四川泸州 黄忠海

首先，一起回忆一下在初中我们已经学习过一元二次方程有三种形式 一般式：()200ax bx c a ++=≠ 顶点式：()()2

00a x h k a -+=≠

交点式（双根式）：()()()1200,0a x x x x a --=≠≥为我们介绍双根法出场作一下铺垫。 对于圆锥曲线大题第二问许多同学感觉最大的麻烦就是运算量大，成为其绊脚石难以做下去，甚至很多老师在平时的教学中教教同学们联立直线与圆锥曲线方程再使用韦达定理得一点步骤分也就知足了。所以，在高考有限的时间里能否简化运算量就成其关键，那有没有什么好方法能简化运算量呢？下面就给大家分享双根法（大招）在高考圆锥曲线中的运用。 2012年重庆卷（文科）

如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，线段12,OF OF 的中点分别为12,B B ，且12AB B ∆是面积为4的直角三角形. （Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过点1B 作直线l 交椭圆于M,N 两点，22MB NB ⊥，求直线l 的方程. 理科：（Ⅱ）过1B 作直线l 交椭圆于M,N 两点，22MB NB ⊥，求直线2PB Q 的面积.

（Ⅰ）易求椭圆方程为

22

1204

x y

+= （Ⅱ）方法1：（大联立）略（过程多，海哥编辑麻烦） 分情况设出直线l 的方程再使用韦达定理

评析：此法乃通法，但运算繁琐.

方法2：（大联立）点()12,0B -，设点()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 的方程为2x my =-

联立直线l 与椭圆的方程有22

12042x y x my ⎧+

=⎪⎨⎪=-⎩

⇒()2254160m y my +--=

由韦达定理有1221224516

5m y y m y y m ⎧

+=⎪⎪+⎨

-⎪=⎪+⎩

，又22MB NB ⊥ 220B M B N ∴⋅=

即：()()1212220x x y y --+=()()1212440my my y y ⇒--+=

()()2121241160m y y m y y ∴-++++= ()22221611616055

m m

m m -+-∴++=++

24m ∴= 即：2m =±

评析：①设直线l 的方程为横截式从而避免讨论斜率不存在的情况达到简化运算的目的；

②联立直线与圆锥曲线方程再使用韦达定理.

方法3：（大招双根法）显然当直线l 垂直于x 轴时不满足题意

点()12,0B -，设点()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 的方程为()2y k x =+，联立直线l 与椭圆的方程有()22

12042x y y k x ⎧+=⎪

⎨⎪=+⎩ ⇒()22252200x k x ++-=

12,x x 是方程()2

2252200x k x ++-=的两根

∴()()()()2

222

1

2

522015x k x k

x x x x ++-=+-- （*）

又

22MB NB ⊥，220B M B N ∴⋅= ⇒()()1212220x x y y --+=

即：()()()()2121222220x x k x x --+++=

在（*）中用2替换x 有 ()()2

122

16802215k x x k -+--=+

在（*）中用2-替换x 有 ()()122

16

2215x x k -++=

+

∴

222216801601515k k k k -+-+=++ ⇒ 2

14

k = 即：12k =± 所以直线l 的方程为：()1

22

y x =±+.

评析：①使用双根法整体代换避免使用韦达定理带来的繁琐运算；

练习题：（2013年天津卷）已知椭圆方程为

22

1

32

x y

+=，,A B是椭圆的左右顶点，过左焦点

F且斜率为k的直线l与椭圆相交于C,D两点，若8

AC DB AD CB

⋅+⋅=，求k的值.下载本文