时量：50分钟 满分：80分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z＝＋(i是虚数单位)的实部与虚部的和为1，则实数m的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．设集合A满足{a}⊆A{a，b，c，d}，则满足条件的集合A的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
3．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，则的值为( )
A．2 B．4 C．－2或2 D．－4或4
4．已知在平面中，A(1，0)，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，若，则λ的值为( )
A．－1 B．2 C．1 D．－2
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D.
6．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.π B.π
C.π D.π
7．定义[x]为不超过x的最大整数，
例如[1.3]＝1.执行如图所示的程序框图，当输入的x为4.7时，输出的y值为( )
A．7 B．8.6 C．10.2 D．11.8
8.已知奇函数y＝若f(x)＝ax(a＞0，a≠1)对应的图象如图所示，则g(x)＝( )
A. B．－ C．2－x D．－2x
9．已知x，y满足不等式组设(x＋2)2＋(y＋1)2的最小值为ω，则函数f(t)＝sin的最小正周期为( )
A. B．π C. D.
10．已知函数y＝f(x)对任意自变量x都有f(x)＝f(2－x)，且函数f(x)在[1，＋∞)上单调．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a6)＝f(a2 011)，则{an}的前2 016项之和为( )
A．0 B．1 008 C．2 016 D．4 032
11.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)及圆O：x2＋y2＝a2，如图过点B(0，a)与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若∠AOB＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
12．定义在(－1，1)上的函数f(x)＝1＋x－＋－…－，设F(x)＝f(x＋4)，且F(x)的零点均在区间(a，b)内，其中a，b∈Z，a＜b，则圆x2＋y2＝b－a的面积的最小值为( )
A．π B．2π C．3π D．4π
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．某学校对该校参加第二次模拟测试的2 100名考生的数学学科的客观题解答情况进行抽样调查，可以在每个试题袋中抽取一份(每考场的人数为30)，则采取________抽样方法抽取一个容量为________的样本进行调查较为合适．
14．已知函数f(x)＝aln x＋(x＋1)2，若图象上存在两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＞x2)，使得f(x1)－f(x2)≤4(x1－x2)成立，则实数a的取值范围为________．
15．已知A，B，C为球O表面上的三点，这三点所在的小圆圆心为O1，且AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，球面上的点P在平面ABC上的射影恰为O1，三棱锥PABC的体积为，则球O的表面积为________．
16．已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn2－2n，n∈N*，bn＝，若数列{bn}是公差为2的等差数列，则数列{an}的通项公式为________．
参
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．解析：选C 由已知z＝＋＝＋＝，则＋＝1，得m＝1，故选C.
2．解析：选D 根据子集的定义，可得集合A中必定含有元素a，而且含有a，b，c，d中的至多三个元素．因此，满足条件{a}⊆A{a，b，c，d}的集合A有{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，c，d}，{a，b，d}，共7个．
3．解析：选A ∵a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，
∴a3a15＝8，a3＋a15＝6，因此a3，a15均为正，由等比数列的性质知，a1a17＝a＝a3a15＝8，∴a9＝2，＝2，故选A.
4．解析：选C 由已知得，＝(1，)，＝(1，0)，则＝(λ－2，λ)，又点C在第二象限，故λ－2＜0，λ＞0，则0＜λ＜2，由于∠AOC＝120°，所以cos∠AOC＝＝－，解得λ＝1，故选C.
5．解析：选A 双曲线的渐近线为y＝±x，代入抛物线方程得，x2±x＋1＝0，∴Δ＝－4＝0，故e2＝＝＋1＝5，∴e＝，故选A.
6．解析：选C 由已知三视图，可得这个几何体的直观图如图所示，则其体积为圆柱的体积减去两个圆锥的体积，即π×12×2－2××π×12×1＝π，故选C.
7．解析：选C 当输入的x为4.7时，执行程序框图可知，4.7－[4.7]＝0.7，即4.7－[4.7]不等于0，因而可得y＝7＋([4.7－3]＋1)×1.6＝10.2，输出的值为10.2，故选C.
8.
解析：选D 由图象可知，当x＞0时，函数f(x)单调递减，则0＜a＜1，∵f(1)＝，∴a＝，即函数f(x)＝，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝＝－g(x)，即g(x)＝－＝－2x，故g(x)＝－2x，x＜0，选D.
9．解析：选D 由不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，(x＋2)2＋(y＋1)2的几何意义为可行域内的点与定点C(－2，－1)之间的距离的平方，其最小值为5，故f(t)＝sin，其最小正周期T＝，故选D.
10．解析：选C ∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称．又∵函数f(x)在[1，＋∞)上单调，且数列{an}的公差不为0，f(a6)＝f(a2 011)，∴a6＋a2 011＝2，∴a1＋a2 016＝a6＋a2 011＝2，∴S2 016＝＝2 016.
11.解析：选A 由已知，显然直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝kx＋a，则由得(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a2c2＝0，
∴Δ＝4a6k2－4a2c2(b2＋a2k2)＝0，结合图形解得k＝，即直线l的方程为y＝x＋a.
故直线l的斜率为＝e，由于∠AOB＝60°，设AB与x轴交于点C，则在Rt△OBC中，∠OCB＝30°，因而e＝tan∠OCB＝，故选A.
12．解析：选A f′(x)＝1－x＋x2－x3＋…－x2 015＝＞0，因而f(x)在(－1，1)上单调递增，f(－1)＝(1－1)－－－…－＜0，f(0)＝1＞0，因而函数f(x)仅有1个零点，且在(－1，0)内，那么F(x)＝f(x＋4)也有1个零点在(－5，－4)内，故b－a的最小值为1，则圆x2＋y2＝b－a的面积的最小值为π，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．解析：因为样本容量较大，且考生情况按照每考场抽取没有明显的层次性，又＝70，所以可以采用系统抽样的方法抽取一个容量为70的样本．
答案：系统 70
14．解析：由题意可得，f(x)＝aln x＋x2＋2x＋1，f′(x)＝＋2(x＋1)，由题意知，存在x＞0，使得f′(x)≤4成立，即存在x＞0，使得a≤－2x2＋2x成立，设g(x)＝－2x2＋2x＝－2＋，其最大值为，因而a≤.
答案：
15．解析：由AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，知圆O1的半径r＝1，且S△ABC＝×1×1×sin 120°＝，设PO1＝h，球O的半径为R，因而VPABC＝××h＝，得h＝2，R2＝(h－R)2＋r2，即R2＝4－4R＋R2＋1，R＝，则球O的表面积为4πR2＝4π×＝.
答案：
16．解析：法一：由Sn＝pn2－2n可知，当n＝1时，a1＝p－2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2pn－p－2，a1＝p－2适合上式，
因而对任意的n∈N*，均有an＝2pn－p－2.
又由已知得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)bn，
a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＋(n＋1)an＋1＝(n＋1)(n＋2)bn＋1，
则(n＋1)an＋1＝(n＋1)(n＋2)bn＋1－n(n＋1)bn，
∴an＋1＝bn＋1＋n.
an＋1－an＝bn＋1－bn＋1＝3，则2p＝3，a1＝－.
∴数列{an}的通项公式为an＝3n－.
法二：由Sn＝pn2－2n可知，当n＝1时，a1＝p－2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2pn－p－2，a1＝p－2适合上式，
因而对任意的n∈N*，均有an＝2pn－p－2，an＋1－an＝2p，
因而数列{an}是公差为2p的等差数列，a2＝3p－2，b1＝a1＝p－2，
b2＝＝，b2－b1＝－(p－2)＝2，得2p＝3，a1＝－.
∴数列{an}的通项公式为an＝－＋(n－1)×3＝3n－.
答案：an＝3n－下载本文
