定；对于D 选项，由同角三角函数基本关系可得tan y x =，再由正切函数的性质即可判定.【详解】
解：对于A 选项，sin cos 4y x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，3,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以，函数sin cos y x x =+在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，所以
A 错误，
对于B 选项，sin cos 4y x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以，
函数sin cos y x x =-在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，所以B 正确，
对于C 选项，1sin cos sin 22y x x x ==，当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()20,x π∈，
所以，函数sin cos y x x =在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上不单调，所以C 错误，
对于D 选项，当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，sin tan cos x y x x ==，所以，函数sin cos x y x =在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调
递增，所以D 正确故选：BD.11．CD 【分析】
利用指数函数的性质，结合函数的最值对A 进行判断；利用对数函数的性质及复合函数的单调性对B 进行判断；由()()()()221
221
f x f x x f x f x x ⎧--=-⎪⎨--=--⎪⎩得，()213f x x =+，()213f x x -=-+，
对C 进行判断；利用函数的零点与方程根的关系，结合奇函数的性质对D 进行判断，从而得结论.【详解】
对于A ，因为211x -+≤，所以21
1122x -+⎛⎫
≥ ⎪
⎝⎭
，因此21
12x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
有最小值1
2，无最大值，所以
A 错误，
对于B ，因为函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，所以120a a >⎧⎨-≥⎩
，解得12a <≤，实数a 的取值范围是(]1,2，所以B 错误，
对于C ，由()()()()221221
f x f x x f x f x x ⎧--=-⎪⎨--=--⎪⎩得，()213f x x =+，()213f x x -=-+，∴()33f =.所以
C 正确，
对于D ，因为定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-内有1010个零点，所以函数()f x 在()0,∞+内有1010个零点，而()00f =，因此函数()f x 的零点个数为2101012021⨯+=，所以D 正确，故选：CD 12．ABD 【分析】
运用奇函数的定义和诱导公式可判断A ；由零点的定义和同角三角函数关系可判断B ；由零点的定义和图象的交点个数，可判断C ；由0x >时，lg y x =-和tan y x =的图象，结合正切函数的性质，可判断D.【详解】
因为()()()()()()sin cos sin cos g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确；假设cos 0x =，即2
x k π
=+π，k Z ∈时，()sin cos sin cos 02x f x x k k πππ⎛⎫
+⋅==≠ ⎪⎝⎭
，
所以当2
x k π
=+π，k Z ∈时，()0g x ≠，
当2
x k π
π≠
+，k Z ∈时，()()sin cos 0tan x f x x x f x +⋅=⇔=-，
当00x <，00x ->，则()()()000lg f x f x x =--=--，由于()g x 的一个零点为0x ，则
()()()00000tan lg lg tan 0x f x x x x =-=-⇒--=，故B 正确；
如图：
当0x >时，令1tan y x =，2lg y x =-，则()g x 大于0的零点为1tan y x =，2lg y x =-，的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭的零点有1个，并且()()0sin 00cos00g f =+⋅=，所以函数在区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的
零点个数为4个，故C 错误；由图可知，()g x 大于1的零点，134x ππ<<，2322x ππ<<，所以12934
x x π
π<+<，而
974
π
>，故推出1273
x x π<+<，故D 正确.故选：ABD.13．
4
π【分析】
直接利用两角的和的正切关系式，即可求出结果．【详解】
已知α，β均为锐角，1tanα5=
，2
tanβ3
=，则0αβπ<+<，所以：()12
tanαtanβ53
tan αβ12
1tanαtanβ115
+
++=
=--，故παβ4+=．故答案为π4
．【点睛】
本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，以及两角和的正切关系式的应用，其中解答中
熟记两角和的正切的公式，准确运算是解答的关键，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．14．75【分析】
由题意，先算出1
50
4e 9k -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，由此可算出一个新丸体积变为827a 需经过的天数.【详解】
由已知，得504e 9k
a a -=⋅，
∴150
4e 9k -⎛⎫= ⎪⎝⎭
．设经过1t 天后，一个新丸体积变为8
27
a ，则
18
e 27
kt a a -=⋅，∴()
11
50
84e 279t t k
-⎛⎫== ⎪⎝⎭
，∴
13
502
t =，175t =．故答案为：75.15．11
(,0)(0,22
- 【分析】
根据半保值函数的定义,将问题转化为()2
x a y log a t =+与1
2
y x =
的图象有两个不同的交点，即1
220x x a a t -+=有两个不同的根,换元后转化为二次方程的实根的分布可解得.【详解】
因为函数()()2
(0x a f x log a t a =+>且1)a ≠是“半保值函数”，且定义域为R ，
由1a >时，2x z a t =+在R 上单调递增，a y log z =在(0,)+∞单调递增，可得()f x 为R 上的增函数；
同样当01a <<时，()f x 仍为R 上的增函数，()f x ∴在其定义域R 内为增函数，
因为函数()()2
(0x a f x log a t a =+>且1)a ≠是“半保值函数”，所以()2
x a y log a t =+与1
2
y x =的图象有两个不同的交点，所以()2
1
2
x a log a t x +=
有两个不同的根，即1
22x x a t a +=有两个不同的根,即1
220x x a a t -+=有两个不同的根,可令12x u a =，0u >，
即有220u u t -+=有两个不同的正数根，可得2140t ->，且20t >，解得t ∈11
(,0)(0,22
- .
【点睛】
本题考查函数的值域的求法，解题的关键是正确理解“半保值函数”，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．16．
2
2+【分析】
函数()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象与性质，求出A ､ω与ϕ的值，再利用函数的周期性即可求出答案.【详解】
解：由图象知2A =，28T π
ω
=
=，∴4
πω=
，又由图象可得：224k π
ϕπ⨯+=，可求得
22k π
ϕπ=-
，∴()2cos 2sin 424f x x x π
ππ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴()()()()()1234820200f f f f f ++++⋅⋅⋅+++-+=，∴()()()()
1232021f f f f +++⋅⋅⋅+()()()()()()()()()()2521234812345f f f f f f f f f f =⨯++++⋅⋅⋅++++++⎡⎤⎣⎦()()()()()35123452sin 2sin
2sin
2sin 2sin 4
2
44
f f f f f π
π
ππ
π=++++=++++
222022
⎛=++⨯=+ ⎝⎭
故答案为：217．(1){}23A B x x =<≤ ；{|3U A B x x ⋃=≤ð或}4x ≥(2)()
2,3a ∈【分析】
（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；
（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.（1）
解：解不等式可得{}
{}2
43013A x x x x x =-+≤=≤≤，{}20244x B x x x x ⎧⎫
-=<=<<⎨⎬-⎩
⎭
，所以{}23A B x x =<≤ ，{2U B x x =≤ð或}4x ≥，{3U A B x x =≤ ð或}4x ≥；（2）
解：由B C C = 可得C B ⊆，且C ≠∅，
所以214a a >⎧⎨+<⎩
，解得23a <<，即()2,3a ∈.
18．（1）2,4a b ==；（2）3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦.
【分析】
（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）将原不等式分离常数m ，利用函数的单调性，求出m 的取值范围.【详解】
（1）由于函数()f x 图像经过(1,8)A ，(3,32)B ，所以38
32
a b a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解得2,4a b ==，所以
()2422x x f x +=⋅=.
（2）原不等式11()()0x x m a b +-≥为11024x
x
m ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1124x
x
m ⎛⎫⎛⎫
≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞时
恒成立，而1124x
x
⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞时单调递减，故在1x =时1124x
x
⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
有最小值为
11
113244
⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故34m ≤.所以实数m 的取值范围是3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】
本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.19．（Ⅰ）（Ⅱ）2，
1-．
【详解】
（Ⅰ）因为()4cos sin f x x =1
6x π⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭1
4cos cos 12x x x ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭
22cos 1cos22sin 2
6x x x x x π⎛
⎫=+-=+=+ ⎪⎝
⎭，
故()f x 最小正周期为π（Ⅱ）因为6
4
x π
π
-
≤≤，所以22663
x πππ
-
≤+≤．于是，当262
x ππ
+=
，即6
x π
=
时，()f x 取得最大值2；
当ππ266
x +
=-，即6x π
=-时，()f x 取得最小值1-．
点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.20．(1)()8
3
f θ=(2)
23
π或53π
【分析】
（1）对已知式子化简变形求出sin 2θ，从而可求出()f θ的值，
（2）先对()g x 化简变形得()22sin 23g x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，再由()2g θ=可求出θ，再利用弧长公
式可求得结果(1)∵1sin cos 12
tan 3tan cos sin sin cos sin 2θθθθθθθθθ
+
=+===，
∴2sin 23θ=，∴()83
f θ=.(2)
∵(
)2
sin 22cos sin 2cos 2222sin 23g x x x x x x π⎛⎫=++=+=++ ⎪
⎝
⎭∴()22sin 223g πθθ⎛
⎫=++= ⎪⎝
⎭，
∴sin 203πθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
，
∵()0,θπ∈，
∴3
πθ=
或56π.∴223
L πθ==或53
π
.
21．（1）6.9，（2）①1
32()23092t t
g t +=-+-（03t <≤），②28毫克/立方米【分析】
（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度3
4,03()4924(162,37
)x x x f x y x -⎧-≤≤⎪
==-⎨⎪-<≤⎩，
分类讨论解出()4f x ≥即可（2）①由题意可得132()23092t t g t +=
-+-（03t <≤），②由于()g t 可化为32
2(92)1292
t t
+-+-，然后利用基本不等式可求出其最小值【详解】
解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度3
4,03()4924(162,37
)x x x f x y x -⎧-≤≤⎪
==-⎨⎪-<≤⎩，
则当03x ≤≤时，由
4492x
-≥-，得0x ≥，所以03x ≤≤，当37x <≤时，由34(162)4x --≥，得3215x -≤，(3)lg 2lg15x -≤，得 6.9x ≤，所以3 6.9x <≤，综上，0 6.9x ≤≤，
所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达6.9小时，
（2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为316213920⎡⎤=⎢-⎥⎣⎦
⨯-（毫克/立方米），所以第二次喷洒t 小时后空气中净化剂浓度为
(3)3
13232()22[162]2309292t t t t
g t +-+=
-+-=-+--（03t <≤），②1
32()23092t t
g t +=-+-（03t <≤），132
1821292
t t
+=+-+-32
2(92)1292
t t
=
+-+-
1228≥+=，当且仅当322(92)92t t =--，即 2.3t ≈时取等号，所以第二次喷洒2.3小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米【点睛】
关键点点睛：此题考查了函数的实际应用、分段函数的意义和性质、基本不等式、分类讨论的思想，考查分析问题的能力，解题的关键是正确理解题意，求出(3)313232
()22[162]2309292
t t t t
g t +-+=
-+-=-+--（03t <≤），然后利用基本不等式求出其最小值，属于较难题
22．（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【解析】
（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；
（2）由（1）可得()2
ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转
化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；
（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.
【详解】
（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.
（2）由（1）可知()2
ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2
ln 20x kx -=，得2210x kx --=，
设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，
答案第15页，共15页等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720
h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为k Z ∈，所以k 的取值为2或3.
（3）因为0m >且1m m >，所以1m >且101m
<<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，
所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，因为22112()2g m g m m m m
m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝
⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，
只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，
设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，
又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，
所以m 的取值范围是()1,2.
【点睛】
已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：
1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.下载本文
