一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填在题后的括号内，每小题3分，共24分）

1．﹣3的相反数是（　　）

A．3    B．    C．﹣3    D．﹣

2．下列计算正确的是（　　）

A．a+a=a2    B．（2a）3=6a3    C．（a﹣1）2=a2﹣1    D．a3÷a=a2

3．如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）

A．12    B．16    C．20    D．24

4．下列命题中，真命题是（　　）

A．两条对角线相等的四边形是矩形

B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

5．用配方法解方程x2+x﹣1=0，配方后所得方程是（　　）

A．（x﹣）2=    B．（x+）2=    C．（x﹣）2=    D．（x+）2=

6．在半径为1的⊙O中，弦AB=1，则的长是（　　）

A．    B．    C．    D．

7．估计+1的值是（　　）

A．在42和43之间    B．在43和44之间    C．在44和45之间    D．在45和46之间

8．已知如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，化简的结果为①c，②b，③b﹣a，④a﹣b+2c，其中正确的有（　　）

A．一个    B．两个    C．三个    D．四个

二、填空题

9．从一副扑克牌（除去大小王）中摸出两张牌都是梅花的概率为 　　．

10．如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A（a，b），B（c，d）两点，则3ad﹣5bc=　　．

11．分解因式：x3﹣xy2=　　．

12．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为　　．

13．等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于　　．

14．有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长为2、3、4…的等边三角形（如图所示），

根据图形推断，每个等边三角形所用的等边三角形所用的卡片数S与边长n的关系式是　　．

15．如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为  　　，面积为 　　．

16．△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，D是的中点，AD=a，则四边形ABDC的面积为　　．

三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分）

17． 3﹣2+4﹣（2006﹣sin45°）0

18．已知，求代数式的值．

19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，﹣3），点B的坐标为（﹣1，3），回答下列问题

（1）点C的坐标是　　．

（2）点B关于原点的对称点的坐标是　　．

（3）△ABC的面积为　　．

（4）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′．

20．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．

（1）求证：DE⊥BC；

（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．

四、应用题

21．初三年（4）班要举行一场毕业联欢会，主持人同时转动下图中的两个转盘，由一名同学在转动前来判断两个转盘上指针所指的两个数字之和是奇数还是偶数，如果判断错误，他就要为大家表演一个节目；如果判断正确，他可以指派别人替自己表演节目．现在轮到小明来选择，小明不想自己表演，于是他选择了偶数．

小明的选择合理吗？从概率的角度进行分析（要求用树状图或列表方法求解）

22．如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，AC=4，BC=3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．求正方形的边长．

五、解答题（本题12分）

23．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

六、解答题（本题12分）

24．某开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：

（1）该公司“高级技工”有　　人；

（2）该公司的工资极差是　　元；

（3）小张到这家公司应聘普通工作人员，咨询过程中得到两个答案，你认为用哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些？

（4）去掉最高工资的前五名，再去掉最低工资的后五名，然后算一算余下的40人的平均工资，说说你的看法．

七、计算题（本题12分）

25．某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元．

（1）试写出总费用y（元）与销售套数x（套）之间的函数关系式．

（2）如果每套定价700元，软件公司售出多少套可以收回成本？

（3）某承包商与软件开发公司签订合同，买下公司生产的全部软件，但700元的单价要打折，并且公司仍然要负责安装调试．如果公司总共可生产该软件1500套，并且公司希望从这个软件项目上获得不少于280000元的利润，最多可以打几折？

八、计算题（本题14分）

26．如图，抛物线y=x2﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；

（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；

（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的⊙P能否与x轴相切？如果能够，求出⊙P的半径；如果不能，请说明理由．

 参与试题解析

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填在题后的括号内，每小题3分，共24分）

1．﹣3的相反数是（　　）

A．3    B．    C．﹣3    D．﹣

【考点】相反数．

【分析】根据相反数的概念解答即可．

【解答】解：∵互为相反数相加等于0，

∴﹣3的相反数是3．

故选：A．

【点评】此题主要考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2．下列计算正确的是（　　）

A．a+a=a2    B．（2a）3=6a3    C．（a﹣1）2=a2﹣1    D．a3÷a=a2

【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．

【分析】根据合并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则逐项计算即可．

【解答】解：A，a+a=2a≠a2，故该选项错误；

B，（2a）3=8a3≠6a3，故该选项错误

C，（a﹣1）2=a2﹣2a+1≠a2﹣1，故该选项错误；

D，a3÷a=a2，故该选项正确，

故选D．

【点评】本题考查了并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则，解题的关键是熟记以上各种运算法则．

3．如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）

A．12    B．16    C．20    D．24

【考点】平移的性质；等边三角形的性质．

【专题】数形结合．

【分析】根据平移的性质易得AD=BE=2，那么四边形ABFD的周长即可求得．

【解答】解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，

∴AD=BE=2，各等边三角形的边长均为4．

∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+FE+DF=16．

故选B．

【点评】本题考查平移的性质，用到的知识点为：平移前后对应线段相等；关键是找到所求四边形的各边长．

4．下列命题中，真命题是（　　）

A．两条对角线相等的四边形是矩形

B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

【考点】命题与定理．

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【解答】解：A．两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；

B．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；

C．两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；

D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；

故选：D．

【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

5．用配方法解方程x2+x﹣1=0，配方后所得方程是（　　）

A．（x﹣）2=    B．（x+）2=    C．（x﹣）2=    D．（x+）2=

【考点】解一元二次方程﹣配方法．

【分析】移项后两边都配上一次项系数一半的平方可得．

【解答】解：∵x2+x=1，

∴x2+x+=1+，即（x+）2=，

故选：D．

【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤是解题的关键．

6．在半径为1的⊙O中，弦AB=1，则的长是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】弧长的计算．

【分析】先利用垂径定理求出角的度数，再利用弧长公式求弧长．

【解答】解：如图，作OC⊥AB，

则利用垂径定理可知BC=

∵弦AB=1，

∴sin∠COB=

∴∠COB=30°

∴∠AOB=60°

∴的长==．

故选C．

【点评】此题先利用垂径定理求出角的度数，再利用弧长公式求弧长．

7．估计+1的值是（　　）

A．在42和43之间    B．在43和44之间    C．在44和45之间    D．在45和46之间

【考点】估算无理数的大小．

【分析】首先拿44的平方试一下，45的平方大于2009，所以很容易得到结果．

【解答】解：∵1936＜2009＜2025，

∴44＜＜45，

即45＜＜46．

故选D．

【点评】本题考查估计无理数的大小，本题是选择题可以先从选项算起，很容易得到结论．

8．已知如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，化简的结果为①c，②b，③b﹣a，④a﹣b+2c，其中正确的有（　　）

A．一个    B．两个    C．三个    D．四个

【考点】抛物线与x轴的交点；二次根式的性质与化简．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】先把A点坐标代入抛物线的解析式可得a﹣b+c=0，再根据抛物线的开口向下可得a＜0，由抛物线的图象可知对称轴在x轴的正半轴可知﹣＞0，抛物线与y轴相交于y轴的正半轴，所以c＞0，根据此条件即可判断出a+c及c﹣b的符号，再根据二次根式的性质即可进行解答．

【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，即a+c=b，

∵抛物线的开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴在x轴的正半轴可知﹣＞0，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴相交于y轴的正半轴，

∴c＞0，

∴a+c=b＞0，c＞b，

∴①原式=b+（c﹣b）=c，故①正确，

④原式=a+c+c﹣b=a﹣b+2c，故④正确．

③∵a﹣b+c=0

∴原式=a﹣b+2c=a﹣b+c+c=0+c=c，故③正确．

故选C．

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到抛物线的图象与系数的关系，抛物线的对称轴方程等相关知识．

二、填空题

9．从一副扑克牌（除去大小王）中摸出两张牌都是梅花的概率为 　　．

【考点】加法原理与乘法原理．

【专题】计算题．

【分析】让摸出第一张牌是梅花的概率乘以摸出第二张牌是梅花的概率即为所求的概率．

【解答】解：第一张摸出梅花的概率： =，

此时梅花还剩12张，牌一共还有51张，第二张又摸到梅花的概率是： =，

两张牌都摸到梅花的概率是：×=，

故答案为．

【点评】考查乘法原理的应用；两次实验的概率=第一次实验的可能性与第二次实验的可能性的积．

10．如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A（a，b），B（c，d）两点，则3ad﹣5bc=　6　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【专题】计算题．

【分析】本题需先根据交点的性质，把A（a，b），B（c，d）分别代入直线y=kx（k＞0）与双曲线y=中，求出它们之间相等的量，最后再把他们代入及可求出结果．

【解答】解：∵直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A（a，b），B（c，d）两点，

∴把A（a，b），B（c，d）代入上式得；

k=，k=

∴

∴ad=bc

∵ab=3，cd=3

∴abcd=9，即（ad）2=9，

∴ad=bc=﹣3，

∴3ad﹣5bc=﹣9+15=6．

故答案为6．

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，在解题时要注意交点与函数的性质问题．

11．分解因式：x3﹣xy2=　x（x+y）（x﹣y）　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案．

【解答】解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y）．

故答案为：x（x+y）（x﹣y）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．

12．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为　24　．

【考点】平行四边形的性质．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】根据E为BC边的中点可得出CE和AD的比，进而根据面积比等于相似比的平方可得出△ADF的面积．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，

∴=，

∴S△CFE：S△ADF=1：4，

又∵△CEF的面积为6，

∴△ADF的面积为24．

故答案为：24．

【点评】本题考查平行四边形的性质，属于基础的应用题，难度不大，解答本题的关键是掌握面积比等于相似比的平方．

13．等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于　15°或75°．　．

【考点】等腰三角形的性质；勾股定理．

【专题】计算题；分类讨论．

【分析】此题分两种情况，当顶角为锐角时，利用勾股定理，AD的长，然后即可得出∠ABD=60°，可得顶角度数．同理即可求出顶角为钝角时，底角的度数．

【解答】解；如图1，△ABC中，AB=AC=2，BD为腰上的高，且BD=1，

顶角为锐角，

∵AD2=AB2﹣BD2，

∴AD2=4﹣1=3，

∴AD=，

∴∠ABD=60°，

∴顶角为30°，底角为75°；

如图2，△ABC中，AB=AC=2，BD为腰上的高，且BD=1，

顶角为钝角

同理可得，底角为15°．

故答案为：15°或75°．

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用分类讨论的思想进行分析，对顶角为锐角和顶角为钝角时分别进行分析．

14．有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长为2、3、4…的等边三角形（如图所示），

根据图形推断，每个等边三角形所用的等边三角形所用的卡片数S与边长n的关系式是　S=n2（n≥2）　．

【考点】函数关系式；规律型：图形的变化类．

【分析】长特殊到一般探究规律后，利用规律即可解决问题．

【解答】解：图1中，当n=2时，S=4；

如图2中当n=3时，S=9；

图3中，当n=4时，S=16．…．

依此类推，总数S与边长n的关系式S=n2（n≥2）．

故答案为S=n2（n≥2）

【点评】本题考查函数关系式、规律型：图形的变化类题目，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会探究规律，利用规律解决问题．

15．如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为  　90　，面积为 　270　．

【考点】相似三角形的性质；勾股定理的逆定理．

【分析】由相似三角形对应边比相等，知道已知三角形的三边和较大三角形的最大边，根据相应比求得边和周长，由三角形是直角三角形面积即求得．

【解答】解：设较大三角形的其他两边长为a，b．

∵由相似三角形的对应边比相等

∴

解得：a=15，b=36，

则较大三角形的周长为90，面积为270．

故较大三角形的周长为90，面积为270．

【点评】本题考查了相似三角形对应边的比相等，根据已知三角形的三边，未知三角形的最长边，知道了对应比，从而求得．

16．△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，D是的中点，AD=a，则四边形ABDC的面积为　a2　．

【考点】圆内接四边形的性质；含30度角的直角三角形；圆周角定理．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据题意求得∠DBC=∠DCB=30°，设BD=DC=x，那么BC=x，由正弦定理和托勒密定理AB+AC=a，再根据S四边形ABDC=S△ABD+S△ACD，从而求得答案．

【解答】解：解法一：在ABDC中，∠BAC=60度，所以∠BDC=120°，

∵点D是弧BC的中点，

∴BD=DC，

∴∠DBC=∠DCB=30°，

在△BDC中用正弦定理，得 

∴BC=BD，

设BD=DC=x，那么BC=x，

用托勒密定理：AD•BC=AB•DC+BD•AC，

即ax=x•AB+x•AC，

则AB+AC=a，

S四边形ABDC=S△ABD+S△ACD=（AB•AD•sin∠BAD+AC•AD•sin∠DAC），

=（AB+AC）AD•sin30°，

=a2；

解法二：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，

∵D是的中点，

∴BD=CD，∠BAD=∠FAD，

∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等），

在Rt△DBE与Rt△DCF中，，

∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），

∴S△DBE=S△DCF，

∴S四边形ABDC=S四边形AEDF，

∵点D是弧BC的中点，∠BAC=60°，

∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°，

∵AD=a，

∴AE=AD•cos30°=a，

DE=AD•sin30•=a，

∴S四边形AEDF=2S△ADE=2××a×a=a2．

故答案为： a2．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，是竞赛题难度偏大．

三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分）

17．3﹣2+4﹣（2006﹣sin45°）0

【考点】特殊角的三角函数值；二次根式的混合运算．

【专题】计算题．

【分析】本题涉及零指数幂、二次根式化简及特殊角的三角函数值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：3﹣2+4﹣（2006﹣sin45°）0，

=3﹣2+20﹣×1，

=20．

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指数幂、二次根式化简及特殊角的三角函数值等考点的运算．

18．已知，求代数式的值．

【考点】二次根式的化简求值．

【专题】计算题．

【分析】由已知条件得到a﹣1=1﹣＜0，再把代数式利用因式分解变形得到原式=﹣，则根据二次根式的性质得原式=a﹣1﹣=a﹣1+，然后把a的值代入计算即可．

【解答】解：∵a=2﹣，

∴a﹣1=1﹣＜0，

∴原式=﹣

=a﹣1﹣

=a﹣1+，

当a=2﹣时，原式=2﹣﹣1+=2﹣﹣1+2+=3．

【点评】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．

19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，﹣3），点B的坐标为（﹣1，3），回答下列问题

（1）点C的坐标是　（﹣3，﹣2）　．

（2）点B关于原点的对称点的坐标是　（1，﹣3）　．

（3）△ABC的面积为　16　．

（4）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′．

【考点】作图﹣轴对称变换．

【专题】作图题．

【分析】（1）根据平面直角坐标系写出即可；

（2）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；

（3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解；

（4）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可．

【解答】解：（1）点C的坐标是（﹣3，﹣2）；

（2）点B关于原点的对称点的坐标是（1，﹣3）；

（3）△ABC的面积=6×6﹣×2×5﹣×1×6﹣×4×6，

=36﹣5﹣3﹣12，

=36﹣20，

=16；

（4）如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形．

故答案为：（1）（﹣3，﹣2），（2）（1，﹣3），（3）16．

【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，平面直角坐标系的相关知识，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．

20．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．

（1）求证：DE⊥BC；

（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．

【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】本题由已知DE是⊙O的切线，可联想到常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直”，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法．

【解答】（1）证明：连接OD，（1分）

∵DE切⊙O于点D，

∴DE⊥OD，

∴∠ODE=90°，（2分）

又∵AD=DC，AO=OB，

∴OD是中位线，

∴OD∥BC，

∴∠DEC=∠ODE=90°，

∴DE⊥BC；（4分）

（2）解：连接BD，（5分）

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

∴∠BDC=90°，

又∵DE⊥BC，

Rt△CDB∽Rt△CED，（7分）

∴，

∴BC=，（9分）

又∵OD=BC，

∴OD=，

即⊙O的半径为．

【点评】命题立意：此题主要考查圆的切线的性质、垂直的判定、圆周角的性质、三角形相似等知识．

四、应用题

21．初三年（4）班要举行一场毕业联欢会，主持人同时转动下图中的两个转盘，由一名同学在转动前来判断两个转盘上指针所指的两个数字之和是奇数还是偶数，如果判断错误，他就要为大家表演一个节目；如果判断正确，他可以指派别人替自己表演节目．现在轮到小明来选择，小明不想自己表演，于是他选择了偶数．

小明的选择合理吗？从概率的角度进行分析（要求用树状图或列表方法求解）

【考点】列表法与树状图法．

【专题】应用题．

【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式分别求出两个数字之和是奇数与是偶数的概率，根据概率的大小即可判断小明的选择是否合理．

【解答】解：小明的选择不合理；

列表得

其中出现奇数的次数是7次，概率为，

出现偶数的次数为5次，概率为，

∵，即出现奇数的概率较大，

∴小明的选择不合理．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．注意哪个概率大，选择哪个的可能性就大．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，AC=4，BC=3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．求正方形的边长．

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．

【专题】压轴题．

【分析】作辅助线：作CH⊥AB于H，由四边形DEFG为正方形，可得CM⊥GF与求得AB、CH的值，还可证得△ABC∽△GFC，由相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得正方形的边长．

【解答】解：作CH⊥AB于H，

∵四边形DEFG为正方形，

∴CM⊥GF，

由勾股定理可得：AB=5，

根据三角形的面积不变性可求得CH=，

设GD=x，

∵GF∥AB，

∴∠CGF=∠A，∠CFG=∠B，

∴△ABC∽△GFC，

∴，

即　，

整理得：12﹣5x=x，

解得：x=，

答：正方形的边长为．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与直角三角形、正方形的性质．注意相似三角形对应高的比等于相似比定理的应用与数形结合思想与方程思想的应用．

五、解答题（本题12分）

23．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

【考点】菱形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．

【专题】压轴题；开放型；存在型．

【分析】（1）因为是对折所以AO=CO，利用三角形全等证明EO=FO，四边形便是菱形；

（2）因为面积是24，也就是AB、BF的积可以求出，所以求周长只要求出AB、BF的和就可以，而结合勾股定理它们和的平方减去乘积二倍就是AF的平方；

（3）因为AC=AO所以可以从与△AOE相似的角度考虑，即过E作EP⊥AD．

【解答】（1）证明：连接EF交AC于O，

当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°（1分）

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∴△AOE≌△COF（ASA）．

∴OE=OF（2分）

∴四边形AFCE是菱形．

（2）解：四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10．

设AB=x，BF=y，∵∠B=90，

∴（x+y）2﹣2xy=100①

又∵S△ABF=24，∴ xy=24，则xy=48．②（5分）

由①、②得：（x+y）2=196

∴x+y=14，x+y=﹣14（不合题意舍去）

∴△ABF的周长为x+y+AF=14+10=24．（7分）

（3）解：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．（9分）

证明：由作法，∠AEP=90°，

由（1）得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，

∴△AOE∽△AEP，

∴=，则AE2=AO•AP

∵四边形AFCE是菱形，∴AO=AC，AE2=AC•AP（11分）

∴2AE2=AC•AP

即P的位置是：过E作EP⊥AD交AC于P．

【点评】本题主要考查（1）菱形的判定方法“对角线互相垂直且平分的四边形”，（2）相似三角形的判定和性质．

六、解答题（本题12分）

24．某开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：

（1）该公司“高级技工”有　15　人；

（2）该公司的工资极差是　20050　元；

（3）小张到这家公司应聘普通工作人员，咨询过程中得到两个答案，你认为用哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些？

（4）去掉最高工资的前五名，再去掉最低工资的后五名，然后算一算余下的40人的平均工资，说说你的看法．

【考点】中位数；加权平均数；众数；极差．

【专题】压轴题；图表型．

【分析】（1）高级技工人数=总数﹣各类员工人数；

（2）根据极差=最大值﹣最小值计算即可；

（3）先求出平均数，中位数和众数，再继续判断；

（4）去掉最高工资的前五名，再去掉最低工资的后五名，再根据加权平均数的公式：计算即可．

【解答】解：（1）50﹣1﹣4﹣2﹣3﹣22﹣3=15人（2分）

（2）21000﹣950=20050元（4分）

（3）员工的说法更合理些．

这组数据的平均数是2606元，中位数是1700元，众数是1600元

由于个别较大数据的影响，平均数不能准确地代表平近水平，此时中位数或众数可以较好的反映工资的平均水平，因此员工的说法更合理一些．（9分）

（4）（元）

这样计算更能代表员工的平均工资水平．

【点评】本题为统计题，考查极差、平均数、众数与中位数的意义．极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

七、计算题（本题12分）

25．某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元．

（1）试写出总费用y（元）与销售套数x（套）之间的函数关系式．

（2）如果每套定价700元，软件公司售出多少套可以收回成本？

（3）某承包商与软件开发公司签订合同，买下公司生产的全部软件，但700元的单价要打折，并且公司仍然要负责安装调试．如果公司总共可生产该软件1500套，并且公司希望从这个软件项目上获得不少于280000元的利润，最多可以打几折？

【考点】一次函数的应用．

【专题】销售问题．

【分析】（1）由题意得；总费用=广告宣传费+x套安装调试费．可得出函数关系式；

（2）根据每套定价700元，前期投入的开发广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元，即可得出等量关系，求出即可；

（3）根据总利润以及打折运算，得出等式方程求出即可．

【解答】解：（1）根据题意得：y=50000+200x．

（2）设软件公司售出x套软件能收回成本，

700x=50000+200x，

解得：x=100，

答：软件公司售出100套软件可以收回成本．

（3）设该软件按m折销售时可获利280000元，

由题意可得：（700×﹣200）×1500=280000+50000，

解得：m=6，

答：公司最多可以打6折．

【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及打折问题，利用已知条件得出等量关系是解决问题的关键．

八、计算题（本题14分）

26．如图，抛物线y=x2﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；

（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；

（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的⊙P能否与x轴相切？如果能够，求出⊙P的半径；如果不能，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】代数几何综合题；压轴题；数形结合．

【分析】（1）利用配方法即可将函数解析式变形为：y=（x﹣2）2﹣5，由顶点式即可求得这条抛物线的顶点D的坐标；

（2）由经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），即可求得M与N的坐标，即可求得P的坐标，然后即可求得PE与PD的长，根据切线的性质，由勾股定理即可求得DE的长；

（3）根据已知，可得点P的横坐标为2，又由以MN为直径的⊙P与x轴相切，可得抛物线过点（2+r，r）或（2+r，﹣r），将点的坐标代入解析式即可求得r的值，则可证得以MN为直径的⊙P能与x轴相切．

【解答】解：（1）∵y=x2﹣4x﹣1=x2﹣4x+4﹣5=（x﹣2）2﹣5，

∴点D的坐标为（2，﹣5）；

（2）∵当y=4时，x2﹣4x﹣1=4，

解得x=﹣1或x=5，

∴M坐标为（﹣1，4），点N坐标为（5，4），

∴MN=6．P的半径为3，点P的坐标为（2，4），

连接PE，则PE⊥DE，

∵PD=9，PE=3，

根据勾股定理得DE=6；

（3）能够相切．

理由：设⊙P的半径为r，根据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r，r）或（2+r，﹣r），

代入抛物线解析式得：（2+r）2﹣4（2+r）﹣1=r，

解得r=或r=（舍去）．

把（2+r，﹣r）代入抛物线得：（2+r）2﹣4（2+r）﹣1=﹣r，

解得：r=，或r=（舍去）．

【点评】此题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，还考查了圆的切线的性质等知识，是二次函数的综合题型．此题综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用．

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