一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．(2010·番禺质检)下列结论中正确的个数是(　　)

①当a<0时，(a2)＝a3；②＝|a|；③函数y＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.

A．0　　　　　　　　B．1

C．2                  D．3

解析：根据指数幂的运算性质对每个结论逐一进行判断．①中，当a<0时，(a2) >0，a3<0，所以(a2)≠a3；②中，当n为奇数时，＝a；③中，函数的定义域应为∪；④中，由已知可得2a＋b＝lg5＋lg2＝lg10＝1，所以只有④正确，选B.

答案：B

2．()4·()4(a≥0)的化简结果是(　　)

A．a16  B．a8

C．a4  D．a2

解析：原式＝()4·()4＝a4，选C.

答案：C

3．若函数y＝(a2－5a＋5)·ax是指数函数，则有(　　)

A．a＝1或a＝4  B．a＝1

C．a＝4  D．a>0，且a≠1

解析：因为“一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数”，所以函数y＝(a2－5a＋5)·ax是指数函数的充要条件为解得a＝4，故选C.

答案：C

评析：解答指数函数概念问题时要抓住指数函数解析式的特征：(1)指数里面只有x，且次数为1，不能为x2，等；(2)指数式ax的系数为1，但要注意有些函数表面上看不具有指数函数解析式的形式，但可以经过运算转化为指数函数的标准形式．

4．在平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝21－x图象关于(　　)

A．原点对称  B．x轴对称

C．y轴对称  D．直线y＝x对称

解析：y＝2x左移一个单位得y＝2x＋1，y＝2－x右移一个单位得y＝21－x，而y＝2x与y＝2－x关于y轴对称．

∴f(x)与g(x)关于y轴对称．

答案：C

5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2]  B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞)  D．(－∞，－2]

解析：由f(1)＝得a2＝，

∴a＝(a＝－舍去)，

即f(x)＝|2x－4|.

由于y＝|2x－4|在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2)上递增，在(2，＋∞)上递减．故选B.

答案：B

6．已知函数f(x)＝x－log2x，实数a、b、c满足f(a)f(b)f(c)<0(0A．x0b

C．x0c

解析：如图所示，方程f(x)＝0的解即为函数y＝x与y＝log2x的图象交点的横坐标x0.由实数x0是方程f(x)＝0的一个解，若x0>c>b>a>0，则f(a)>0，f(b)>0，f(c)>0，

与已知f(a)f(b)f(c)<0矛盾，所以，x0>c不可能成立，故选D.

答案：D

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．已知不论a为何正实数，y＝ax＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．

解析：因为指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)．而函数y＝ax＋1－2的图象可由y＝ax(a>0，a≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数y＝ax＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)．

答案：(－1，－1)

8．函数y＝()x－3x在区间[－1,1]上的最大值为________．

答案：

9．定义：区间[x1，x2](x1解析：[a，b]的长度取得最大值时[a，b]＝[－1,1]，区间[a，b]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1.

答案：1

10．(2010·湖南师大附中期中)设f(x)＝，g(x)＝，计算f(1)g(3)＋g(1)f(3)－g(4)＝________，f(3)g(2)＋g(3)f(2)－g(5)＝________，并由此概括出关于函数f(x)和g(x)的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是________．

答案：0　0　f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝0

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．

(1)试确定f(x)；

(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)

∴

②÷①得a2＝4，

又a>0，且a≠1，∴a＝2，b＝3，

∴f(x)＝3·2x.

(2) x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．

令g(x)＝x＋x，g(x)在(－∞，1]上单调递减，

∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，

故所求实数m的取值范围是.

12．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值．

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的取值范围．

分析：函数f(x)是由指数函数和二次函数复合而成的，因此可通过复合函数单调性法则求单调区间，研究函数的最值问题．

解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，

令g(x)＝－x2－4x＋3，

由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，

而y＝t在R上单调递减，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，

即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．

(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有

，解得a＝1.

即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

(3)由指数函数的性质知，要使y＝h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能有a＝0.因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是a＝0.

评析：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．

13．已知函数f(x)＝2x－.

(1)若f(x)＝2，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)当x<0时，f(x)＝0；

当x≥0时，f(x)＝2x－.

由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，

解得2x＝1±.

∵2x>0，∴x＝log2(1＋)．

(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，

即m(22t－1)≥－(24t－1)．

∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)．

∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，

故m的取值范围是[－5，＋∞)．

第一讲  集合与集合的运算

班级________  姓名________  考号________  日期________  得分________

一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)

1.(2010·天津)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1A.{a|0≤a≤6}                  B.{a|a≤2,或a≥4}[来源:学.科.网]

C.{a|a≤0,或a≥6}          D.{a|2≤a≤4}

解析:由于不等式|x-a|<1的解是a-1答案:C

2.(2010·安徽)若集合        

答案:A

3.已知M={x|x=a2+2a+4,a∈Z},N={y|y=b2-4b+6,b∈Z},则M､N之间的关系是(    )

A.MN

B.NM

C.M=N

D.M与N之间没有包含关系

解析:取a=0,则4∈M,但4N,若不然,有b2-4b+6=4,bZ.又取b=0,6∈N,但6M.

答案:D

4.设全集为U,若命题p:2010∈A∩B,则命题  p是(    )

A.2010∈A∪B                  B.2010A且2010B

C.2010∈( UA)∩( UB)   D.2010∈( UA)∪( UB)

解析:命题 p是2010∈  U(A∩B),即2010∈(UA)∪( UB).

答案:D

评析:本题考查集合的运算及非命题的概念,要求对于集合中的运算性质 U(A∩B)=( UA)∪( UB)与 U(A∪B)=(  UA)∩(UB)能够加强联想与发散.

5.已知集合P={y=x2+1},Q={y|y=x2+1},S={x|y=x2+1},M={(x,y)|y=x2+1},N={x|x≥1},则(    )

A.P=M          B.Q=S

C.S=M          D.Q=N

解析:集合P是用列举法表示,只含有一个元素,集合Q,S,N中的元素全是数,即这三个集合都是数集,集合Q是函数y=x2+1中y的取值范围{y|y≥1},集合S是函数y=x2+1中x的取值范围R;集合N是不等式的解集{x|x≥1},而集合M的元素是平面上的点,此集合是函数y=x2+1图象上所有的点组成的集合.选D.

答案:D

评析:解集合问题时,对集合元素的准确性识别十分重要,不要被x,y等字母所迷惑,要学会透过现象看本质.

6.定义集合M与N的新运算如下:M*N={x|x∈M或x∈N,但x M∩N}.若M={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3,6,9,12,15},则(M*N)*M等于(    )

A.M          B.{2,3,4,8,9,10,15}

C.N          D.{0,6,12}

解析:因为M∩N={0,6,12},所以M*N={2,3,4,8,9,10,15},所以(M*N)*M={0,3,6,9,12,15}=N,故选C.

答案:C

评析:本题给出了新运算“*”的定义,并要求求(M*N)*M的解,解决这类信息迁移题的基本方法是以旧代新法,把新定义的运算“*”纳入到已有的集合交､并､补的运算体系之中,并用已有的解题方法来分析､解决新的问题.另外此题还可以用Venn图来分析求解.[来源:Z#xx#k.Com]

二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)[来源:Zxxk.Com]

7.(2010·重庆)设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若 UA={1,2},则实数m=________.[来源:学,科,网][来源:学§科§网Z§X§X§K]

解析:依题意得A={0,3},因此有0+3=-m,m=-3.

答案:-3

8.已知A={x|x>3或x<-1},B={x|a≤x≤b}.若A∪B=R,A∩B={x|3解析:画出数轴可知a=-1,b=4.

答案:-1,4[来源:学科网ZXXK]

9.已知U={实数对(x,y)},A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3},B={(x,y)|3x-y-2=0},则 瘙_綂

[KG-1mm]UA∩B=________.

解析:容易错解为:由lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得y=3x-2,故A=B,则 UA∩B=.

上述解答的错因是将条件进行了非等价变形而扩大了变量的取值范围.实际上,由lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得y=3x-2(x>2),[来源:学科网]

∴A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3}={(x,y)|y=3x-2(x>2)},

 UA ={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}.

答案:  UA∩B={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}

10.已知集合A､B与集合A⊙B的对应关系如下表:

解析:通过对表中集合关系的分析可以发现:集合A⊙B中的元素是A∪B中的元素再去掉A∩B中的元素组成,故当A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011}时,A⊙B={2010,2011}.

答案:{2010,2011}

三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)

11.规定 与 是两个运算符号,其运算法则如下:对任意实数a,b有:a b=ab,a b=b(a2+b2+1)且-2解:根据运算法则有[来源:学科网]

当a=0时,b=1.

把a=-1,b=1或a=0,b=1代入x=(a+b)2+1得x=1或x=2.故A={1,2}.

12.已知集合A={2,x,x2,xy},集合B={2,1,y,x},是否存在实数x,y使A=B?若存在,试求x,y的值;若不存在,说明理由.

解:假设存在实数x,y使A=B,若x=1,则集合A,B中出现2个1,这与集合中元素的互异性矛盾,所以必有

(1)由x2=y且xy=1,解得x=y=1,与集合中元素的互异性矛盾.[来源:学&科&网Z&X&X&K]

(2)由x2=1且xy=y,解得x=1,y∈R(舍去)或x=-1,y=0.经检验x=-1,y=0适合题意.

13.已知两集合A={x|x=t2+(a+1)t+b},B={x|x=-t2-(a-1)t-b},求常数a、b,使A∩B={x|-1≤x≤2}.

解得a=-1,b=-1.下载本文