数 学 试 题
（满分：150分 考试时间：120分钟）
友情提示：
1.作图或画辅助线等需用签字笔描黑.
2.未注明精确度的计算问题，结果应为准确数.
3.抛物线()的顶点坐标为，对称轴.
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确选项，请在答题卡
的相应位置填涂）
1. 在－2，－，0，2四个数中，最大的数是( ▲ )
A. －2 B. － C. 0 D. 2
2．据《2011年三明市国民经济和社会发展统计公报》数据显示，截止2011年末三明市
常住人口约为2 510 000人，2 510 000用科学记数法表示为（▲）
A． B．
C． Ｄ．
3．如图，AB//CD，∠CDE=，则∠A的度数为（▲）
A． B． C． D．
4．分式方程的解是(▲)
A． B． C． D．
5．右图是一个由相同小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（▲）
6．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为（▲）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．下列计算错误的是(▲)
A． B． C． D．
8．如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OA=1，∠AOB=，则图
中阴影部分的面积是（▲）
A． B．
C． D．
9．在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5，6，7的小球，它们
除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出
1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（▲）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在轴上，
若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的
点P共有（▲）
A． 2个 B． 3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）
11．分解因式：= ▲ ．
12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，
若BC=6，则DE= ▲ ．
13．某校九（1）班6位同学参加跳绳测试，他们的成绩
（单位：次/分钟）分别为：173，160，168，166，175，
168．这组数据的众数是 ▲ ．
14．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，
请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是 ▲ ．
(不再添加辅助线和字母)
15．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线
上，且AB//轴，点P是轴上的任意一点，
则△PAB的面积为 ▲ ．
16．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，
a的值是 ▲ ．
三、解答题（共7题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置）
17. (本题满分14分）
（1）计算：；（7分）
（2）化简：．（7分）
18. (本题满分16分)
（1）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来；（8分）
（2）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－1），B（－3，－3），
C（－1，－3）.
①画出△ABC关于轴对称的△，并写出点的坐标；（4分）
②画出△ABC关于原点O对称的△，并写出点的坐标.（4分）
19. (本题满分10分)
为了解某县2012年初中毕业生数学质量检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该县若干名初中毕业生的数学质量检测成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图：
请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生有___▲ 名；（2分）
（2）补全条形统计图；（2分）
（3）在抽取的学生中C级人数所占的百分比是__▲ ；（2分）
（4）根据抽样调查结果，请你估计2012年该县1430名初中毕业生数学质量检测成绩为A级的人数．（4分）
20．(本题满分10分)
某商店销售A，B两种商品，已知销售一件A种商品可获利润10元，销售一件B种商品可获利润15元．
（1）该商店销售A，B两种商品共100件，获利润1350元，则A，B两种商品各销售多少件？（5分）
（2）根据市场需求，该商店准备购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数
不多于A种商品件数的3倍．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？（5分）
21. (本题满分10分)
如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆
经过A，C两点，交AB于点D，已知∠A=，∠B=，
且2+=．
（1）求证：BC是⊙O的切线；（5分）
（2）若OA=6，，求BC的长．（5分）
22．（本题满分12分）
已知直线与轴和轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图①，当点M与点A重合时，求：
①抛物线的解析式；（4分）
②点N的坐标和线段MN的长；（4分）
（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）
23．（本题满分14分）
在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），
∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1） 当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（4分）
（2）通过观察、测量、猜想：= ▲ ，并结合图②证明你的猜想；（5分）
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=，
求的值．（用含的式子表示）（5分）
2012年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试
数学试卷参及评分标准
说明：以下各题除本参考的解法外，其他解法参照本评分标准，按相应给分点评分.
一、选择题(每小题4分，共40分)
1. D 2. C 3. D 4. A 5. B 6. C 7. B 8. C 9. A 10. C
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 12. 3 13. 168 14. 答案不唯一；如：AB=AC；或∠B=∠C；
或∠BED=∠CFD；或∠AED=∠AFD等；15. 1 16. 900
三、解答题（共86分）
17．（1）解：原式= ……………6分
=1. ……………7分
（2）解法一：原式= ……………2分
= ……………6分
=. ……………7分
解法二：原式= ……………4分
= ……………6分
=. ……………7分
18．解：（1）解不等式①，得 ， ……………2分
解不等式②，得 -2. ……………4分
不等式①，②的解集在数轴上表示如下：
……………6分
所以原不等式组的解集为． ……………8分
（2）①如图所示，；
画图正确3分，坐标写对1分；
②如图所示，．
画图正确3分，坐标写对1分；
19．解：（1）100； …………2分
（2）如图所示； …………4分
（3）30%； …………6分
（4）1430×20%＝286（人） …………9分
答：成绩为A级的学生人数约为286人．…10分
20．解：（1）解法一：设A种商品销售x 件，
则B种商品销售（100- x）件． ……………1分
依题意，得 ……………3分
解得x=30．∴ 100- x =70． ……………4分
答：A种商品销售30件，B种商品销售70件. ……………5分
解法二：设A种商品销售x 件， B种商品销售y件． ……1分
依题意，得 ……………3分
解得 ……………4分
答：A种商品销售30件，B种商品销售70件. ……………5分
（2）设A种商品购进x 件，则B种商品购进（200- x）件． ………6分
依题意，得0≤ 200- x ≤3x
解得 50≤x≤200 ……………7分
设所获利润为w元，则有
w=10x+15（200- x）= - 5x +3000 ……………8分
∵- 5＜0，∴w随x的增大而减小.
∴当x=50时，所获利润最大
=2750元. ……………9分
200- x=150.
答：应购进A种商品50件，B种商品150件，
可获得最大利润为2750元. ……………10分
21.(1)证明:证法一：连接OC(如图①)，∴∠BOC =2∠A=2， ……2分
∴∠BOC+∠B=2+=90．∴∠BCO=90．即OC⊥BC． ……4分
∴BC是的⊙O切线． ……5分
证法二：连接OC(如图①)， ∵ OA=OC ， .
∴∠ACO =∠A =． ……1分
∵ ∠BOC =∠A+∠ACO=2， ……2分
∴∠BOC+∠B=2+=90． ……3分
∴∠BCO=90．即OC⊥BC． ……4分
∴BC是的⊙O切线． ……5分
证法三：连接OC(如图①)，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=. ……1分
在△ACB中，
∠ACB=－（∠A+∠B）=－（+）
∴∠BCO=∠ACB－∠ACO =－（+）－
=－（2+）. ……3分
∵2+=90,∴∠BCO.即OC⊥BC． ……4分
∴BC是⊙O的切线. ……5分
证法四：连接OC，延长BC(如图②)，
∴∠ACE=∠A+∠B=+. …… 1分
又∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=. …… 2分
∴∠OCE=∠OCA+∠ACE=++=2+=. … 4分
即OC⊥BC.∴BC是⊙O的切线. … 5分
证法五：过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OC(如图③)，
在△AEB中，∠EAB+∠B=90. …… 1分
∵∠CAB=，∠B=，且 2+=90，
∴∠EAB=2.∴∠EAC=∠CAB=. …… 2分
∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA=，∠EAC=∠OCA. …… 3分
∴OC//AE. ∴OC⊥BC. …… 4分
∴BC是⊙O的切线. …… 5分
(2)∵OC=OA =6，由(1)知，OC⊥BC，在△BOC中，
=，∵=，∴=． …… 8分
∴OB=10． …… 9分
∴BC===8． …… 10分
22．（1）解：①∵直线与轴和 轴交于点A和点B，
∴，． ……1分
解法一：当顶点M与点A重合时，∴. ……2分
∴抛物线的解析式是：．即． ……4分
解法二：当顶点M与点A重合时，∴. ……2分
∵ ， ∴.
又∵，∴. ……3分
∴抛物线的解析式是：． ……4分
②∵N在直线上，设，又N在抛物线上，
∴． ……5分
解得 ， （舍去）
∴． ……6分
过N作NC⊥轴，垂足为C(如图①)．
∵，∴．
∴． ． ……7分
∴． ……8分
（2）存在.
………………10分
. ………………12分
23.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合,
∴OB=OP ， ∠BOC=∠BOG=90°． ……2分
∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO ． ……3分
∴△BOG≌△POE． ……4分
（2）． ……5分
证明：如图②，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°， ∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB =， ∴ ∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°—∠BMN， ∠NPE=90°—∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE． ……6分
∴△BMN≌△PEN． ……7分
∴BM=PE．∵∠BPE=∠ACB， ∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=. 又PF=PF，
∴△BPF≌△MPF． ……8分
∴BF=MF ． 即BF=BM．∴BF=PE ． 即． ……9分
（3）解法一：如图③，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BPN=∠ACB=，∠PNE=∠BOC=90°. ……10分
由（2）同理可得BF=BM， ∠MBN=∠EPN． ……11分
∵∠BNM=∠PNE=90°，
∴△BMN∽△PEN． ……12分
∴． ……13分
在△BNP中，，
∴．即．
∴． ……14分
解法二：如图③，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，
∴BO⊥PM，∠BPN=∠ACB=. ……10分
∵∠BPE=∠ACB=，PF⊥BM，
∴∠EPN=. ∠MBN=∠EPN=∠BPE=.
设，
在△PFB中， ， ……11分
∵PF=PE+EF=，∴ ……12分
在△BFE中，， ∴.
∴. .
. ……13分
∴ . 即. ……14分
解法三：如图③，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，
∴ ∠BNP=∠BOC=90°.
∴ ∠EPN+∠NEP=90°.
又∵BF⊥PE，∴ ∠FBE+∠BEF=90°.
∵∠BEF=∠NEP，∴ ∠FBE=∠EPN. …… 10分
∵PN//AC，∴∠BPN=∠BCA=.
又∵∠BPE=∠ACB=，∴∠NPE=∠BPE=.
∴∠FBE=∠BPE=∠EPN=.
∵ ，∴ . …… 11分
∵ ，∴ . …… 12分
∵ ，∴ . …… 13分
∴ . ∴ .
∴ . …… 14分下载本文
