泰国 清迈（Chiang Mai，Thailand）
1. 我们称平面上一个有限点集S是平衡的，如果对任意两个不同的点A,B，都存在S中一个点C满足AC = BC，我们称S是无中心的，如果对S中任意三个不同的点A,B,C，都不存在S中的一点P，满足PA = PB = PC.
(a)证明：对每个整数n ≥ 3，均存在一个由n个点构成的平衡点集.
(b)确定所有的整数n ≥ 3，使得存在一个由n个点构成的平衡且无中心的点集.
2. 确定所有三元正整数组(a,b,c)，使得ab - c, bc - a, ca - b中的每个数都是2的方幂.(2的方幂是指形如的整数，其中n是一个非负整数.)
3. 在锐角三角形ABC中，AB > AC.设r是它的外接圆，H是它的垂心，F是由顶点A处所引高的垂足，M是边BC的终点，Q是r上一点，使得∠HQA = 90°,K是r上一点，使得∠HKQ = 90°,已知点A,B,C,K,Q互不相同，且按此顺序排列在r上.
证明:三角形KQH的外接圆和三角形FKM的外接圆相切.
4. 在三角形ABC中，Ω是其外接圆，O是其外心.以A为圆心的一个圆r与线段BC交于两点D和E，使得B,D,E,C互不相同，并且按此顺序排列在直线BC上.设F和G是r和Ω的两个点的交点，设L是三角形CGE的外接圆和线段CA的另一个交点.
假设直线FK和GL互不相同，且交于点X.证明：X在直线AO上.
5. 设R是全体实数的集合.求所有的函数f：R→R.满足对任意实数x，y，都有
f(x + f(x + y)) + f(xy)=x + f(x + y) + yf(x)
6. 整数序列，，…满足下列条件：
()对每个整数j ≥ 1，有1 ≤ ≤ 2015；（）对任意整数1 ≤ k < ξ，有k + ≠ ξ +
证明：存在两个正整数b和N，使得 ≤
对所有满足n > m ≥ N的整数均成立.下载本文
